粘彈性功能梯度界面層裂紋問題的廣義剪切松弛模量

1、粘彈性功能梯度界面層裂紋問題的廣義剪切松弛模量論文摘要：研究了介于兩粘彈性均質(zhì)材料之間的粘彈性功能梯度界面層模型反平面裂紋問題。通過引入兩均質(zhì)材料松弛模量時間因子比l，給出了功能梯度界面層的一種廣義剪切松弛模量，比已有文獻(xiàn)中的松弛模量更具有一般性。采用Fourier變換推導(dǎo)出Cauchy奇異積分方程，通過配點(diǎn)數(shù)值方法得到應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開位移的彈性解，并由功能梯度材料的粘彈性對應(yīng)原理和Laplace變換得到粘彈性解。考察了l值、裂紋位置等參數(shù)對應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開位移的影響。論文關(guān)鍵詞：功能梯度材料,粘彈性,剪切松弛模量,裂紋,對應(yīng)原理,反平面0引言功能梯度材料式中上標(biāo)v代表粘彈性材料，

2、下標(biāo)13分別表示各層序號，表示空間矢量。假設(shè)各層松弛模量時間因子分別為、和，根據(jù)FGM的粘彈性對應(yīng)原理適用條件，應(yīng)為空間因子和無量綱函數(shù)別離的形式：根據(jù)各層材料松弛模量的連續(xù)性要求，F(xiàn)GM兩側(cè)界面處時間因子應(yīng)連續(xù)變化，由式由式式中l(wèi)表示兩均質(zhì)材料松弛模量時間因子比。顯然，為了應(yīng)用FGM的粘彈性對應(yīng)原理，兩時間因子和的比值應(yīng)為常數(shù)，即l和時間t無關(guān)，這也同時說明了該對應(yīng)原理的局限性。由式其中，。由式68可知，各層材料的剪切松弛模量可以同時在時間上任意變化，這比已有文獻(xiàn)中的松弛模量函數(shù)有了很大的擴(kuò)展。因此，本文給出的廣義剪切松弛模量更具有一般性。2反平面裂紋問題的求解2.1彈性解以反平面裂紋問題為

3、例，根據(jù)FGM的粘彈性對應(yīng)原理，首先計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開位移的彈性解。這時，各層對應(yīng)的彈性材料剪切模量分別為：其中上標(biāo)e表示彈性材料。該裂紋問題的邊界條件為：其中式彈性材料的本構(gòu)方程為：,將式式中，F(xiàn)ourier變換定義為。將式其中,，、和均為關(guān)于的未知函數(shù)。對式為了得到奇異積分方程，引入位錯密度函數(shù)：對有連續(xù)性條件：，由式其中，為裂紋處材料的初始剪切模量，的具體形式見附錄。彈性材料的型應(yīng)力強(qiáng)度因子定義為函數(shù)在處具有平方奇異性，因此可以將其表示為：將被標(biāo)準(zhǔn)化處理，并由式由式根據(jù)Erdogan提出的配點(diǎn)法可以求得方程組其中，和分別是和的Laplace變換，p是變換參量，表示Laplace反

4、變換。3結(jié)果與分析計(jì)算時，設(shè)定、以及，下文圖3圖7中。函數(shù)和分別取為：和，其中和分別是材料3的初始和穩(wěn)態(tài)模量，和均為時間常數(shù)。另外，將應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開位移分別無量綱化：，。3.1應(yīng)力強(qiáng)度因子由圖2可知，對于裂紋靠近FGM界面層中間位置時的情形，在不同條件下，隨著l的增大，0時刻的應(yīng)力強(qiáng)度因子先迅速減小后趨于穩(wěn)定。當(dāng)時，對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響較明顯，其中越大，應(yīng)力強(qiáng)度因子越小。由圖3可知，裂紋位置對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響顯著。其中l(wèi)較小時，裂紋位置越靠近FGM上端，應(yīng)力強(qiáng)度因子越小，而l較大時應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化趨勢那么相反。圖2不同均質(zhì)材料初始模量比時應(yīng)力強(qiáng)度因子隨l的變化Fig.2Variat

