《固體物理學》房曉勇-思考題01第一章 晶體的結(jié)構(gòu)

1、 第一章晶體的結(jié)構(gòu)思考題為什么自然界中大多數(shù)固體以晶態(tài)形式存在？為什么面指數(shù)簡單的晶面往往暴露在外表面？解答：在密勒指數(shù)（面指數(shù)）簡單的晶面族中，面間距d較大。對于一定的晶格，單位體積內(nèi)格點數(shù)目一定，因此在晶面間距大的晶面上，格點（原子）的面密度必然大。面間距大的晶面，由于單位表面能量小，容易在晶體生長過程中顯露在外表面，所以面指數(shù)簡單的晶面往往暴露在外表面。任何晶面族中最靠近原點的那個晶面必定通過一個或多個基矢的末端嗎？解答：根據(jù)固體物理學式（l-10a）acos1,n=hd11,n=hd22(1-10a)acos3,n=hd33解理面是面指數(shù)低的晶面還是指數(shù)高的晶面？為什么？解答：晶體容易

2、沿解理面劈裂，說明平行于解理面的原子層之間的結(jié)合力弱，即平行解理面的原子層的間距大.因為面間距大的晶面族的指數(shù)低,所以解理面是面指數(shù)低的晶面.在14種布喇菲格子中，為什么沒有底心四方、面心四方和底心立方？解答：參考陳金富P33頁，徐至中1-13佃(6)1）圖（a）代表向c軸俯視所觀察到的體心四方的格點分布。格點距離由格點組成的晶面的C/2處。如C=a，則點陣為bcc;如圖所示，為已經(jīng)伸長的bcc，cHa，它是體心四方點陣。如圖（b）與圖（a）代表同樣的點陣，只是觀察的角度不同，圖中構(gòu)成四方面心格點，面心格點間的距離a-云，如C=書，則點陣為fcc；對于一般的C值，圖是沿c軸伸長后的點陣，因此相

3、同的點陣從（a）是體心點陣，從（b）看是面心點陣，本質(zhì)上相同，都稱為體心四方點陣。2）類似的底心四方和簡單四方是同一種點陣。3）底心立方不再具有立方對稱性。所以不存在。許多金屬既可以形成體心立方結(jié)構(gòu)，也可以形成面心立方結(jié)構(gòu)。從一種結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N結(jié)構(gòu)時體積變化很小。設(shè)體積的變化可以忽略，并以R/和R代表面心立方和體心立方結(jié)構(gòu)中最近鄰原子間的距離,fb試問R/R等于多少？fd4R解答：在面心立方晶胞結(jié)構(gòu)的空間面對角線為4R，晶胞的邊長a=；一個晶胞包含4個原子，單ff丁2位體積中的原子數(shù)為nf（4R在體心晶胞結(jié)構(gòu)的空間體對角線為4R，晶胞的邊長abb4R一個晶胞包含兩個原子，單位體積中的原子數(shù)為

4、nb（4R/bn=nfb依題意，在兩種晶格變化時設(shè)體積的變化可以忽略，即密度相等。4即（4R/程）=（4R/朽）fb得R/Rfd=石X213=1.029將等體積的硬球在平面上密積排列時，空間利用率等于多少？解答：在平面上排列時可以理解為是圓在二維平面上的排列，1)每一個圓如圖所示排列時，最緊密，空間利用率最大。每一個圓在平面四邊形一個頂角上，為四個四邊形共有，每個四邊形有四個圓，所以每個四邊形包含一個圓。每個四邊形的面積S=2xxa2cos2=2x1x（2R）2sin兀=2x、3R223每個圓的面積S=冗R2空間利用率面利用率pS2頁R22P3空間利用率體利用率pS4冗R3323R2X2R2)

5、球排成正方形格子每個正方形的面積S=a2=(2R)2=4R2每個圓的面積S=冗R2第一章晶體的結(jié)構(gòu)習題2 空間利用率面利用率P=-SS4R24V4冗R33兀V4R2x2R6空間利用率體利用率PS在立方晶系中，晶列hkl垂直于同指數(shù)的晶面（hkl）。這個結(jié)論對別的晶系，例如四方晶系兀、（a=卩=丫=,a=b主c），是否成立？2解答：設(shè)d為晶面族的（hkl）的面間距，n為法向單位矢量，根據(jù)晶面的定義，晶面族（hkl）將a,b,c分別截為h,k|,|l|等分，即()a-n=acosa,n=hd于是有dddn=hi+ki+li(1)abc其中i,k,l分別是a,b,C三個坐標軸的單位矢量，面晶列Vhk

