高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)鞏固（真題感悟+考點梳理+要點突破+鞏固提高）專題七：數(shù)列、推理與證明 Word版含答案（ 高考）

1、 專題七 數(shù)列、推理與證明 【真題感悟】1.（ 2012浙江）設(shè)是公差為d（d0）的無窮等差數(shù)列an的前n項和，則下列命題錯誤的是A.若d0，則數(shù)列SnSn有最大項，則d0Sn是遞增數(shù)列，則對任意，均有D. 若對任意，均有，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列2. （2012湖北）定義在上的函數(shù)，如果對于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：； ； ； .則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為 B C D 3. （2010山東9）設(shè)an是等比數(shù)列，則“a1a2a3”是數(shù)列an是遞增數(shù)列的（A）充分而不必要條件(B)必要而不充分條件、（C）充分必要條件 （D）既不

2、充分也不必要條件4. （2011江西）觀察下列各式：則，則的末兩位數(shù)字為（ ）A.01 B.43 C.07 D.495. （2012新課標(biāo)）數(shù)列滿足，則的前項和為 。6. （2012湖北）回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)如22，121，3443，94249等顯然2位回文數(shù)有9個：11，22，33，993位回文數(shù)有90個：101，111，121，191，202，999則（）4位回文數(shù)有 個；（）位回文數(shù)有 個【考點梳理】1.數(shù)列的有關(guān)概念：（1）數(shù)列的定義：按照_排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的_（2）數(shù)列的分類：分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)_

3、無窮數(shù)列項數(shù)_按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1_an其中nN*遞減數(shù)列an1_an常數(shù)列an1an按其他有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M標(biāo)準(zhǔn)分類擺動數(shù)列an的符號正負(fù)相間，如1，1,1，1，（3）數(shù)列的表示法：數(shù)列有三種表示法，它們分別是_、_和_（4）數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第n項an與_之間的關(guān)系可以用一個函數(shù)式anf(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式（5）數(shù)列的通項、數(shù)列項的項數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列：數(shù)列的通項與數(shù)列的前項和公式的關(guān)系：(必要時請分類討論).注意：；.2.等差數(shù)列：（1）定義，an為等差數(shù)列an+1-an=d（常數(shù)），nN+2an=an-1+an+1

4、（n2，nN+）；（2）通項公式：an=an+(n-1)d，an=am+(n-m)d；前n項和公式：； （3）性質(zhì)：an=an+b，即an是n的一次型函數(shù)，系數(shù)a為等差數(shù)列的公差；Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)；若an，bn均為等差數(shù)列，則annn,kan+c（k，c為常數(shù)）均為等差數(shù)列；當(dāng)m+n=p+q時，am+an=ap+aq，特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=；當(dāng)2n=p+q時，2an=ap+aq；等差數(shù)列中依次k項和成等差數(shù)列，即Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，成等差數(shù)列，且公差為(d是原數(shù)列公差)；有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然

5、聯(lián)系，由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定. 項數(shù)為偶數(shù)2 n的等差數(shù)列有：；項數(shù)為奇數(shù)2 n-1的等差數(shù)列有：；（分別為數(shù)列中所有奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項的和）。等差數(shù)列中，若則；等差數(shù)列中，若則；等差數(shù)列中，若則；若均為等差數(shù)列，它們的前n項和分別為，則；(4)判定數(shù)列是否等差數(shù)列的方法：定義法；中項公式法；通項公式法；前n項和公式法；圖像法(也就是說數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式)，但解答題中只能用前兩種：定義法與中項公式法.3. 等比數(shù)列：定義：=q（q為常數(shù)，an0）；an2=an-1an+1（n2，nN+）；通項公式：an=a1qn-1，an=amqn-m；前n項和公式：；（3

6、）性質(zhì)：an=cqn，即an是n的類指數(shù)型函數(shù)，系數(shù)c為；時，即Sn是n的類指數(shù)型函數(shù)，其中，的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)；當(dāng)m+n=p+q時，aman=apaq，特例：a1an=a2an-1=a3an-2=；當(dāng)2n=p+q時，an2=apaq；若均為等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 公比不為-1的等比數(shù)列中依次k項和成等比數(shù)列，即Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，成等比數(shù)列，且公比為(q是原數(shù)列公比)；有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項數(shù)為偶數(shù)，則；若總項數(shù)為奇數(shù)，則（分別為數(shù)列中所有奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項的和）；并非任何兩數(shù)總有等比中項.，僅