5、ionsofstressintensityfactorswithlfordifferentinitialrelaxationmodulusratesofhomogeneousmaterials圖3不同裂紋位置時應(yīng)力強(qiáng)度因子隨l的變化Fig.3Variationsofstressintensityfactorswithlfordifferentcracklocations圖4應(yīng)力強(qiáng)度因子隨時間的變化Fig.4Variationsofstressintensityfactorswith由圖4可以看出，隨著時間的推移，不同l影響下應(yīng)力強(qiáng)度因子始終保持一定的差距，并且按加載函數(shù)指數(shù)形式減小。當(dāng)時，三種

6、情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子均減小到0.6以下。由以上各圖可知，在不同的以及裂紋位置影響下，l對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響規(guī)律也不同。由式7可知，F(xiàn)GM等效非均勻性參數(shù)和成正比，即l是通過影響進(jìn)而影響應(yīng)力強(qiáng)度因子。注意到圖3中三條曲線在處近似交于一點(diǎn)，因?yàn)檫@時，三種情況下裂紋都可看成置于均質(zhì)無限長的板條之中，僅位置有所不同，此時應(yīng)力強(qiáng)度因子差異很小。由以上分析可知，在和裂紋位置一定的情況下，可以通過控制FGM兩側(cè)均質(zhì)材料的松弛模量時間因子比值來減小裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，從而提高材料的抗斷裂能力。由圖5所示，初始時刻裂紋張開位移沿x軸呈對稱分布，其中在處位移最大，l越小，裂紋張開位移越大。考慮到l是通過影響進(jìn)而影

7、響裂紋張開位移，因此，在模型中選擇適宜的l值可以減小裂紋張開位移，延長材料的使用壽命。圖5裂紋張開位移隨坐標(biāo)x的變化Fig.5Variationsofcrackopeningdisplacementswiththecoordinatex圖6最大裂紋張開位移隨l的變化Fig.6Variationsofthemaxcrackopeningdisplacementwithl圖6顯示的是在初始時刻，最大裂紋張開位移隨l的變化。對于不同的裂紋位置，隨著l的增大，裂紋張開位移迅速減小后趨于穩(wěn)定，當(dāng)時變化很明顯。和圖3中應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化曲線相似，裂紋張開位移的三條曲線在處也近似交于一點(diǎn)。但是，這三條曲線差

8、異很小，說明裂紋位置對裂紋張開位移的影響不大。圖7最大裂紋張開位移隨時間的變化Fig.7Variationsofthemaxcrackopeningdisplacementwith圖7所示的是在不同的影響下最大裂紋張開位移隨時間的變化。材料的穩(wěn)態(tài)模量和初始模量比值越大，裂紋張開位移越小。由于材料本身具有粘彈性，裂紋張開位移首先是增大趨勢，隨著時間的推移，裂紋張開位移因?yàn)檩d荷的減小而迅速減小。4結(jié)論1本文研究了介于兩粘彈性均質(zhì)材料之間的粘彈性FGM界面層反平面裂紋問題，通過引入兩均質(zhì)材料松弛模量時間因子比l，給出了FGM界面層一種廣義剪切松弛模量，這比已有文獻(xiàn)中的松弛模量更具有一般性。2由Fou

9、rier變換推導(dǎo)了反平面裂紋問題的奇異積分方程，通過數(shù)值計(jì)算首先得到應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開位移的彈性解，再根據(jù)FGM的粘彈性對應(yīng)原理和Laplace變換得到粘彈性解。3分析了兩均質(zhì)材料松弛模量時間因子比l、裂紋位置等參數(shù)對應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開位移的影響。發(fā)現(xiàn)l通過影響FGM等效非均勻性參數(shù)而影響應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開位移。裂紋位置對應(yīng)力強(qiáng)度因子有顯著影響，而對裂紋張開位移影響不大。4本文給出的廣義剪切松弛模量可應(yīng)用于不同類型的裂紋在平面或軸對稱等問題中的求解，這對于FGM的粘彈性對應(yīng)原理在實(shí)際中的應(yīng)用具有一定的價值。參考文獻(xiàn)1 仲政, 吳林志, 陳偉球. 功能梯度材料與結(jié)構(gòu)的假設(shè)干力學(xué)問題研

