2013屆高考數(shù)學(xué)（文科）復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)解題方法專(zhuān)題：第二講 填空題解題 5妙招

1、金太陽(yáng)新課標(biāo)資源網(wǎng) HYPERLINK 第 PAGE 11 頁(yè) 共 NUMPAGES 11 頁(yè) 金太陽(yáng)新課標(biāo)資源網(wǎng) HYPERLINK 第二講填空題解題 5妙招1數(shù)學(xué)填空題的特點(diǎn)填空題缺少選擇的信息，故解答題的求解思路可以原封不動(dòng)地移植到填空題上但填空題既不用說(shuō)明理由，又無(wú)需書(shū)寫(xiě)過(guò)程，因而解選擇題的有關(guān)策略、方法有時(shí)也適合于填空題填空題大多能在課本中找到原型和背景，故可以化歸為熟知的題目或基本題型填空題不需過(guò)程，不設(shè)中間分值，更易失分，因而在解答過(guò)程中應(yīng)力求準(zhǔn)確無(wú)誤填空題雖題小，但跨度大，覆蓋面廣，形式靈活，可以有目地、和諧地結(jié)合一些問(wèn)題，突出訓(xùn)練學(xué)生準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、全面、靈活地運(yùn)用知識(shí)的能力和基

2、本運(yùn)算能力，突出以圖助算、列表分析、精算與估算相結(jié)合等計(jì)算能力要想又快又準(zhǔn)地答好填空題，除直接推理計(jì)算外，還要講究一些解題策略，盡量避開(kāi)常規(guī)解法2數(shù)學(xué)填空題的類(lèi)型根據(jù)填空時(shí)所填寫(xiě)的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類(lèi)型：一是定量型，要求考生填寫(xiě)數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系，如：方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長(zhǎng)度、角度大小等等由于填空題和選擇題相比，缺少選擇的信息，所以高考題中多數(shù)是以定量型問(wèn)題出現(xiàn)二是定性型，要求填寫(xiě)的是具有某種性質(zhì)的對(duì)象或者填寫(xiě)給定的數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì)，如：給定二次曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等等近幾年出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇性的填空題3解數(shù)學(xué)填空題的原則解

3、答填空題時(shí)，由于不反映過(guò)程，只要求結(jié)果，故對(duì)正確性的要求比解答題更高、更嚴(yán)格考試說(shuō)明中對(duì)解答填空題提出的基本要求是“正確、合理、迅速”為此在解填空題時(shí)要做到：快運(yùn)算要快，力戒小題大作；穩(wěn)變形要穩(wěn)，不可操之過(guò)急；全答案要全，力避殘缺不齊；活解題要活，不要生搬硬套；細(xì)審題要細(xì)，不能粗心大意直接法此類(lèi)填空題的特點(diǎn)是必須根據(jù)題目中給出的條件，通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算找出正確答案解決此類(lèi)問(wèn)題需要直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論等，通過(guò)巧妙變化，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程解題過(guò)程要靈活地利用相關(guān)的運(yùn)算規(guī)律和技巧，合理轉(zhuǎn)化、巧妙處理已知條件例1若ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sin2Asin2Bsin Bsin Csin2C，則A_.思

4、路點(diǎn)撥如果直接求角，則需要利用三角恒等變換，運(yùn)算比較麻煩，注意到已知等式兩邊都是相關(guān)角的正弦，所以可利用正弦定理直接轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系式，然后利用余弦定理求解即可解析由正弦定理可得：eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，故sin2Asin2Bsin Bsin Csin2C可化為a2b2bcc2，即b2c2a2bc，故cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(1,2)，又因?yàn)锳(0，)，所以Aeq f(2,3).答案eq f(2,3)直接法是解決計(jì)算型填空題最常用的方法，在計(jì)算過(guò)程中我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，并注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈

5、活應(yīng)用，通過(guò)合理轉(zhuǎn)化將計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化，從而得到結(jié)果.1已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a72a41，a30，則公差d_.解析：法一：a30，a7a34d4d，a4a3dd，a72a44d2d1，deq f(1,2).法二：an是等差數(shù)列，a72a4a7(a1a7)a11.a11.deq f(a3a1,2)eq f(1,2).答案：eq f(1,2)估算法所謂估算法，就是一種粗略的計(jì)算方法，即對(duì)有關(guān)數(shù)值進(jìn)行擴(kuò)大或縮小，從而對(duì)運(yùn)算結(jié)果確定出一個(gè)范圍或作出一個(gè)估計(jì)的方法例2若正數(shù)a，b滿足abab8，則ab的取值范圍為_(kāi)思路點(diǎn)撥如果直接利用已知條件求解ab的取值范圍，則需要利用基本不等式求解ab的最值，并對(duì)

6、已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，計(jì)算比較復(fù)雜此時(shí)根據(jù)已知等式的特征和基本不等式成立的條件可估計(jì)出ab時(shí)取最值，然后再取一個(gè)值檢驗(yàn)即可解析令ab，則已知等式可化為a22a8，解得a2(舍去)或a4，此時(shí)ab16；而當(dāng)a2時(shí)，b10，此時(shí)ab2016，所以ab的取值范圍為16，)答案16，)估算需要根據(jù)已知條件和所求的問(wèn)題進(jìn)行靈活處理，該題主要利用了已知等式中a與b互換后等式不變的特征，所以猜測(cè)ab時(shí)取得最值，若a與b互換后已知等式發(fā)生變化，則不能利用ab求最值，必須結(jié)合等式的特征靈活處理.有些計(jì)算型填空題，不必經(jīng)過(guò)繁雜的計(jì)算，只需大體估算一下，便可快速準(zhǔn)確地得到答案.2已知x，y(0，)，且xyxy8，則xy