6、i的方向矢量為R=hai+kbj+ick(2)如果是立方晶系a=b=c，TOC o 1-5 h zdddd()n=hi+kj+lk=hi+kj+lk(1)bcaR=hai+kbj+ick=ha(+kj+ik)(2)-*d*比較兩式得n=正R，即n與R平行，晶列hkl垂直于同指數(shù)的晶面（hkl）cos0=/d-d-d-A()hi+kj+lkI-Vhai+kbj+lck丿*abc丿(h2+k2+l2)+kbj+lck)h2k2l2+xh2a2+k2b2+l2c2a2b2c2如果是立方晶系，cos0=1，表示平行，即晶列hkl垂直于同指數(shù)的晶面（hkl）兀如果不是立方晶系，例如四方晶系（a=卩=丫=

7、,a=b豐c）(h2+k2+l2)cos0=h2k2l2:+x；h2a2+k2a2+l2c2a2a2c2第一章晶體的結(jié)構(gòu)習題123 顯然，cos0豐1,即n與R不平行，即晶列hkl不垂直于同指數(shù)的晶面（hkl）。1.8驗證晶面（210）、（110）、（012）是否屬于同一晶帶？若是同一晶帶，其帶軸方向的晶列指數(shù)是什么？解答：參考王矜奉1.1.6；根據(jù)習題1.10，三個晶面屬于同一晶帶的條件是hhh-21123hhh=0,而-11123hf1h2hf3010=(-2)x(1x2-1x1)+1x2所以晶面（210）、（110）、（1x0-(-1)x2=0012）是屬于同一晶帶。三晶面屬于同一晶帶u

8、vw其帶軸方向的晶列指數(shù)是uvw，（交線為晶帶軸，此即為晶帶軸的方向指數(shù)）,則滿足KCa+vb+wc一一一)()a*+hb*+he*丿ua+vb+wc=0123因為a*a=b*b=e*e=2兀得hu+hv+hw=0123同理有hfu+hfv+hfw=01233hh22hhhh12hhhhhhhh100-2-212u:v:w=33112=hhhhh111-1-1112233123得=1:2:12331121.9晶面指數(shù)為（123）的晶面ABC是離原點O最近的晶面，OA、OB、和OC分別與基矢a,a,a重合,123除O點外，OA、OB、和OC上是否有格點？若ABC的面指數(shù)為（234）,情況又如何？

9、解答：參考1.2.5晶面族（123）截a,a,a分別為1,2,3等份，ABC面是離原點O最近的晶面，OA的長度等于a長1231度,OB的長度等于7長度的1/2,OC的長度等于7長度的1/3,所以A是格點。若ABC的面指數(shù)為（234）,23則A、B、C都不是格點。1.10與晶列l(wèi)ll垂直的倒格面的面指數(shù)是什么？第一章晶體的結(jié)構(gòu)習題 2aa2（a）斜方晶格，a,a任意，申任意.12b）正方晶格，（c）長方晶格，a主a,q=兀/2.12解答：王矜奉1.1.8正格子與倒格子互為倒格子，正格子晶面（仇1,h2,與倒格式Kh=-bi+h2b2+h3b3垂直，則倒格晶面Qii）與正格矢r=ia+1a+1a正

10、交，即晶列/門與倒格面（iii）垂直。123l112233123123面心立方和體心立方晶格中原子線密度最大的是哪個方向？解答：參考王矜奉1.2.11面間距最大的晶面上的格點最密，格點最密的線一定分布在格點最密的面上。根據(jù)固體物理學習題1.12，面心立方晶格中格點面密度最大的面是面指數(shù)為（111）的晶面，所以面心立方晶格中原子線密度最大的方向是晶面（111）內(nèi)如圖所示，最小的晶體心立方晶格中，面密度最大的面是面指數(shù)為（110）的晶面，所以面心立方晶格中原子線密度最大的方向是晶面（110）內(nèi)如圖所示，最小的晶列周期為冒3a/2.二維布喇菲點陣只有五種，試列舉并畫圖表示之。解答：參考基泰爾P6有斜

