新教材2021-2022學(xué)年人教A版選擇性必修第三冊(cè) -　離散型隨機(jī)變量的均值 學(xué)案

1、73離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征73.1離散型隨機(jī)變量的均值新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)通過具體實(shí)例，理解隨機(jī)變量的均值，并能解決簡單的實(shí)際問題數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析設(shè)有12個(gè)西瓜，其中重5 kg的有4個(gè)，重6 kg的有3個(gè)，重7 kg的有5個(gè)問題(1)任取一個(gè)西瓜，用X表示這個(gè)西瓜的重量，試想X可以取哪些值？(2)X取上述值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率分別是多少？(3)試想每個(gè)西瓜的平均重量該如何求？知識(shí)點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的均值1定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2xnPp1p2pn則稱E(X)x1p1x2p2xnpneq isu(i1,n,x)ipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望2意義：均值E(X)刻畫

2、的是X取值的“中心位置”，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平3性質(zhì)：如果X為(離散型)隨機(jī)變量，則YaXb(其中a，b為常數(shù))也是隨機(jī)變量，且P(Yaxib)P(Xxi)，i1,2,3，n.E(Y)E(aXb)aE(X)b.4兩點(diǎn)分布的均值若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p.對(duì)離散型隨機(jī)變量均值的再理解(1)含義：均值是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，反映或刻畫的是隨機(jī)變量取值的平均水平；(2)來源：均值不是通過一次或多次試驗(yàn)就可以得到的，而是在大量的重復(fù)試驗(yàn)中表現(xiàn)出來的相對(duì)穩(wěn)定的值；(3)單位：隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量本身具有相同的單位 隨機(jī)變量的均值與樣本平均值有什么關(guān)系？提示：(1)區(qū)別：

3、隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣本平均值是一個(gè)隨機(jī)變量，它隨樣本抽取的不同而變化；(2)聯(lián)系：對(duì)于簡單的隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來越接近于總體的均值1隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其分布列如表所示，則E(X)()X01Peq f(1,5)aA.eq f(4,5)Beq f(1,2)C.eq f(2,5)Deq f(1,5)解析：選A由題意知eq f(1,5)a1，所以aeq f(4,5)，E(X)0eq f(1,5)1aaeq f(4,5).2設(shè)E(X)5，則E(2X10)_.解析：E(2X10)2E(X)1020.答案：20求離散型隨機(jī)變量的均值例1(鏈接教科

4、書第65頁例3)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同從中任意選取3個(gè)(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與均值解(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)eq f(Coal(1,2)Coal(1,3)Coal(1,5),Coal(3,10)eq f(1,4).(2)X的所有可能取值為0,1,2，且P(X0)eq f(Coal(3,8),Coal(3,10)eq f(7,15)，P(X1)eq f(Coal(1,2)Coal(2,8),Coal

5、(3,10)eq f(7,15)，P(X2)eq f(Coal(2,2)Coal(1,8),Coal(3,10)eq f(1,15)，綜上知，X的分布列為X012Peq f(7,15)eq f(7,15)eq f(1,15)所以E(X)0eq f(7,15)1eq f(7,15)2eq f(1,15)eq f(9,15)eq f(3,5).求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟其中第一、二步是解答此類題目的關(guān)鍵，在求解過程中應(yīng)注重運(yùn)用概率的相關(guān)知識(shí)作答 跟蹤訓(xùn)練某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過，即可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考

6、到第4次為止如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和均值解：X的可能取值為1,2,3,4，則P(X1)0.6，P(X2)(10.6)0.70.28，P(X3)(10.6)(10.7)0.80.096，P(X4)(10.6)(10.7)(10.8)10.024.所以在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列為X1234P0.60.280.0960.024E(X)10.620.2830.09640.0241.544.離散型隨機(jī)變量的均值及性質(zhì)的應(yīng)用例2(鏈接教科書第66頁練習(xí)1題)已知隨機(jī)變量X的分布列為X21

7、012Peq f(1,4)eq f(1,3)eq f(1,5)meq f(1,20)若Y2X，則E(Y)_.解析由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得eq f(1,4)eq f(1,3)eq f(1,5)meq f(1,20)1，解得meq f(1,6)，所以E(X)(2)eq f(1,4)(1)eq f(1,3)0eq f(1,5)1eq f(1,6)2eq f(1,20)eq f(17,30).由Y2X，得E(Y)2E(X)，即E(Y)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(17,30)eq f(17,15).答案eq f(17,15)母題探究1(變?cè)O(shè)問)本例條件不變，若Y2X3，求E(Y)解

