6定積分的概念與性質(zhì)

1、一、定積分問題舉例二、 定積分的定義三、 定積分存在條件定積分的概念及性質(zhì) 四、 定積分的性質(zhì)一、定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成 ,求其面積 A .矩形面積梯形面積解決步驟 :1) 分割.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點用直線將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;2) 近似代替.在第i 個窄曲邊梯形上任取作以為底 ,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得3) 求和.4) 取極限.令則曲邊梯形面積2. 變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運動,且求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.解決步驟:1) 分割.將它分成在每個小段上物體經(jīng)

2、2) 近似代替.得已知速度n 個小段過的路程為3) 求和.4) 取極限 .上述兩個問題的共性: 解決問題的方法步驟相同 :“分割, 近似代替 , 求和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限二、定積分定義 任一種分法任取總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .記作積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) ,而與積分變量用什么字母表示無關(guān) ,即定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值各部分面積的代數(shù)和三、存在定理定理2 (可積的充分條件) 定理1 (可

3、積的必要條件) 若函數(shù) 在 上滿足下列條件之一(1)函數(shù) 在 上有界，且只有有限個間斷點。(2)函數(shù) 在 上單調(diào)(3)則 在 上必可積取例1. 利用定義計算定積分解:將 0,1 n 等分, 分點為注. 當(dāng)n 較大時, 此值可作為 的近似值注 例2. 用定積分表示下列極限:解:四、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)( k 為常數(shù))證:= 右端證: 當(dāng)時,因在上可積 ,所以在分割區(qū)間時, 可以永遠取 c 為分點 ,于是當(dāng) a , b , c 的相對位置任意時, 例如則有6. 若在 a , b 上則證:推論1. 若在 a , b 上則推論2.證:即7. 設(shè)則解: 設(shè)8. 積分中值定理則至少存在一點使

4、證:則由性質(zhì)7 可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.性質(zhì)7 說明: 可把故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣. 積分中值定理對因解: 由積分中值定理有：內(nèi)容小結(jié)1. 定積分的定義 乘積和式的極限3. 定積分的性質(zhì)4. 積分中值定理連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式（可以利用定積分求一些特殊和式的極限）（可以利用定積分的幾何意義求一些特殊的定積分）2. 定積分的幾何意義性質(zhì)6的補充：設(shè) f (x)在a , b上連續(xù)，若 f (x) 0，且 f (x) 不恒等于零，則 。證明：不妨設(shè) 使又由 f (x)在 x0處的連續(xù)可知：可以是 “”補充：積分第一中值定理設(shè) f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，g(x)在a,b上連續(xù)且不變號，證明至少存在一點 ，使下式成立：證明：不妨設(shè) g(x) 0,由 f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)可知:存在若 ，則由性質(zhì)6的補充可知 g(x)=0， 故可取a, b中任意一點為均有 成立。(2) 若 ，則由若此不等式有一等號成立，則取對應(yīng)的最值點為 即可。若以上不等式的等號均不成立，則由介值定理可知：在最大值點和最小值點之間必存在 使得故綜上思考與練習(xí)1. 用定積分表示下述極限 :解:或設(shè) f (x), g(x)在a,b上連續(xù)，且 f (x)0, g(x)0, 證明：（2014級期末考題）證明： f