11、方晶格、正方晶格、長方晶格、六角晶格和有心長方晶格五種。（e）長方晶格，左邊為原胞，右為晶胞(d)六角方晶格，a=a,cp=2兀/3.12具有4度象軸而沒有4度旋轉(zhuǎn)對稱軸的晶體，有沒有對稱中心？舉例說明。解答：1.14如晶體中存在兩個相互交角為n/4的對稱面，試問這兩個對稱面的交線是幾度旋轉(zhuǎn)對稱軸？解答：面心立方元素晶體中最小的晶列周期為多大？該晶列在那些晶面內(nèi)？解答：參考王矜奉1.1.12周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面內(nèi)。若以密堆積模型，則原子密度最的晶面就是密排面。如固體物理學圖1-9所示，可知密勒指數(shù)（111）可以證明原胞坐標系中的面指數(shù)也為（111）是一個密排面晶面族，最小的

12、晶列周期為2a/2.根據(jù)同族晶面族的性質(zhì)，周期最小的晶列處于（111）晶面內(nèi)。對晶體做結(jié)構(gòu)分析時，為什么不使用可見光？解答：固體物理學式（1-39）布拉格反射公式2dsin0=n九（1-39），當入射波長一定時，入射h1h2h3角只有符合sin0=n九f2d時才能發(fā)生衍射。由于sin01，則當n=1時，必有X2d。晶體中h1h2h3h1h2h3原子間距的數(shù)量級為10-10m，要使原子晶格成為光波的衍射光柵，光波的波長應(yīng)小于10-10m。但可見光的波長為（4.07.6）x10-7m，是晶體中原子間距的1000倍。因此，在晶體衍射中，不能用可見光。在晶體的X射線衍射中，為了實現(xiàn)來自相繼晶面的輻射發(fā)

13、生相長干涉，對于高指數(shù)的晶面，應(yīng)采用長的還是短的波長？解答：高指數(shù)的晶面族與低指數(shù)的晶面族相比，對于同級衍射，哪一晶面衍射光弱？為什么？解答：（參考王矜奉1.1.14）對于同一級衍射，高指數(shù)的晶面族衍射光弱，低指數(shù)的晶面族衍射光強。低指數(shù)的晶面族面間距大，晶面上的原子密度大，這樣的晶面對射線的反射（衍射）作用強。相反，高指數(shù)的晶面族面間距小，晶面上的原子數(shù)密度小，這樣的晶面對射線的反射（衍射）作用弱。另外，由固體物理學式（1-39）布拉格反射公式2dsin=nX（-L39h1h2h3可知，面間距大的晶面，對應(yīng)一個小的光的掠射角0，面間距小的晶面，對應(yīng)一個大的光的掠射角0，0越大，光的透射能力越

14、強，反射能力越弱。溫度升高時，衍射角如何變化？X光波長變化時，衍射角如何變化？解答：（參考王矜奉1.1.15）由固體物理學式（1-39）布拉格反射公式2dsin0=nX（1-39）h1h2h3可知，對于同一級衍射，當X光波長不變時，面間距d之間變大，衍射角逐漸變小，所以溫度h1h2h3升高，由于熱膨脹，面間距d逐漸變大，衍射角變小。h1h2h3當溫度不變時，X光波長變大時，對于同一晶面族，衍射角隨之變大。體心立方元素晶體，密勒指數(shù)（100）和（110）面，原胞坐標系中的一級衍射，分別對應(yīng)晶胞坐標系中幾級衍射？解答：（參考王矜奉1.1.16,1.2.15，王矜奉教材29頁）根據(jù)固體物理學1.5節(jié)

15、，根據(jù)固體物理學式1-9)體心立方晶體的固體物理學原胞和結(jié)晶學晶胞的中基矢分別為a1aia2ajaka3倒格矢分別為b1(j+k)=b*+c*a*1b2j=1(一b一b+bb3+j)=a*+b*1(一b+b一b與固體物理學原胞晶面族（hhh）和結(jié)晶學晶胞晶面族（hkl）對應(yīng)的倒格矢分別為123一(一)(一)()K=hbhbhb=hb*c*ha*c*ha*b*h1h2h3112233123=(h+h)a*+(h+h)b*+(h+h)c*(a)2313127一一hK=ha*+kb*+lc*=hkl77)k(-777)l(77)b+b+b一b+b+b+b一b/212321232123=1(h+k+l

