固體物理第章平面波法

1、關(guān)于固體物理第章平面波法第一張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月5.3 平面波方法 模型：平面波方法就是三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似。勢(shì)能 是具有周期性的函數(shù)，可以作傅氏展開。 由勢(shì)場的周期性因?yàn)?是實(shí)數(shù)，所以因?yàn)?為正格矢，所以 必為倒格矢，即第二張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月5.3.1 微擾計(jì)算哈密頓量可寫為為方便計(jì)算，我們?nèi)?shì)能平均值V0=0，這樣第三張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月考慮到 后解薛定諤方程，由布洛赫定理可知波函數(shù)應(yīng)為：其中周期性因子 展成傅里葉級(jí)數(shù)，將 代入薛定諤方程第四張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月上式點(diǎn)乘 并對(duì)整個(gè)晶體積分得：在

2、上式求解過程中，利用了關(guān)系式：第五張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 因?yàn)?有無數(shù)多個(gè)取值，所以上式是一個(gè)無限多項(xiàng)的方程式。在計(jì)算精度范圍內(nèi)，可取有限項(xiàng)平面波來作 的近似。在此情況下，上式就變?yōu)橐粋€(gè)有限項(xiàng)的方程。這樣的方程構(gòu)成了一個(gè)齊次方程組。有解的條件是，它的系數(shù)行列式為零。若以 為行的指標(biāo)，為列的指標(biāo)，行列式的元素為如下形式：第六張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月由此行列式可求出電子的能量 。 如果電子的行為接近于自由電子時(shí)，其波函數(shù)與平面波相近:其他系數(shù) 是小量；電子能量也與自由電子能量近似 在中 電子的近自由電子行為是由勢(shì)場決定的，此種情況的勢(shì)場起伏不大，中心方程中的系數(shù)

3、是小量。若忽略掉二級(jí)小量，中心方程簡化為： 第七張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月即 當(dāng) 遠(yuǎn)離 時(shí)，由于 是小量，所以 也是小量，但當(dāng) 時(shí)， 變得很大，此時(shí)中心方程中除 和 不能忽略外其它項(xiàng)仍是二級(jí)小量,可以忽略。中心方程化為:第八張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月利用：就可得到：由此可知，當(dāng) 時(shí)，波矢k將對(duì)應(yīng)兩個(gè)能級(jí)，第九張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 這兩能極之間的能量區(qū)間稱為禁帶，禁帶寬度為相應(yīng)傅里葉分量絕對(duì)值的二倍。發(fā)生能量不連續(xù)的波矢 滿足的條件可改寫為：在禁帶中不存在布洛赫波描述的電子態(tài)。禁帶寬度0 上式的幾何意義是：在 空間中從原點(diǎn)所作的倒格矢 的垂直平分面的方程。第十張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 我們令 ，則從圖中可以看出，不僅 與 的模相等，而且，若把 看作 中垂面的入射波矢， 恰是 中垂面的反射波矢。 若不考慮雜質(zhì)和缺陷引起的散射，電子的散射只能是晶格引起的。波矢為 態(tài)的反射波就是與 垂直的晶面族引起的。由第一章知，這組晶面的面間距 0第十一張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月由圖可知這正是與 垂直的晶面族對(duì)應(yīng)的布拉格反射公式。 一維：屬于一個(gè)布里淵區(qū)的能級(jí)構(gòu)成一個(gè)能帶，不同的布里淵區(qū)對(duì)應(yīng)不同的能帶，在布里淵區(qū)邊界能帶與能帶之間出現(xiàn)能隙。5.3.2 三維能帶