新教材2021-2022學(xué)年人教A版必修第一冊 4.3.1　對數(shù)的概念 4.3.2　對數(shù)的運算 課件（23張）

1、4.3 對數(shù)4.3.1對數(shù)的概念4.3.2對數(shù)的運算1.理解對數(shù)的概念,會進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化.2.理解對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式,能熟練運用對數(shù)的運算性質(zhì)進行化簡求值.3.體會數(shù)學(xué)抽象的過程,加強對邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng).1.對數(shù)的概念一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).2.常用對數(shù)與自然對數(shù)通常,我們將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),并把log10N記為lg N;以e(e=2.718 28)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),并把logeN記為ln N.3.對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系(1)當a0,a1時,ax=Nx=lo

2、gaN;(2)對數(shù)恒等式:=N(a0,且a1,N0).對數(shù)的概念4.對數(shù)的性質(zhì)(1)負數(shù)和0沒有對數(shù);(2)loga1=0,logaa=1.(a0,且a1)如果a0,且a1,M0,N0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)loga=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM(nR).對數(shù)的運算性質(zhì)1.logab=(a0,且a1;b0;c0,且c1).2.推論:logab=,bm=logab.(a0,且a1;b0,且b1;n0)換底公式1.因為(-2)2=4,所以2=log(-2)4.()提示:因為對數(shù)的底數(shù)a應(yīng)滿足a0且a1,所以結(jié)論錯誤.2.當a0,且a1

3、時,=N.()提示:當a0,且a1時,ax=Nx=logaN,將x=logaN代入ax=N,得=N.3.若ln N=,則N=.()提示:ln N=,則N=.4.loga(xy)=logaxlogay.()提示:根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可知loga(xy)=loga|x|+loga|y|,結(jié)論錯誤.判斷正誤，正確的畫“” ，錯誤的畫“ ” .5.loga(-2)3=3loga(-2).()提示:公式logaMn=nlogaM(nR)中的M應(yīng)為大于0的數(shù),結(jié)論錯誤.6.使對數(shù)log2(-2a+1)有意義的a的取值范圍是.()提示:要使對數(shù)log2(-2a+1)有意義,需使-2a+10,解得a0,且a1,

4、N0)?提示:把x=logaN代入ax=N,得=N.3.在指數(shù)與對數(shù)的互化中,要注意什么?提示:要注意底數(shù)的范圍,如(-2)2=4,不能寫成log(-2)4=2,只有a0,a1,N0時,才有ax=Nx=logaN.1.對數(shù)恒等式=N(a0,且a1,N0)的應(yīng)用(1)對數(shù)恒等式的直接應(yīng)用.(2)不能直接應(yīng)用對數(shù)恒等式的情況按以下步驟求解:2.對數(shù)式中求值的方法(1)將對數(shù)式化為指數(shù)式,構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題.(2)利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)計算.求下列各式中x的值:(1)-ln e2=x;(2)log3(lg x)=1;(3)x=;(4)log2x=-.思路點撥利用對數(shù)與指數(shù)的互化、對數(shù)性質(zhì)求解.解析

5、(1)-ln e2=x,-x=ln e2,即e-x=e2,解得x=-2.(2)log3(lg x)=1,lg x=31=3,x=103=1 000.(3)原式=7=.(4)log2x=-,=x,x=.電影死亡密碼中,刑偵總隊密碼組是頂級情報人員的培訓(xùn)、任命和派遣機構(gòu),他們的任務(wù)是通過犯罪現(xiàn)場留下的詭異痕跡探索兇案背后的動機,進而追捕兇手.古怪的案發(fā)地點,滿地的血漿和奇怪的碎片,消失的被害人,超出常人血量的血泊,刑偵隊長在辦案過程中離奇失憶,并發(fā)出一段意義不明的藍色數(shù)字,線索越發(fā)撲朔迷離,而那串數(shù)字就藏在lg 14-2lg+lg 7-lg 18+的計算結(jié)果中.利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡、求值問題1.