16、)b+(hk+l)b+(h+kl)b(b)根據(jù)固體物理學式（1-18）晶面間距離分別為,d123h1h2h3hkl2兀又根據(jù)固體物理學式（1-39）布拉格反射公式，2dsin0=n九(c)1232dsin0=n九(d)hkl衍射角相同意味著（hhh）與（hkl）為同一晶族，對應(yīng)的倒格矢平行，即123K=pK（e）h1h2h3hkl其中p是一個常數(shù)。比較得式（a）和（c）(hkl)=p(h+h)(h+h)(h+h)(f)231312p為(h+h),(h+h),(h+h)的公約數(shù)。231312比較比較得式(b)和(c)TOC o 1-5 h zK=K(g)hkl2h1h2h3(hhh)=(h+k+

17、l)(h-k+l)(h+k-l)(h)123pp為(h+k+l),(h-k+l),(h+k-1)的公約數(shù)。對于體心立方元素晶體，對應(yīng)密勒指數(shù)（100）的原胞體系的指數(shù)根據(jù)式（h）(hhh)123=(-h+k+l)(h-k+l)(h+k-l)=(-1+0+0)(1-0+0)(1+0-0)=C11)ffppp，=1，由式（c）、（d）和（g）可知n=2n，即對于體心立方元素晶體，對應(yīng)密勒指數(shù)（100）晶面族的原胞體系中一級衍射，對應(yīng)晶胞坐標系中的二級衍射。對于體心立方元素晶體，對應(yīng)密勒指數(shù)（110）的原胞體系的指數(shù)根據(jù)式（h）（hhh）=（h+k+l）（h-k+l）（h+k-l）=（-1+1+0）

18、（1-1+0）（1+1-0）=1（001）123pp2p，=2，由式（c）、（d）和（g）可知n=n，即對于體心立方元素晶體，對應(yīng)密勒指數(shù)（100）晶面族的原胞體系中一級衍射，對應(yīng)晶胞坐標系中的一級衍射。1.21如果間距為d的兩個相鄰原子面上X射線反射彼此加強，間距為2d，3d，4d,的兩個原子面上的反射是否也彼此加強？反之，如果間距為2d的兩個面的反射滿足布喇格公式，間距為d的面上的反射是否加強？解答：根據(jù)固體物理學式（1-39）2dsin0=n九（139）h1h2h3時滿足衍射加強，d是晶面族的面間距，與原子間間距成正比，即d=md。h1h2h3h1h2h3顯然當間距為d的兩個原子滿足式（

19、1-39）時，間距為2d，3d，4d,的兩個原子面也滿足衍射加強。反之，如果間距為2d的兩個面的反射滿足布喇格公式時，如n為奇數(shù)時，間距為d的面不滿足衍射方程,而當n為偶數(shù)時，間距為d的面滿足衍射方程，表示此面上的反射是加強的。1.22金剛石和鍺的幾何結(jié)構(gòu)因子有何異同？解答：（參考王矜奉1.1.18）幾何結(jié)構(gòu)因子的表達式（1-52）Fhkl=工fei2nn(huj+kv,+Iw其中u,v,w是一個晶胞內(nèi)，第j個原子的位置矢量在a,b,c軸上投影的系數(shù)。jjj金剛石和鍺具有相同的結(jié)構(gòu)，盡管它們的a,b,c大小不相同，但第j個原子的位置矢量在a,b,c軸上投影的系數(shù)相同。如果認為晶胞內(nèi)各個原子的散射因子f都一樣，則幾何結(jié)構(gòu)因子化為Ei2nnCu+kv+iw)ejjjiF=hkij在這種情況下金剛石和鍺的幾何結(jié)構(gòu)因子的求和部分相同。由于金剛石和鍺原子中的電子數(shù)和分布不同幾何結(jié)構(gòu)因子中的原子散射因子f不會相同。1.23旋轉(zhuǎn)單晶法中，將膠片卷成以轉(zhuǎn)軸為軸的圓筒，膠片上的