數(shù)學(xué)的美教學(xué)課件

1、欣賞數(shù)學(xué)的真善美世上萬物，以真善美為最高境界?！敖逃螒B(tài)的數(shù)學(xué)”與“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”之間的一個重大區(qū)別， 就在于是否具有“數(shù)學(xué)欣賞”的內(nèi)涵。冰冷美麗下的火熱思考 二者都要欣賞。 被淹沒在形式演繹的海洋里的真善美，需要大力挖掘、用心體察才能發(fā)現(xiàn)， 感受、體驗和欣賞。語文教學(xué)與數(shù)學(xué)教學(xué)欣賞， 是教育的一部分。 語文教育重在欣賞， 比如語文課教學(xué)生欣賞古文，欣賞唐詩，卻基本上不會作古詩，寫古文。但是，從小學(xué)到大學(xué)，數(shù)學(xué)教育的重點是 “做題目”， 幾乎不談“欣賞”二字。 數(shù)學(xué)欣賞需要“教”嗎？ 需要， 非常需要數(shù)學(xué)學(xué)好了， 題目會做了， 思維自然就嚴(yán)密了。 數(shù)學(xué)的“真”， 也就在其中了， 用不到什么特

2、別的“數(shù)學(xué)欣賞”。形式化表達(dá)的數(shù)學(xué)，猶如曲折表達(dá)的詩詞，其背后掩蔽著的思想方法和文化底蘊，需要教師有意識地啟發(fā)、點撥、解釋，才能使學(xué)生有所領(lǐng)悟。數(shù)學(xué)教學(xué)之貧困 數(shù)學(xué)各章小結(jié)就是一幅 邏輯框圖。 數(shù)學(xué)思想呢？數(shù)學(xué)價值呢？ 把數(shù)學(xué)等同與邏輯， 就把美麗的數(shù)學(xué)女王， 描寫成一幅X光片里的一付骨架欣賞需要指導(dǎo)、培育 提出問題， 揭示冰冷形式后面的 數(shù)學(xué)本質(zhì)；對比分析， 體察古今中外的數(shù)學(xué) 理性精神；梳理思想， 領(lǐng)略抽象數(shù)學(xué)模型的 智慧結(jié)晶；構(gòu)作意境， 溝通數(shù)學(xué)思考背后的 人文情景。欣賞就是講道理 既要講推理， 更要講道理。 蕭樹鐵等高等數(shù)學(xué)改革研究報告（非數(shù)學(xué)類）。 高等教育出版社 2000一、欣賞數(shù)

3、學(xué)之真愛因斯坦說過 “為什么數(shù)學(xué)比其他一切學(xué)科受到特殊的尊重? 理由之一是數(shù)學(xué)命題的絕對可靠性和無可爭辯性。 至于其他各個學(xué)科的命題則在某種程度上都是可爭辯的，經(jīng)常處于會被新發(fā)現(xiàn)的事實推翻的危險之中”。 例1. “對頂角相等”的教學(xué)。欣賞點：這樣明顯的命題為什么要證明？（提出問題）幾何原本。 命題15：對頂角相等。用公理3：等量減等量， 其差相等。定理本身非常直觀， 無人質(zhì)疑。如果就事論事地解說一番， 或者時髦地讓學(xué)生“量一量”、“拼一拼”那樣地活動一下， 都不能使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)之“真”的欣賞。數(shù)學(xué)與民主古希臘城邦實行奴隸主的民主政治。 民主要求說服、說服需要證明、公理化方法得到應(yīng)用。中國古代數(shù)

4、學(xué)是國家管理數(shù)學(xué)。向理性的飛躍關(guān)鍵點是要問：“這樣明顯的命題要不要證明？” 中國古代數(shù)學(xué)沒有這樣的命題。 古希臘數(shù)學(xué)家提出這樣的定理， 認(rèn)為需要證明， 而且使用“等量減等量其差相等”的公理加以證明。兩相對照， 才知道自己的淺薄，古希臘理性精神的偉大。從“顯然正確因而不必證明”， 到“崇尚理性需要證明”， 是一次思想上的飛躍， 可以說震撼了許多孩子們的“靈魂” 例2. “飛矢不動”與“瞬時速度”。欣賞點：“辯證精密思維的典范， 微積分思維的人文意境”。微分學(xué)的精髓在于認(rèn)識函數(shù)的局部。如何透過微積分教材的形式化陳述，真正領(lǐng)略微積分的思考本質(zhì)， 是微積分教學(xué)的一項重要任務(wù)。飛矢不動靜止的運動觀 函數(shù)

5、描寫運動的局限性古希臘哲學(xué)家芝諾問他的學(xué)生：“一支射出的箭是動的還是不動的？” “那還用說，當(dāng)然是動的?！?“那么，在這一瞬間里，這支箭是動的，還是不動的？” “不動的，老師?！?“這一瞬間是不動的，那么其他瞬間呢？” “也是不動的，老師” “所以，射出去的箭是不動的”惠施（約前370約前310）提出“飛鳥之景，未嘗動也”， 把直覺的瞬時速度， 化為可以言傳的瞬時速度， 需要克服 “飛矢不動“的芝諾悖論。 考察函數(shù)不能孤立地一點一點考察， 而要聯(lián)系其周圍環(huán)境。 這是微積分的核心思想之一： 考察“局部”。 微積分的 “真”， 通過局部的精密分析顯示出來，使人覺得“妙不可言”。整體是由局部構(gòu)成的常