7、的取值范圍是_ 解析：令xy，則已知等式可化為x22x8，解得x2(舍去)或x4，此時(shí)xy8，而當(dāng)x2，y10時(shí)，xy128，所以xy8，即xy的取值范圍為8，)答案：8，)特值法一個(gè)結(jié)論在一般情形下成立，在特殊情形下必然成立，填空題只要結(jié)果，不要過(guò)程，所以可將填空題中的一般情形特殊化再求解，這種解填空題的方法，叫做特殊化法凡在一般情形下探求結(jié)論的填空題，都可用特殊化法進(jìn)行求解，即取特殊值、特殊位置、特殊圖形、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列等進(jìn)行求解例3如圖，在ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線與直線AB、AC分別交于不同的兩點(diǎn)P、Q，若，則eq f(1,)eq f(1,)_. 思路點(diǎn)撥如果直接求解

8、，則需要構(gòu)造平行線，利用向量的基本運(yùn)算求解，運(yùn)算比較復(fù)雜注意到結(jié)果是定值，所以可取特殊的直線進(jìn)行求解解析由題意可知，eq f(1,)eq f(1,)的值與點(diǎn)P、Q的位置無(wú)關(guān)，而當(dāng)直線BC與直線PQ重合時(shí)，則有1，所以eq f(1,)eq f(1,)2.答案21當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以直接賦予參數(shù)一個(gè)特殊的數(shù)值或函數(shù)、角、數(shù)列等，代入計(jì)算即可得到結(jié)論.2求值或比較大小關(guān)系等問(wèn)題均可利用特殊值法求解，但要注意此種方法僅限于所求值只有一種的填空題，對(duì)于開(kāi)放性的問(wèn)題或者多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解.3曲邊梯形由曲線yx21，y0，x1，x2圍成，過(guò)

9、曲線yx21，x1,2上一點(diǎn)P作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個(gè)面積最大的普通梯形，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)解析：注意特殊性，可以發(fā)現(xiàn)圍成的梯形的高為1，上、下底邊長(zhǎng)的和隨著動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化，始終與動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)有關(guān)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在普通梯形的中位線上時(shí)，所求普通梯形的面積最大，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為Peq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(13,4).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(13,4)圖解法對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過(guò)對(duì)圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果這類(lèi)問(wèn)題的幾何意義一般比較明顯，如一次

10、函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點(diǎn)間的距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準(zhǔn)確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形，雖然作圖要花費(fèi)一些時(shí)間，但只要認(rèn)真將圖形作完，解答過(guò)程就會(huì)簡(jiǎn)便很多例4若不等式eq r(4xx2)(a1)x的解集為A，且Ax|0 xOBOC，分別經(jīng)過(guò)三條棱OA，OB，OC作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為_(kāi)解析：令OA6，OB4，OC2，分別取BC，CA，AB邊的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則OAD，OBE，OCF分別是滿足條件的截面三角形，且它們均為直角三角形，所以S1eq f(1,2)6eq f(r(20),2)eq r(45)，S2e

11、q f(1,2)4eq f(r(40),2)eq r(40)，S3eq f(1,2)2eq f(r(52),2)eq r(13)，滿足S3S2S1.答案：S3S20，b0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使|OP|OF1|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且|PF1|eq r(3)|PF2|，則雙曲線的離心率為_(kāi)解析：因?yàn)閨OP|OF1|eq f(1,2)|F1F2|，所以PF1PF2，由|PF1|2|PF2|2(2c)2，即3|PF2|2|PF2|2(2c)2，解得|PF2|c，|PF1|eq r(3)c，由定義得|PF1|PF2|eq r(3)cc2a，所以eeq r(3)1.答案：eq r(3)

12、114定義在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上的函數(shù)y6cos x的圖像與y5tan x的圖像的交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作PP1x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與ysin x的圖像交于點(diǎn)P2，則線段P1P2的長(zhǎng)為_(kāi)解析：如圖所示，線段P1P2的長(zhǎng)即為sin x的值，且其中的x滿足6cos x5tan x，解得sin xeq f(2,3)，即線段P1P2的長(zhǎng)為eq f(2,3).答案：eq f(2,3)15已知數(shù)列an滿足a133，an1an2n，則eq f(an,n)的最小值為_(kāi)解析：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1212(n1)33n2n33.所以eq f(an

13、,n)eq f(33,n)n1，設(shè)f(x)eq f(33,x)x1，令f(x)eq f(33,x2)10，則f(x)在(eq r(33)，)上是單調(diào)遞增的，在(0，eq r(33)上是單調(diào)遞減的，因?yàn)閚N*，所以當(dāng)n5或6時(shí)f(x)有最小值又因?yàn)閑q f(a5,5)eq f(53,5)，eq f(a6,6)eq f(63,6)eq f(21,2)，所以eq f(an,n)的最小值為eq f(a6,6)eq f(21,2).答案：eq f(21,2)16定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(x)f(2x)，在區(qū)間1,2上是單調(diào)遞減函數(shù)關(guān)于函數(shù)f(x)有下列結(jié)論：圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)；最小正周期是2；在區(qū)間2，1上是減函數(shù)；在區(qū)間1,0上是增函數(shù)其中正確結(jié)論的序號(hào)是_(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上)解析：由f(x)f(2x)可知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)，故命題正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，圖像又關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)f(x)必是一個(gè)周期函數(shù)，其最小