北大隨機過程課件：第3章第3講生滅過程

1、幾種重要的馬爾科夫過程幾種重要的馬爾科夫過程泊松過程純增值過程，尤爾過程生滅過程分析方法：馬爾可夫過程：定義、性質(zhì)數(shù)學描述：跳躍率矩陣、Q,狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖，狀態(tài)列欠最、轉(zhuǎn)移概率矩陣、轉(zhuǎn)移概率行欠鼠、轉(zhuǎn)移概率列欠竜,基本規(guī)律：前進方程、后退方程、福克-布朗克方程過程分析：暫態(tài)（拉氏變換、母函數(shù)）、穩(wěn)態(tài)（條件）典型過程的分析，1泊松過程定義2純增值過程，尤爾過程定義跳躍率微分方程拉氏變換求解3生滅過程定義跳躍率前進微分方程利用母函數(shù)求解?？似绽士朔匠蹋约熬档母？似绽士朔匠谭€(wěn)態(tài)解4馬爾可夫過程舉例：利用微分方程求同解，利用穩(wěn)態(tài)方程求穩(wěn)態(tài)解純增值過程：尤爾過程舉例電話的話音模型簡單排隊問題可靠性問題電

2、話交換問題1泊松過程2純增值過程2.1定義2.2分析2.2例：尤爾過程3生滅過程3.1定義：生滅過程3.2跳躍強度矩陣3.3前進微分方程3.4福克普朗克方程3.4研究穩(wěn)態(tài)/TS的解4舉例1泊松過程泊松過程的狀態(tài)為。丄乂,。在任意狀態(tài)F,在+時間間隔內(nèi)出現(xiàn)一次事件的概率是久+O(AZ),出現(xiàn)兩次事件的概率是0()。2(/)=兄是常數(shù)，則為齊次泊松過程，2(/)是時間的函數(shù)，則為非齊次泊松過程。2純增值過程2.1定義純增值過程是泊松過程的推廣。純增值過程的狀態(tài)為0丄,2,/，。在狀態(tài)n卜,在(+/時間間隔內(nèi)出現(xiàn)一次事件的概率是血(/)/+o(AZ),出現(xiàn)兩次事件的概率是o(/)。2.2分析純增值過

3、程轉(zhuǎn)移概率的方程：2”(f)A/+0(d),k=n+1+/)=/處)=/?)=1-An(/)AZ+0(d),k=n0(d),otherwise設(shè)初始狀態(tài)是m狀態(tài),當人（。=人時:T”04Ar-H0An+1000Q=0000-A00純増値過程狀態(tài)概率的微分方程:讐叫.0即:小dt=-4%,（0他dt=_K）+A-i求解微分方程、用拉氏變換方法求解微分方程。S叫G）=一人叫G）+1,則可以轉(zhuǎn)移到狀態(tài)(n+1)或狀態(tài)(n-1)；如果處0狀態(tài)，則只能轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1。在t時刻處J：n狀態(tài)，在(/,/+/)時間間隔內(nèi)，由狀態(tài)n轉(zhuǎn)移到狀態(tài)(n+1)的概率為兄”(/)/+0(),由狀態(tài)n轉(zhuǎn)移到狀態(tài)(n-1)的概

4、率為“(/)/+0()：在(/,/+/)時間間隔內(nèi)，由狀態(tài)n轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)的概率為O(AZ)a2”()=%3.2跳甌強度矩陣SooQoiq(n、5Ao0、Q=9iocln912=1-(A1+2J2k丿0由此可得，“M=久owo”*叫+1=兄”叫，”1上述方程稱為生滅過程的穩(wěn)態(tài)平衡流方程。久。A“1“222“2“12”()=%考慮到歸一化條件,曲=1,H=0可以確定存在極限分布的條件、以及相應(yīng)條件卜各個狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率。4舉例例1純增值過程：尤爾過程舉例例2電話的話音模型，設(shè)話音的正常發(fā)音時間是一負指數(shù)分布的隨機變最，平均發(fā)音時間為1/A,它停止發(fā)音的間歇時間也是一個負指數(shù)分布的隨機變量，它的平均

5、間歇時間為1/卩。求話音發(fā)音時間和間歇時間的分布函數(shù)。解1:繪出狀態(tài)圖、標出狀態(tài)轉(zhuǎn)移強度,分析t=0時正在發(fā)音，在t=x時仍在發(fā)音的概率,分析t=0時正在發(fā)音,在t=x時停止發(fā)音的概率密度,分析t=0時停止發(fā)音，在t=x時仍在停止發(fā)音的概率,分析t=0時停止發(fā)音，在t=x時開始發(fā)音的概率密度。解2：利用前進和后退方程來解（同上題）。例3簡單排隊問題（見卜一節(jié)）例4可靠性問題，（見卜一節(jié)）設(shè)有一個系統(tǒng)由M個元件組成，每個元件的正常工作時間服從負指數(shù)分布。如果系統(tǒng)在時刻t有n個元件失效，則在（+）時間間隔內(nèi)產(chǎn)生一個新的失效元件的概率是久+失效元件可以修復，在（/+/）時間間隔內(nèi)修復一個元件的概率是/+?（/）o假設(shè)在（/+AZ）時間間隔內(nèi)有二個或二個以上的元件失效或同時修復二個或二個以上元件的概率是某系統(tǒng)要正常工作至少要有k個元件正常工作，