用Mathematica7.0實(shí)現(xiàn)二維分形圖

1、用Mathematica7.0實(shí)現(xiàn)二維分形圖論文導(dǎo)讀：如果每次迭代時(shí)取的3次,4次,5次,6次會(huì)是什么樣圖形呢？會(huì)不會(huì)畫(huà)出的圖形混沌而沒(méi)有規(guī)律呢？只要對(duì)程序中的n值進(jìn)行賦值就可以了。可以用以上圖5、圖6所示的分形圖看出。迭代，用Mathematica7.0實(shí)現(xiàn)二維分形圖。關(guān)鍵詞：分形，迭代，Mandelbrot集，Julia集1 分形分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)行和活潑的新理論、新學(xué)科。1967年美籍科學(xué)家Mandelbrot在美國(guó)權(quán)威的?科學(xué)?雜志上發(fā)表了題為?英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？?的著名論文。早20世紀(jì)70年代中期以前，Mandelbrot一直使用英文fractional一詞來(lái)表示他的分形思想

2、，因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾所合成的fractal，本意是不規(guī)那么，破碎的，分?jǐn)?shù)的。Mandelbrot是想用此詞描述自然界中傳統(tǒng)歐式幾何學(xué)不能描述的一大類(lèi)復(fù)雜無(wú)規(guī)的幾何對(duì)象，例如：蜿蜒曲折的海岸線，起伏不定的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無(wú)常的浮云。它們的特點(diǎn)：極不規(guī)那么或極不光滑【1】。1.1 分形維數(shù)對(duì)于歐幾里得幾何所描述的整形來(lái)說(shuō)，可以由長(zhǎng)度、面積、體積來(lái)測(cè)度。論文發(fā)表，迭代。但用這種方法對(duì)分形的層層細(xì)節(jié)做出測(cè)定是不可能的。曼德?tīng)柌剂_特放棄了這些測(cè)定而轉(zhuǎn)向了維數(shù)概念。分形的主要幾何特征是關(guān)于它的結(jié)構(gòu)的不規(guī)那么性和復(fù)雜性，主要特征量應(yīng)該是關(guān)于它的不規(guī)那么性和復(fù)雜性程度的度量，這可用維數(shù);

3、來(lái)表征。維數(shù)是幾何形體的一種重要性質(zhì)，有其豐富的內(nèi)涵。整形幾何學(xué)描述的都是有整數(shù)維的對(duì)象：點(diǎn)是零維的，線是一維的，面是二維的，體是三維的。我們知道0維是點(diǎn)，一維是線，二維是面，三維是空間。論文發(fā)表，迭代。那么，誰(shuí)能告訴我1.5維是什么? 一條直線段是一維的，由四條這樣的直線段組成的正方形是二維的。六個(gè)這樣的正方形組成的正方體是三維的。直線的長(zhǎng)度數(shù)值，正方形的面積數(shù)值和立方體的體積數(shù)值都和我們測(cè)量的單位有關(guān)。測(cè)量的單位也往往是我們所能分辨的最小單位。假設(shè)我們的分辨能力增加了一倍，因此我們把直線段長(zhǎng)度單位減小到原單位的一半，直線段長(zhǎng)度的計(jì)量值就變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，正方形面積就變?yōu)樵瓉?lái)的四倍，體積那么變

4、為原來(lái)的八倍。我們有下式:log4/log2=2log8/log2=3這里的二和三不是巧合，這是另一種維數(shù)的定義:測(cè)度維的概念。論文發(fā)表，迭代。為了定量地描述客觀事物的非規(guī)那么;程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測(cè)度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限【1】。如果某圖形是由把原圖縮小為1/的相似的b個(gè)圖形所組成，有：D=。論文發(fā)表，迭代。D即維數(shù)：D=log/log其中的為線度的放大倍數(shù)，K為體積;的放大倍數(shù)。我們還可以這樣推廣：如果把一個(gè)物體的邊長(zhǎng)分成n個(gè)相等的小線段，結(jié)果可得到與原物形狀相同的m個(gè)小物體。把m寫(xiě)成以n為底的指數(shù)形式：m=nd (或d=1

5、ogm/1ogn)那么指數(shù)d=1og m/1og n稱(chēng)為這個(gè)物體的維數(shù)。由于1ogm/1ogn不一定是整數(shù)，因此就會(huì)出現(xiàn)維數(shù)為分?jǐn)?shù)的情況。例如： koch曲線,它的維數(shù)是d=1og4/1og31.26。Sierpinski墊片，它的維數(shù)是d=1og3/1og21.58【1】。2 Mandelbrot集與Julia集的Mathematica實(shí)現(xiàn)Mandelbrot集與Julia集都是用迭代法作出的分形圖，Mandelbrot集的迭代函數(shù)是，而Julia集的迭代函數(shù)是，其中為任意的復(fù)常數(shù)【1】，使用迭代法，編寫(xiě)了Mandelbrot集和Julia集的Mathematica程序。Mandelbrot