6、言道， “聚沙成塔，集腋成裘”， 那是簡單的堆砌。 其實， 科學(xué)地看待事物， 其單元并非一個個的孤立的點， 而是一個有內(nèi)涵的局部。人體由細(xì)胞構(gòu)成， 物體由分子構(gòu)成。 社會由鄉(xiāng)鎮(zhèn)構(gòu)成， 所以費孝通的“江村調(diào)查”， 解剖一個鄉(xiāng)村以觀察整體， 竟成為中國社會學(xué)的經(jīng)典之作。 同樣， 社會由更小的局部 家庭構(gòu)成。 所以， 我們的戶口以家庭為單位?！敖煺叱?， 近墨者黑”。 看人，要問他/她的身世、家庭、社會關(guān)系，孤立地考察一個人是不行的。函數(shù)也是一樣， 孤立地只看一點的數(shù)值不行， 還要和周圍個點上的函數(shù)值聯(lián)系起來看。微積分就是突破了初等數(shù)學(xué)“就事論事”、孤立地考察一點、不及周圍的靜態(tài)思考， 轉(zhuǎn)而用動態(tài)地

7、考察“局部”的思考方法， 終于創(chuàng)造了科學(xué)的黃金時代。微分學(xué)告訴我們： 怎樣處理“變量”的局部和整體局部是一個模糊的名詞。沒有說多大。就象一個人的成長， 大的局部可以是社會變動、鄉(xiāng)土文化、學(xué)校影響， 小的可以是某老師、某熟人， 再小些僅限父母家庭。 各人的環(huán)境是不同的。 最后我們把環(huán)境中的各種影響匯集起來研究某人的特征。 同樣， 微積分方法， 就是考察函數(shù)在一點的周圍，然后用極限方法， 確定函數(shù)在該點的性態(tài)。微積分闡述的“局部”思維，是精密的思維過程， 體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“真”。 震撼于數(shù)學(xué)模型之深刻二、欣賞數(shù)學(xué)的 “善”數(shù)學(xué)知識推動社會科技與文明的發(fā)展，以其獨特的方式為人類文明的發(fā)展服務(wù)，這是 數(shù)學(xué)

8、“善”的 表現(xiàn)。例3 勾股定理的教學(xué)設(shè)計： 從數(shù)學(xué)文化的高度欣賞當(dāng)前時髦的勾股定理的教學(xué)設(shè)計：發(fā)現(xiàn)， 探究， 摸索1、探究、發(fā)現(xiàn)勾股定理，工作單有6張之多。2、各種各樣的證明， 古希臘證明， 趙爽的證明。幾百種之多。 換個思路： 欣賞勾股定理未嘗不可最后的晚餐， 達(dá) . 芬奇 像欣賞一幅名畫那樣 欣賞勾股定理之價值用歷史的發(fā)展介紹各種數(shù)學(xué)文化： 陳子定理， 勾三股四弦五； 古希臘證明； 巴比侖泥板中的勾股數(shù)； 中國趙爽的代數(shù)證明。 2019年北京國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo) ； 費馬定理的解決， 與外星人通訊使用的圖形。例4 坐標(biāo)的價值。欣賞點：用坐標(biāo)確定位置， 那是地理學(xué)的目標(biāo)。坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)價值遠(yuǎn)超

9、出“確定位置”。近年來，平面直角坐標(biāo)系的引進(jìn)， 成為中學(xué)數(shù)學(xué)公開課的熱門課題。 大量的教學(xué)案例， 都只是讓學(xué)生用一對有序的數(shù)來確定位置。用縱橫交錯的方法確定位置，用經(jīng)緯度表示一個地點的位置， 乃是地理學(xué)常識。數(shù)學(xué)使用坐標(biāo)系，則遠(yuǎn)超于此，其實質(zhì)是要用坐標(biāo)表示數(shù)學(xué)對象。 上海長寧區(qū)的老師把教室的課桌椅并攏，用塑料繩擺成直角坐標(biāo)系 “兩個坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)的 同學(xué)站起來（第三象限） “兩個坐標(biāo)都相同的同學(xué)站起來（直線y=x） “第一個坐標(biāo)為0 的 同學(xué)站起來（y軸） 這樣“玩坐標(biāo)”， 用坐標(biāo)表示“數(shù)學(xué)對象”， 才是坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)價值所在。不欣賞坐標(biāo)系的 “數(shù)學(xué)本質(zhì)”， 膚淺地停留在“東大街、北大街”的 交匯