7、當(dāng)實數(shù)同號時，實數(shù)存在等比中項.對同號兩實數(shù)的等比中項不僅存在，而且有一對.也就是說，兩實數(shù)要么沒有等比中項(非同號時)，如果有，必有一對(同號時)；(4)判定數(shù)列是否等比數(shù)列的方法：定義法；中項公式法；通項公式法；前n項和公式法；(也就是說數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這五種形式)，但解答題中只能用前兩種：定義法與中項公式法.4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系：(1)如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列(總有意義)必成等比數(shù)列.(2)如果數(shù)列成等比數(shù)列，那么數(shù)列必成等差數(shù)列.(3)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)列是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.(

8、4)如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).如果一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列有公共項順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般的方法”進(jìn)行研討，且以其等比數(shù)列的項為主，探求等比數(shù)列中那些項是他們的公共項，并構(gòu)成新的數(shù)列.注意：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究.但也有少數(shù)問題中研究，這時既要求項相同，也要求項數(shù)相同。5.數(shù)列通項公式的求法：（1）公式法：如果已知數(shù)列為等差（或等比）數(shù)列，可直接根據(jù)等差（或等比）數(shù)列的通項公式（兩種形式），求得，d（或q），從而直接寫出通項公式。（2）歸納法（歸納-猜想-證明

9、）：如果給出了數(shù)列的前幾項或能求出數(shù)列的前幾項，我們可以根據(jù)前幾項的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。（3）周期性：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，而有些函數(shù)是有周期性的；(4) 累加法：一般地，對于型如類的通項公式，只要能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解。； （5）累乘法：一般地，對于型如類的通項公式，當(dāng)?shù)闹悼梢郧蟮脮r，宜采用此方法。；（6）利用； （7）迭代法：也稱輾轉(zhuǎn)法，是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過程， “二分法”就屬于近似迭代法。（8）構(gòu)造法：有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，?gòu)造出一個新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而利用這個數(shù)列求其通項公式。常見的

10、類型及構(gòu)造法如下：分解因式法：當(dāng)數(shù)列的關(guān)系式較復(fù)雜，可考慮分解因式和約分化為較簡形式，再用其它方法求得an；倒數(shù)法：數(shù)列有形如的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以先求出開方法：對有些數(shù)列，可先求再求對數(shù)法：對于冪或指數(shù)的運算，可以通過兩邊取對數(shù)降低運算級別，先求，再求待定系數(shù)法：對于形如的遞推關(guān)系，可以通過構(gòu)造等比數(shù)列的方法得解，對于后式可以用兩種方法（同除以或同除以；復(fù)合數(shù)列構(gòu)成等差、等比數(shù)列法：數(shù)列有形如的關(guān)系，可把復(fù)合數(shù)列化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再用其它初等方法求得6.數(shù)列求和的方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式（三種形式）；等比數(shù)列求和公式（三種形式）；。 。（2）分組求和法：在直接運用公式法

11、求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.（3）倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個新的的等比數(shù)列的和”求解（注意：一般錯位相減后，其中“新等比數(shù)列的項數(shù)是原數(shù)列的項數(shù)減一的差”?。ㄟ@也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法之一）.（5）裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，或部

12、分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等，那么常選用裂項相消法求和. 常用裂項形式有：； 。（6）并項求和法。7.推理與證明：（1）知識網(wǎng)絡(luò)：如右圖所示：（2）推理：歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征(或性質(zhì))，推出該類事物的全部對象都具有這些特征(或性質(zhì))的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，叫做歸納推理(簡稱歸納)歸納推理是由特殊到一般、部分到整體的推理類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，叫做類比推理(簡稱類比)類比推理是由特殊到特殊的推理演繹推理：演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)，按照嚴(yán)格的邏