6、集非常奇特，但它的生成原理卻十分簡(jiǎn)單。這也學(xué)表達(dá)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單和諧之美。對(duì)進(jìn)行這樣的迭代：，給定為一個(gè)初始的復(fù)常數(shù)，而對(duì)不同的，迭代序列有界的所有值構(gòu)成的集合，即，那么稱(chēng)在復(fù)平面上構(gòu)成的集合為Mandelbrot集【1】。2.1 程序設(shè)計(jì)為了更好的編程繪制Mandelbrot集與Julia集并實(shí)現(xiàn)其高階的迭代，先設(shè)如下：1、選定參數(shù)，取方程為進(jìn)行迭代。論文發(fā)表，迭代。2、的模小于2，迭代次數(shù)不超過(guò)50。3、對(duì)于在平面上表示時(shí)，設(shè)xx為x的初始迭代坐標(biāo)，yy為y的初始迭代坐標(biāo)坐標(biāo)表示。4、所取的變量范圍為cx，cy，分別為x與y的范圍。Mandelbrot集的Mathematica程序Mandel

7、brot := Block Fx1:=Block, xx, pu,pu，yy, po, po，pl,Mesh - False, ColorFunction -Hue;Return取迭代方程為Z =Z2 +C，變量范圍為x,-1.5,0.5,y,-1.2, 1.2,并畫(huà)出區(qū)域x, 0.2, 0.4, y, -0.1, 0.1Md1=Fx1Show取迭代方程為，變量范圍為x, 0.2, 0.4, y, -0.1, 0.1，為上圖的局部放大圖。Md2=Fx1圖1 Mandelbrot集圖2 前面的局部放大圖Julia集的Mathematica程序Julia:=Block Fx2:=Block, xx

8、, pu,pu, yy, po, po, pl, Mesh - False, ColorFunction -Hue;ReturnJu1=Fx2Show取迭代方程為Z =Z2 +C，固定C值為0.27334+0.00742i變量范圍為x, 0.4,0.8, y, -0.3, 0。為上圖的局部放大圖。Ju2=Fx2 圖3 Julia集圖4 前面的局部放大圖程序繪出的圖形非常美麗，我們進(jìn)而又思考，如果每次迭代時(shí)取的3次,4次,5次,6次會(huì)是什么樣圖形呢？會(huì)不會(huì)畫(huà)出的圖形混沌而沒(méi)有規(guī)律呢？只要對(duì)程序中的n值進(jìn)行賦值就可以了。對(duì)于Mandelbrot集和Julia集的Mathematica的程序中，在F

9、x1和Fx2，對(duì)n進(jìn)行不同的賦值，cx，cy賦于不同c值，可各式各樣的Mandelbrot集和Julia集。論文發(fā)表，迭代。參數(shù)的不同，產(chǎn)生的圖形是不同的，如果要得到更多的圖形，可以進(jìn)行不同的賦值。M2=Fx2;M3=Fx3;M4=Fx4;M5=Fx5; 圖5 Mandelbrot集J2=Fx2J3=Fx2J4=Fx2J5=Fx2圖6 Julia集可以用以上圖5、圖6所示的分形圖看出，這些分形圖雖然各不相同，但結(jié)構(gòu)上卻有很強(qiáng)的自相似性，圖5所示的4副圖中，后面的圖為前面圖形的局部放大圖，其自相似性到達(dá)了令人驚奇的程度，在程序的運(yùn)行過(guò)程中，當(dāng)?shù)螖?shù)較大的時(shí)候，計(jì)算所需的時(shí)間會(huì)變長(zhǎng)，因?yàn)橐环鶊D往往需要經(jīng)數(shù)百萬(wàn)次的運(yùn)算才能得到，如果沒(méi)有計(jì)算機(jī)是無(wú)法完成的。3 結(jié)束語(yǔ)分形理論推動(dòng)了計(jì)算機(jī)繪圖方法的創(chuàng)新與開(kāi)展，使計(jì)算機(jī)技術(shù)在繪制仿真圖形和各種奇特圖形方面發(fā)揮了重要的作用。同時(shí)，計(jì)算機(jī)繪圖的高精度與高效率也推動(dòng)了分形理論的研究。運(yùn)用計(jì)算機(jī)繪制出復(fù)雜的，奇特的分形圖為理論的研究提供了最直觀的形象，促進(jìn)了分形科學(xué)的開(kāi)展，計(jì)算機(jī)完成了手工無(wú)法完成的分形圖繪制，這種奇特、新穎、復(fù)雜的