高數同濟§33 泰勒(taylor)公式

1、3.3 泰勒(Taylor)公式 問題的提出 泰勒中值定理P1391一、問題的提出（如下圖）在微分中我們講過，當 很小時，即令： 則 誤差為上式表明函數 f (x)在 x0的附近可用一個線性函數來近似。且當 很小時， 誤差也很小。23不足:問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計.4分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在 點相交5三、泰勒(Taylor)中值定理6證明:7拉格朗日形式的余項皮亞諾形式的余項81.說明:92.麥克勞林(Maclaurin)公式Talyor公式特例或10四、Talyor公式簡單的應用解代入公式,得由公式可知11估計誤差其誤差思考：e x=?

2、12 常用函數的麥克勞林公式13 位于 x 與 1之間。例2 直接展開法解： 14解15播放小 結16播放17思考題1. 利用泰勒公式求極限18思考題解答19思考題20證明: f(a)=A0, f(x)二階可導 Xa, 使f(X)0, f(x)在a,+)上連續(xù), 至少(a,X)a,+ ) 使f()=0. 唯一性證明: 方法一方法二(反證法) 若f(x)=0有兩個根: x1x2, 由羅爾定理知21作業(yè)：P145：2、4、5、9-（1）、10-（2）22 世紀早期英國牛頓學派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數學家泰勒（Brook Taylor）， 于 年月日在米德爾塞克斯的埃 德蒙頓出生。年后移居倫敦，獲

3、法學碩士學位。他在 年當選為英國皇家學 會會員，并于兩年后獲法學博士學位。同年（即年）出任 英國皇家學會秘書，四年 后因健康理由辭退職務。年，他以泰勒定理求解了數值方程。 最后在年 月日于倫敦逝世。 泰勒的主要著作是年出版的正 的和反的增量方法，書內以下列形式陳述出他已于 年月給其老師梅欽（數學家 、天文學家）信中首先提出的著名定理泰勒定理：式內為獨立變量的增量， 及 為流數。他假定隨時間均勻變化，則 為常數。上述公式以現代 形式表示則為：這公式是從格雷戈里牛頓插值公式發(fā)展而成 的，當時便稱作馬克勞林定理。年 ，拉格朗日強調了此公式之重要性，而且 稱之為微分學基本定理，但泰勒于證明當中并沒有考

4、慮 級數的收斂性，因而使證明不嚴謹， 這工作直至十九世紀二十年代才由柯西完成。 泰勒定理開創(chuàng) 了有限差分理論，使任何單變量 函數都可展成冪級數；同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者 。 泰勒于書中還討論了微積分對一系列物理 問題之應用，其中以有關弦的橫向振動之結果尤為重要 。他透過求解方程 導出了基本頻率公式，開創(chuàng)了研究弦振問題之先 河。此外，此書還包括了他于 數學上之其他創(chuàng)造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率 問題之研究等。 年，他出版了另一名著線性透 視論，更發(fā)表了再版的線性透視原理（） 。他以極嚴密之形式展開其線性透 視學體系，其中最突出之貢獻是提出和使用沒影點概念， 這對攝影測量制圖學之發(fā)展有 一定影響。另外，還撰有哲學遺作，發(fā)表于年。泰勒(2004-02-