13、輯法則得到新結(jié)論的推理過程，是根據(jù)一般性的真命題(或邏輯規(guī)則)導(dǎo)出特殊性命題為真的推理，一般是三段論推理，包括大前提、小前提、結(jié)論。（3）證明直接證明：分析法和綜合法是兩種思路相反的證明推理方法：分析法是倒溯，綜合法是順推分析法側(cè)重于結(jié)論提供的信息，綜合法則側(cè)重于條件提供的信息，把兩者結(jié)合起來，全方位地收集、儲存、加工和運用題目提供的全部信息，才能找到合理的解題思路沒有分析，就沒有綜合，分析是綜合的基礎(chǔ)，它們相輔相成，是對立統(tǒng)一的析法和綜合法各有優(yōu)缺點分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實際證題時常常

14、兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來用分析法證明數(shù)學(xué)問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個明顯成立的結(jié)論P，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立間接證明：反證法是一種間接證明命題的方法，它從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而肯定命題的結(jié)論適合使用反證法證明的命題有：否定性命題、唯一性命題、至多、至少型命題、明顯成立的命題、直接證明有困難的問題等應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般分下面幾個步驟：第一步：分清命題“pq”的條件和結(jié)論；第二步：作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定綈q；第三步：由p和綈q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定

15、產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定綈q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題pq為真第三步所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理矛盾、與已知定義矛盾、與已知定理矛盾、與已知條件矛盾、與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況數(shù)學(xué)歸納法：分兩步：首先證明當(dāng)n取第一個值n0(例如n01)時結(jié)論正確；然后假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時結(jié)論正確，證明當(dāng)nk1時結(jié)論也正確數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第(1)步驗算nn0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目

16、要求，選擇合適的起始值第(2)步，證明nk1時命題也成立的過程，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法【要點突破】題型一、等差數(shù)列的有關(guān)問題：例1. (1)（2012四川）設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，則（ ）A、 B、 C、 D、(2) 已知一個等差數(shù)列的前四項之和為21，末四項之和為67，前n項和為286，則項數(shù)n為（）A24B26C27 D28（3）為等差數(shù)列，若-1，且它的前n項和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時，n=（）A11B17 C19D21（4）項數(shù)為奇數(shù)項的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，則該數(shù)列的中間項為 。題型二、等比數(shù)列的有關(guān)問題：例2.（1）（20

17、11四川）數(shù)列an的前n項和為 =（A）3 44 （B）3 44+1（C）44（D）44+1（2）（2009廣東）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時， A. B. C. D. (3) (2012浙江)設(shè)公比為q(q0)的等比數(shù)列a n的前n項和為S n若，則q_題型三、數(shù)列通項公式的求法：例3. （2012廣東）設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，滿足且成等差數(shù)列。（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有. 題型四、數(shù)列求和：例4. （2012江西）已知數(shù)列an的前n項和,且Sn的最大值為8.（1）確定常數(shù)k，求an；（2）求數(shù)列的前n項和Tn。題型五、推理與證明：例5. （2009

18、山東）等比數(shù)列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值；（2）當(dāng)b=2時，記 證明：對任意的 ，不等式成立【鞏固提高】1. （2012上海）設(shè)，在中，正數(shù)的個數(shù)是（ ）A25 B50 C75 D1002. 已知數(shù)列的前項和滿足：，且，那么A.1 B.9 3. 在等差數(shù)列an中，若a3+a9+a15=72，則a10-a12的值為（）A15B16C17D184. 已知為等差數(shù)列，+=105，=99，以表示的前項和，則使得達(dá)到最大值的是 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 5. 數(shù)列的首項為3，為等差數(shù)列且，若則，則（A）0 （B）3（C）8（D