10、處那樣的淺薄常識，就談不上什么數(shù)學(xué)欣賞了。例5 微分方程 y = ay ，表達(dá)的數(shù)學(xué)模型。 e 的價值欣賞點：人口增長、碳14的衰減， 連續(xù)復(fù)利，它們有一個共同數(shù)學(xué)模型。常數(shù)e 和他們密切相關(guān)， 一付和諧的數(shù)學(xué)情景。復(fù)利公式 A （1+ /n）n （一年分為n 期的復(fù)利）。 然后令n , 就進(jìn)一步看出 常數(shù)e 的“自然”特性了。數(shù)學(xué)的“善”在這里體現(xiàn)為“和諧”、“合理”、“自然”， 而不是天上掉下來的林妹妹“。例6 代數(shù)模型： 三根導(dǎo)線的例子。欣賞點：“在看不見數(shù)學(xué)的地方，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。感受數(shù)學(xué)思維之深刻。代數(shù)建模的核心思想是“文字參與運算”。也就是說，代數(shù)的實質(zhì)是用文字代表未知數(shù)，而且由文字

11、代表的“未知數(shù)”和已知數(shù)可以進(jìn)行運算，即進(jìn)行“式”的運算。 “代數(shù)就是用文字代表數(shù)”？自然數(shù)的交換律， 就寫了AB =BA, 這里， 用文字A,B代表任意的自然數(shù)， 可是這和代數(shù)無關(guān)。如何測三根導(dǎo)線的電阻？電阻分別是x,y,z. 于是， 他列出以下的三元一次聯(lián)立方程： x+y =a y+z =b z+x =c x y z上海51中學(xué)陳振宣老師提供袁枚曾說：“學(xué)如箭鏃， 才如弓弩， 識以領(lǐng)之， 方能中鵠（gu)”。 看不見數(shù)學(xué)的領(lǐng)域運用數(shù)學(xué) 1948年的數(shù)學(xué)地圖1948： 美國仙農(nóng)發(fā)表信息的數(shù)學(xué)理論1948：維納發(fā)表控制論。信息、控制是數(shù)學(xué)嗎？1948： 馮諾依曼：計算機(jī)方案形成 中國缺乏這樣的

12、數(shù)學(xué)偶像 ！“三根導(dǎo)線”問題的啟發(fā)在看起來“沒有數(shù)學(xué)問題”的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題， 那往往是“大”的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。只會把“別人已經(jīng)做過的問題重做一遍” 是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽金牌難拿，但是，三根導(dǎo)線的作者所具有的創(chuàng)新性，則更加難能可貴。這樣的優(yōu)秀案例為什么進(jìn)不了數(shù)學(xué)教材？ 三、欣賞數(shù)學(xué)的美 震撼于數(shù)學(xué)思維內(nèi)在之和諧意境 數(shù)學(xué)美， 不要老是拿“黃金分割”說事；數(shù)學(xué)美， 不能只是重復(fù)數(shù)學(xué)家已經(jīng)說過的“統(tǒng)一美，和諧美，簡單美，奇異美。 要開發(fā)更多的 數(shù)學(xué)美學(xué)價值；數(shù)學(xué)的意境之美， 為大眾容易理解。 實無限和潛無限： 杜甫：“無邊落木蕭蕭下， 不盡長江滾滾來”。例7“無界變量”的意境之美。欣賞點：

13、 用“滿園春色關(guān)不住， 一枝紅杏出墻來”，加以描慕，人文意境和數(shù)學(xué)意境相互交融， 渾然一體。對任意的正數(shù)M， 總存在一個下標(biāo) n， 使得 xn M （ 六盤水師院楊光老師提供）例8 對稱與對聯(lián)。不變量之美欣賞點：“數(shù)學(xué)美和文學(xué)美是相通的，變化中的不變量是數(shù)學(xué)美的共同根源”。只說變化， 化歸是不夠的，在變化中尋求不變性質(zhì)和不變量，是人類文明發(fā)展的正道。 對稱和對仗 對稱是幾何變換。 變換之后有不變的量。軸對稱、中心對稱后圖形不變、長度角度都不變。 中國的對仗：“明月松間照，清泉石上流”（王維詩句）。 “明月” 對“清泉”， 變中有不變。形容詞對形容詞， 名詞對名詞， 自然景物仍然是自然景物。 文

14、化上看， 二者異曲同工。只是數(shù)學(xué)更加準(zhǔn)確、比較抽象而已。清泉石上流明月松間照守恒之科學(xué)美 民族要發(fā)展， 但是傳統(tǒng)不變； 物理上能量守恒； 解方程： 移項、變形但是保持“根”不變； 拓?fù)鋵W(xué)：七橋問題；不變性質(zhì)和不變量， 是一篇大學(xué)問?；瘹w， 是一種將未知轉(zhuǎn)化為已知的方法， 化歸是和不變性質(zhì)聯(lián)系在一起的。方程變形，最后化為已知可解的情形， 但是“變形”的“化歸”， 必須保持原方程的根不變。不等式證明， 也通過不斷地放大和縮小化為已知情形， 但是不等號的方向不能變。一切化歸必須以某個“不變”為前提。流傳很廣的“關(guān)系-映射-反演（RMI）原理， 是 一種特殊的化歸。 但是， 這里的映射， 必須保持一種不變性。 例如，這個映射是 “同構(gòu)”和“同態(tài)”等等， 然后才能解決問題。例9 拉格朗日微