10、究進(jìn)展. 力學(xué)進(jìn)展, 2021, 40(5): 528-541. (Zhong Z, Wu L Z, Chen W Q. Progress in the study on mechanics problems of functionally graded materials and structures.Advances in Mechanics, 2021, 40(5): 528-541. (in Chinese)2 Delale F, Erdogan F. The crack problem for a nonhomogeneous plane.ASME Journal of Applie

11、d Mechanics, 1983, 50(3): 609-614.3 Delale F, Erdogan F. On the mechanical modeling of the interfacial region in bonded half-planes. ASME Journal of Applied Mechanics,1988, 55(2): 317-324.4 Wang X Y, Zou Z Z, Wang D. On the penny-shaped crack in a non-homogeneous interlayer under torsion. Internatio

12、nal Journal of Fracture,1996, 82(4): 335-343.5 Wang B L, Han J C, Du S Y. Cracks problem for non-homogeneous composite material subjected to dynamic loading. International Journal ofSolids and Structures, 2000, 37(9): 1251-1274.6 Wang Y S, Huang G Y, Dross D. On the mechanical modeling of functional

13、ly graded interfacial zone with a griffith crack: anti-plane deformation. ASMEJournal of Applied Mechanics, 2003, 70(5): 676-680.7 Guo L C, Naotake N. Modeling method for a crack problem of functionally graded materials with arbitrary propertiespiecewise-exponentialmodel. International Journal of So

14、lids and Structures, 2007, 44(21):6768-6790.8 Zhong Z, Cheng Z Q. Fracture analysis of a functionally graded strip with arbitrary distributed material properties. International Journalof Solids and Structures, 2021, 45(13): 3711-3725.9 Li Y D, Jia B, Zhang N, Tang L Q, Dai Y. Dynamic stress intensit

15、y factor of theweak/micro-10 Li Y D, Tan W, Zhang H C. Anti-plane transient fracture analysis of the functionally gradient elastic bi-material weak/infinitesimal-discontinuous interface. International Journal of Fracture, 2006, 142(1-2): 163 -171.11 Herrmann J M, Schovanec L. Quasi-static mode III f

16、racture in a nonhomogeneous viscoelastic body. Acta Mechanica, 1990, 85(3-4): 235-249.12 Herrmann J M, Schovanec L. Dynamic steady-state mode III fracture in a nonhomogeneous viscoelastic body. Acta Mechanica, 1994, 106(1-2):41-54.13 Paulino G H, Jin Z H. Correspondence principle in viscoelastic fun

17、ctionally graded materials. ASME Journal of Applied Mechanics, 2001, 68(1):129-132.14 Mukherjee S, Paulino G H. The elastic-viscoelastic correspondence principle for functionally graded materials, revisited. ASME Journal ofApplied Mechanics, 2003, 70(3): 359-363.15 Jin Z H. Some notes on the linear

18、viscoelasticity of Functionally Graded Materials. Mathematics and Mechanics of Solids, 2006, 11(11): 216-224.16 Paulino G H, Jin Z H. Viscoelastic functionally graded materials subjected to antiplane shear fracture. ASME Journal of Applied Mechanics,2001, 68(2): 284-293.17 Paulino G H, Jin Z H. A cr

19、ack in a viscoelastic functionally graded material layer embedded between two dissimilar homogeneous viscoelastic layers-antiplane shear analysis. International Journal of Fracture, 2001, 111(3):283-303.18 Jin Z H, Paulino G H. A viscoelastic functionally graded strip containing a crack subjected to in-plane loading. Engineering FractureMechanics, 2002, 69(14-16): 1769-1790.19 李偉杰, 王保林, 張幸紅. 功能梯度材料的黏