19、）116. 數(shù)列an的通項公式，其前n項和為Sn，則S2012等于A.1006 7設(shè)S=+，則不大于S的最大整數(shù)S等于A2007B2008C2009D30008. 已知等比數(shù)列an的公比q0，其前n項和為Sn，則a9S8與a8S9的大小關(guān)系是Aa9S8a8S9 Ba9S8a8S9 Ca9S8=a8S9 Da9S8與a8S9的大小關(guān)系與a1的值有關(guān)9. （2012四川）記為不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，現(xiàn)有下列命題：當(dāng)時，數(shù)列的前3項依次為5,3,2；對數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時總有；當(dāng)時，；對某個正整數(shù)，若，則。其中的真命題有_。（寫出所有真命題的編號）10. 設(shè)若，則S=_

20、。11. （2009浙江）觀察下列等式： ， ，由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：對于， 12. 已知當(dāng)x=5時，二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c取得最小值，等差數(shù)列an的前n項和Sn=f（n），a2=-7則數(shù)列an的通項公式為 13. 已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足log2（Sn+1）=n+1，則數(shù)列an的通項公式為 14.（2002天津）已知是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足。（1）求； （2）證明； （3）求的通項公式及其前項和。15.（2012天津）已知是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，是等比數(shù)列，且，.（）求數(shù)列與的通項公式；（）記，證明：（）.16. 直線過（1，0）點，且關(guān)于直線對稱直線為

21、，已知點()在上，a1=1，當(dāng)n2時，()求的方程；()求an的通項公式（）設(shè)，求證：數(shù)列的前n項和。17.以數(shù)列的圖象上，數(shù)列 （I）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）設(shè)數(shù)列的前n項和分別為、的值；（）若，求 成立的正整數(shù)的最小值。18. 已知函數(shù)，數(shù)列an滿足a1=1，（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）令Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+a2n1a2na2na2n+1，求Tn；（3）令，b1=3，Sn=b1+b2+bn，若對一切nN*成立，求最小正整數(shù)m19. 已知數(shù)列與滿足，且，() 求，的值；() 設(shè)，證明是等比數(shù)列前n項和為Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（nN*）。 （）證明數(shù)

22、列是等比數(shù)列；（）令，并比較的大小。21. 已知拋物線x2=4y，過原點作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點P1，又過點P1作斜率為的直線交拋物線于點P2，再過P2作斜率為的直線交拋物線于點P3，如此繼續(xù)，一般地，過點Pn作斜率為的直線交拋物線于點Pn+1，設(shè)點Pn（xn，yn）（）令bn=x2n+1x2n1，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列（）設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Sn，試比較與的大小22.設(shè)an是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，滿足aeq oal(2,2)aeq oal(2,3)aeq oal(2,4)aeq oal(2,5)，S77.(1)求數(shù)列an的通項公式及前n項和Sn；(2)試求

23、所有的正整數(shù)m，使得eq f(amam1,am2)為數(shù)列an中的項23. 已知各項全不為零的數(shù)列an的前n項和為Sn，Sneq f(n(1an),2)，nN*.(1)求證：數(shù)列an為等差數(shù)列；(2)若a23，求證：當(dāng)nN*時，eq f(1,a1a2)eq f(1,a2a3)eq f(1,anan1)1，b1)，則稱Sn為“好和”問S1，S2，S3，中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，說明理由28.（2012年江蘇）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：，（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值29. 已知數(shù)列an和bn滿足：a1=,an+1=其中為實數(shù)，

24、n為正整數(shù).（1）對任意實數(shù)，證明:數(shù)列an不是等比數(shù)列；（2）證明：當(dāng)（3）設(shè)0ab（a,b為實常數(shù)）,Sn為數(shù)列bn，使得對任意正整數(shù)n，都有aSnb?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.專題七 數(shù)列數(shù)列、推理與證明參考答案【真題感悟】1. C。解：選項C顯然是錯的，舉出反例：1，0，1，2，3，滿足數(shù)列S n是遞增數(shù)列，但是S n0不成立故選C。2. C解：等比數(shù)列性質(zhì)， EQ ，； ；.選C3. C解：若已知，則設(shè)數(shù)列的公比為，因為，所以有，解得且，所以數(shù)列是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則公比且，所以，即，所以是數(shù)列是遞增數(shù)列的充分必要條件。4. B解析： 5 . 1830