6、你能找出該密碼嗎?提示:原式=lg 14-lg+lg 7-lg 18+=lg +=lg 1+=.因此該密碼是.2.在對數(shù)計算問題中,涉及l(fā)g 2,lg 5時,應(yīng)如何處理?提示:常利用lg 2+lg 5=1,lg 2=1-lg 5及l(fā)g 5=1-lg 2等化簡求解.3.在化簡含有對數(shù)的式子時,換底公式的作用是什么?提示:將不同底的對數(shù)化成同底的對數(shù),進而進行運算.1.利用對數(shù)性質(zhì)求值的解題關(guān)鍵是化異為同,先使各項底數(shù)相同,再找真數(shù)間的聯(lián)系.2.對于復(fù)雜的運算式,可先化簡再計算.化簡的常用方法:“拆”:將積(商)的對數(shù)拆成兩對數(shù)之和(差);“收”:將同底對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù).3.在利用

7、換底公式進行化簡求值時,一般情況下是根據(jù)題中所給對數(shù)式的具體特點選擇恰當?shù)牡讛?shù)進行換底,如果所給的對數(shù)式中的底數(shù)和真數(shù)互不相同,我們可以選擇以10為底數(shù)進行換底.利用換底公式化簡與求值的思路:化簡下列各式:(1)4lg 2+3lg 5-lg ;(2);(3)2log32-log3+log38-;(4)lo(-).思路點撥當對數(shù)的底數(shù)相同時,利用對數(shù)的運算性質(zhì),將式子轉(zhuǎn)化為只含一種或盡量少的真數(shù)的形式,再進行計算.解析(1)原式=lg =lg(2454)=lg(25)4=4.(2)原式=.(3)原式=2log32-(5log32-2)+3log32-=2log32-5log32+2+3log32

8、-3=-1.(4)=2+,=2-,原式=lo(2+-2+)=lo()3=3.(1)化簡:(log43+log83)(log32+log92)=;(2)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645為.思路點撥式子中各個對數(shù)的底數(shù)都不相同,需先統(tǒng)一底數(shù)再化簡求值.解析(1)原式=log23=.(2)解法一:18b=5,log185=b,于是log3645=.解法二:18b=5,log185=b,于是log3645=.解法三:log189=a,18b=5,lg 9=alg 18,lg 5=blg 18,log3645=.答案(1)(2) 解題模板用已知對數(shù)式表示未知對數(shù)式,此類問題的

9、本質(zhì)是把目標分解為基本“粒子”,然后用指定字母換元.20世紀30年代,里克特(C.F.Richter)制定了一種表明地震能量大小的尺度,這種尺度就是使用測震儀衡量地震能量的等級.地震能量越大,測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說的里氏震級M,其計算公式為M=lg A-lg A0.其中,A是被測地震的最大振幅,A0是“標準地震”的振幅(使用標準地震振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離造成的偏差).對數(shù)運算性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題1.假設(shè)在一次地震中,一個距離震中100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20,此時標準地震的振幅是0.001,計算這次地震的震級(精確到0.1).提示:M=lg 2

10、0-lg 0.001=lg=lg 20 000=lg 2+lg1044.3.因此,這是一次約為里氏4.3級的地震.2.若新聞報道某次地震的震級為M,如何用M和A0表示最大振幅A?提示:由M=lg A-lg A0可得M=lg=10MA=A010M.3.5級地震給人的震感已比較明顯,計算7.6級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的多少倍(精確到1).提示:當M=7.6時,地震的最大振幅為A1=A0107.6;當M=5時,地震的最大振幅為A2=A0105.所以兩次地震的最大振幅之比是=107.6-5398.1.(1)在對數(shù)式、指數(shù)式的互化運算中,要注意靈活運用定義、性質(zhì)和運算法則,尤其要注意條件和結(jié)

11、論之間的關(guān)系.(2)對于連等指數(shù)式可令其等于k(k0),然后將指數(shù)式用對數(shù)式表示,再由換底公式將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對數(shù),從而使問題得解.2.解決對數(shù)應(yīng)用問題,首先理解題意,弄清關(guān)鍵詞及字母的含義,然后恰當設(shè)未知數(shù),建立數(shù)學(xué)模型,最后轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)問題求解,注意歸納結(jié)論.已知3a=5b=c,且+=2,求c的值.思路點撥指數(shù)與對數(shù)互化,得a=log3c,b=log5c+=logc15求出c的值.解析3a=5b=c,a=log3c,b=log5c,=logc3,=logc5,+=logc15.由logc15=2得c2=15,即c=(負值舍去).已知a,b,c是不等于1的正數(shù),且ax=by=cz,+=0,求abc的值.思路點撥設(shè)ax=by=cz=t,則x=logat,y=logbt,z=logct,代入+=0并用對數(shù)的運算性質(zhì)可求得abc的值,也可以用換底公式進行計算.解析解法一:設(shè)ax=by=cz=t,a,b,c是不等于1的正數(shù),t0,且t1,則x=logat,y=logbt,z=logct,+=+=logta