利用導(dǎo)數(shù)證明不等式全套整理

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載利用導(dǎo)數(shù)證明不等式不等式的證明問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),傳統(tǒng)證明不等式的方法技巧性強(qiáng),多數(shù)學(xué)生不易想到,并且各類不等式的證明沒(méi)有通性通法.隨著新教材中引入導(dǎo)數(shù),這為我們處理不等式的證明問(wèn)題又提供了一條新的途徑,并且在近年高考題中使用導(dǎo)數(shù)證明不等式也時(shí)有出現(xiàn),但現(xiàn)行教材對(duì)這一問(wèn)題沒(méi)有展開(kāi)研究,使得學(xué)生對(duì)這一簡(jiǎn)便方法并不了解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式思路清晰,方法簡(jiǎn)捷,操作性強(qiáng),易被學(xué)生掌握。下面介紹利用單調(diào)性、極值、最值證明不等式的基本思路，并通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，證明一些簡(jiǎn)單的不等式。例1已知函數(shù)f(x)ln(x1)x，x1，證明：11x1ln(x1)xx1x1證：函數(shù)f(x)的定

2、義域?yàn)?1,)f(x)1x1當(dāng)x（1，0）時(shí)，f(x)0，當(dāng)x（0，）時(shí)，f(x)0，令g(x)ln(x1)xx1(x1)2當(dāng)x1時(shí)，g(x)g(0)，即ln(x1)1因此，當(dāng)x1時(shí)，f(x)f(0)，即ln(x1)x0ln(x1)x1111則g(x)x1(x1)2當(dāng)x（1，0）時(shí)，g(x)0，當(dāng)x（0，）時(shí)，g(x)0110，ln(x1)1x1x1綜上可知，當(dāng)x1時(shí)，有11x1ln(x1)x1練習(xí)：（1）證明x1時(shí)，不等式2x3x（2）x0，證明：ex1x(3)x0時(shí)，求證：xx22ln(1x)f(x)=lnaaW例2.已知a、b為實(shí)數(shù)，且bae,其中e為自然對(duì)數(shù)的底，求證：abba.證法一

3、：bae,要證abba,只要證blnaalnb,設(shè)f(x)=xlnaalnx(xe),則a.xae,lna1,且1,f(x)0.函數(shù)f(x)=xlnaalnx在(e,+)xx上是增函數(shù)，學(xué)習(xí)好資料歡迎下載f(b)f(a)=alnaalna=0,即blnaalnb0,blnaalnb,abba.,設(shè)f(x)=(x證法二：要證abba,只要證blnaalnb(eab),即證lnalnblnxabxx20,函數(shù)f(x)在(e,+)上是減函數(shù)，又eab,e)，則f(x)=1lnxaf(a)f(b),即lnalnbb,abba.練習(xí):若0 xx122,證明:tanx2tanx1x2x1例3.當(dāng)x(0,1

4、)時(shí),證明:(1x)ln2(1x)x2證:令f(x)(1x)ln2(1x)x2,則f(0)0f(x)ln2(1x)2ln(1x)2x,f(0)0,而1x當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)2ln(1x)21x221xln(1x)x0f(x)在x(0,1)上遞減,即f(x)f(0)0,從而f(x)在(0,1)遞減f(x)f(0)=0,從而原不等式得證.Ex:證明:當(dāng)x0時(shí),(x21)lnx(x1)2略解:注意x=1時(shí),原不等式”=”成立,而x1,原不等式lnxx10 x1,原不等式lnxx1x1x1x1作F(x)=lnx,則F(1)=0 x1x(x1)20(x0)，從而F(1)=0推出且F(x)x21F(

5、x)0(x1)F(x)0(0 x1)學(xué)習(xí)好資料歡迎下載F(x)與x21同號(hào)(x21)F(x)0，得證。練習(xí)證明(1)xaax1a(x0,0a1)(2)bablnbabaa(0ab)思考(3)a0,b0,證明(ab2)abaabb,并指出”=”成立的條件總結(jié)：（一）象上述例子一樣，通過(guò)作輔助函數(shù)并對(duì)輔助函數(shù)求導(dǎo)來(lái)證明不等的的方法是對(duì)相當(dāng)廣泛一類不等式適用的。用此方法證明f(x)g(x)(axb)的一般步驟是：（）作輔助函數(shù)（x）=f(x)-g(x),原不等式歸結(jié)為（x）0(axb),這等價(jià)于(x)在a,b上的最小值大于等于0.（）對(duì)（x）求導(dǎo)，確定F(x)在所考慮的區(qū)間上的符號(hào)，從而確定(x)的增減性、極值、最值等性質(zhì)（主要是單調(diào)性），如象例F(x)的符號(hào)直接確定不了，這時(shí)一般需計(jì)算（x）,直到符號(hào)能夠確定為止（二）作輔助函數(shù)(x)不同，確定F(x)符號(hào)難易程度可能不同，所以作輔助函數(shù)要不拘一格，可對(duì)原題作適當(dāng)變更不同輔助函數(shù)構(gòu)造一般來(lái)源對(duì)原不等式的不同同解變形一般來(lái)說(shuō):輔助函數(shù)構(gòu)造方法主要有下面兩種:(1)由欲證形式構(gòu)造“形似”函數(shù)；(2)由欲證形式做恒等變形，變成初等函數(shù)四則運(yùn)算的形式，再將其中一個(gè)常數(shù)改為x，移項(xiàng)使等式一端為