25、解：由得，即，也有，兩式相加得，設(shè)為整數(shù)，則，于是。6. 90；。解：（）4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（19）種情況，第二位有10（09）種情況，所以4位回文數(shù)有種。（）法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n+1位回文數(shù)和2n+2位回文數(shù)的個數(shù)相同，所以可以算出2n+2位回文數(shù)的個數(shù)。2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項每項有10種情況，所以個數(shù)為.法二、可以看出2位數(shù)有9個回文數(shù)，3位數(shù)90個回文數(shù)。計算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對的“00,11,22,99”，因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個按

26、此規(guī)律推導(dǎo),而當(dāng)奇數(shù)位時，可以看成在偶數(shù)位的最中間添加09這十個數(shù)，因此,則答案為.【要點突破】例1. （1）D解：，即，而是公差為的等差數(shù)列，代入，即，不是的倍數(shù)，.，故選D.（2）B.解：由等差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得首項與末項之和等于=22，再由前n項和為286=11n，n=26，故選B(3) 解：Sn有最大值，d0。則a10a11，又-1，a110a10a10+a110，S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）0，S19=19a100，又a1a2a100a11a12，S10S9S2S10，S10S11S190S20S21又S19-S1=a2+a3+a19=9（a10+a11）0

27、，S19為最小正值，故選C。（4）解：設(shè)等差數(shù)列an項數(shù)為2n+1，S奇=a1+a3+a5+a2n+1=(n+1)an+1，S偶=a2+a4+a6+a2n=nan+1，=，解得n=3，項數(shù)2n+1=7，又因為S奇-S偶 =a1+nd=an+1=a中，所以a4=S奇-S偶=44-33=11，所以中間項為11例2. （1）A解：由an+1 =3Sn，得an =3Sn1（n2），相減得an+1an =3(SnSn1)= 3an，則an+1=4an（n2）， （2）C.解：由得，則， ，選C. （3）。解：將，兩個式子全部轉(zhuǎn)化成用，q表示的式子即，兩式作差得：，即：，解之得：(舍去)例3. （1）在中

28、，令得：；令得：；解得：，又，解得（2）由，得，又也滿足，所以成立 ， ， （3）法一：， 法二：， 當(dāng)時，累乘得： ，法三：用數(shù)學(xué)歸納法證例4.例5. 解:因為對任意的,點，均在函數(shù)且,當(dāng)時,當(dāng)時,又因為為等比數(shù)列,所以,公比為,（2）當(dāng)b=2時，, 則,所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.當(dāng)時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時不等式成立,即時,左邊=所以當(dāng)時,不等式也成立. 由、可得不等式恒成立.【鞏固提高】1. D解：當(dāng)124時，0，當(dāng)2649時，0，但其絕對值要小于124時相應(yīng)的值，當(dāng)5174時，0，當(dāng)7699時，0，但其絕對值要小于5174時相應(yīng)的值，當(dāng)1100時，均

29、有0。2. A。解：，可得，可得，同理可得，故選A。3.B提示：4. B.解：由+=105得即，由=99得即 ，由得，選B5. B解：為等差數(shù)列，由，及解得，故，即，故，相加得，故，選B6.A7B.解：=,=2008+,S=20088.A.解：S8a9-S9a8=-a12q7，q0，-a12q70，S8a9S9a8，故選A。9. 。解：當(dāng)時， ，故正確；對于可以采用特殊值列舉法：當(dāng)a=1時，x1=1, x2=1, x3=1, xn=1, 此時均對；當(dāng)a=2時，x1=2, x2=1, x3=1, xn=1, 此時均對；當(dāng)a=3時，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2xn=1, 此時均對綜

30、上，真命題有 ，錯誤.10.提示：，倒序相加法。11. 。解：這是一種需類比推理方法破解的問題，結(jié)論由二項構(gòu)成，第二項前有，二項指數(shù)分別為，因此對于，12. an=2n-11。由題意得：-=5，an=Sn-Sn-1=an2+bn+c-a（n-1）2-b（n-1）-c=2an-11a，a2=-7，a=1，an=2n-1113. 解：由已知Sn+1=2n-1，得Sn=2n+1-1，故當(dāng)n=1時，a1=S1=3；當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=2n，而a1=3不符合an=2n，故答案為14.解：（1）由題設(shè)得，且均為非負(fù)整數(shù)，所以的可能的值為1、2、5、10.若1,則10，與題設(shè)矛盾；若5,則2,

31、，與題設(shè)矛盾。若10,則1, ，與題設(shè)矛盾。所以2.（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)，等式成立。假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，由題設(shè)因為，所以，也就是說，當(dāng)時，等式成立。根據(jù)，對于所有。（3）由得。即。所以15.16.解：解：()設(shè)的方程為：，又，關(guān)于直線對稱，過點(1，0)，l2過點(0，1)， b=1又在直線上,取n=1，2得：，（,n2），l2的方程為()由,可知是首項為，公差為1的等差數(shù)列在直線l2上，（） 。17. 解：（）在一次函數(shù)的圖像上 又，且數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列 6分（） 7分由（）知 即則 10分 是以2為公比的等比數(shù)列 解得：（）， . 數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列

32、. ，即為數(shù)列的通項公式。 （3）-（4）得 10分，即，又當(dāng)時， ；當(dāng)時， 故使成立的正整數(shù)的最小值為5 . 13分18. 解：（1），數(shù)列an是以為公差，首項a1=1的等差數(shù)列，（2）Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+a2n1a2na2na2n+1=a2（a1a3）+a4（a3a5）+a2n（a2n1a2n+1）=（3）當(dāng)n2時，當(dāng)n=1時，上式同樣成立，sn=b1+b2+bn=恒有成立，即對一切nN*成立，解得 m2011，m最小=201119. 解：()因為，所以，又，當(dāng)時，由，得；當(dāng)時，由，得；當(dāng)時，由，得() 對任意,有， ， 得代入得，即，又，由式，對所有，因此，所以是等

33、比數(shù)列20. 解：（）由已知 兩式相減，得 即 從而當(dāng)n=1時，S2=2S1+1+5， 又從而 故總有 又 從而即為首項，2為公比的等比數(shù)列. （）由（）知 . 從而 由上 （*）當(dāng)n=1時，（*）式=0， ；當(dāng)n=2時，（*）式 ；當(dāng) 從而（或用數(shù)學(xué)歸納法：時，猜想 由于 事實上.1* 當(dāng)n=3時， 不等式成立2* 設(shè)，則從而 即 綜上1*、2*知，都成立.綜上； ； 21. 解：（）因為Pn（xn，yn）、Pn+1（xn+1，yn+1）在拋物線上，故xn2=4yn，xn+12=4yn+1，又因為直線PnPn+1的斜率為，即，代入可得bn=x2n+1x2n1=（x2n+1+x2n）（x2n+

34、x2n1）=，故是以為公比的等比數(shù)列；（），故只要比較4n與3n+10的大小當(dāng)n=1時，；當(dāng)n=2時；當(dāng)n3，nN*時，22. 解：(1)設(shè)公差為d，則由aeq oal(2,2)aeq oal(2,5)aeq oal(2,4)aeq oal(2,3)得3d(a4a3)d(a4a3)因為d0，所以a4a30，即2a15dS77得7a1eq f(76,2)d7，解得a15，d2，所以an的通項公式為an2n7，前n項和Snn26n.(2)法一：eq f(amam1,am2)eq f(2m72m5,2m3)，設(shè)2m3t，則eq f(amam1,am2)eq f(t4t2,t)teq f(8,t)6，所以t為8的約數(shù)因為t是奇數(shù)，所以t可取的值為1，當(dāng)t1，m2時，teq f(8,t)63,2573，是數(shù)列an中的項；當(dāng)t1，m1時，teq f(8,t)615，數(shù)列an中的最小項是5，不符合所以滿足條件的正整數(shù)m2.法二：因為eq f(amam1,am2)eq f(am24am22,am2)am26eq f(8,am2)為數(shù)列an中的項，故eq f(8,am2)為整數(shù)，又由(1)知am2為奇數(shù)，所以am22m31，即m1,2.經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)m為2.23. 證明(1)由S1eq f(1a1,2)a1知a1n2時，an