8、：由公式E(aXb)aE(X)b及E(X)eq f(17,30)得，E(Y)E(2X3)2E(X)32eq blc(rc)(avs4alco1(f(17,30)3eq f(62,15).2(變條件，變?cè)O(shè)問)本例條件不變，若將“Y2X”改為aX3，且E()eq f(11,2)，求a的值解：因?yàn)镋()E(aX3)aE(X)3eq f(17,30)a3eq f(11,2)，所以a15.1該類題目屬于已知離散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E(X)x1p1x2p2xnpn求解2對(duì)于aXb型的隨機(jī)變量，可利用均值的性質(zhì)求解，即E(aXb)aE(X)b；也可以先列出aXb的分布列，再用均值公式求解

9、，比較兩種方式顯然前者較方便 離散型隨機(jī)變量均值的實(shí)際應(yīng)用例3(鏈接教科書第65頁例4)根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60 000元，遇到小洪水時(shí)要損失10 000元為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：方案1運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3 800元；方案2建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2 000元，但圍墻只能防小洪水；方案3不采取措施如果你是工地的領(lǐng)導(dǎo)，那么該如何決策呢？解設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1，X2，X3.采用方案1，無論有無洪水，都損失3 800元因此，X13 800.采用方案2，遇到大洪水時(shí)，總損失為2

10、 00060 00062 000元；沒有大洪水時(shí)，總損失為2 000元因此，X2eq blcrc (avs4alco1(62 000，有大洪水，,2 000，無大洪水.)采用方案3，有X3eq blcrc (avs4alco1(60 000，有大洪水，,10 000，有小洪水，, 0，無洪水.)于是，E(X1)3 800，E(X2)62 0000.012 0000.992 600，E(X3)60 0000.0110 0000.2500.743 100.因此，從期望損失最小的角度，應(yīng)采取方案2.1實(shí)際問題中的均值問題均值在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如對(duì)體育比賽的成績預(yù)測，消費(fèi)預(yù)測，工程方案的預(yù)測

11、，產(chǎn)品合格率的預(yù)測，投資收益的預(yù)測等方面，都可以通過隨機(jī)變量的均值來進(jìn)行估計(jì)2概率模型的三個(gè)解答步驟(1)審題：確定實(shí)際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些；(2)確定隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值；(3)對(duì)照實(shí)際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論 跟蹤訓(xùn)練某商店欲購進(jìn)某種食品(保質(zhì)期兩天)，此商店每兩天購進(jìn)該食品一次(購進(jìn)時(shí)，該食品為剛生產(chǎn)的)根據(jù)市場調(diào)查，該食品每份進(jìn)價(jià)8元，售價(jià)12元，如果兩天內(nèi)無法售出，則食品過期作廢，且兩天內(nèi)的銷售情況互不影響，為了了解市場的需求情況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)該食品在本地區(qū)100天的銷售量如下表(視樣本頻率為概率)：銷售量(份)1516171

12、8天數(shù)20304010(1)根據(jù)該食品100天的銷售量統(tǒng)計(jì)表，記兩天中一共銷售該食品份數(shù)為，求的分布列與期望；(2)以兩天內(nèi)該食品所獲得的利潤期望為決策依據(jù)，該商店一次性購進(jìn)32或33份時(shí)，哪一種得到的利潤更大？解：(1)的可能取值為30,31,32,33,34,35,36，其中P(30)0.20.20.04，P(31)Ceq oal(1,2)0.20.30.12，P(32)0.30.3Ceq oal(1,2)0.20.40.25，P(33)Ceq oal(1,2)0.20.1Ceq oal(1,2)0.30.40.28，P(34)0.40.4Ceq oal(1,2)0.30.10.22，P(

13、35)Ceq oal(1,2)0.40.10.08，P(36)0.10.10.01.的分布列如下：30313233343536P0.040.120.250.280.220.080.01E()300.04310.12320.25330.28340.22350.08360.0132.8.(2)當(dāng)一次性購進(jìn)32份食品時(shí)，每兩天的銷售量有三種情況：銷售30份，銷售31份，銷售32份，設(shè)每兩天的利潤為X，則X的可能取值為104,116,128，且P(X104)0.04，P(X116)0.12，P(X128)10.040.120.84，E(X)1040.041160.121280.84125.6.當(dāng)一次性

14、購進(jìn)33份食品時(shí)，每兩天的銷售量有四種情況：銷售30份，銷售31份，銷售32份，銷售33份，設(shè)每兩天的利潤為Y，則Y的可能取值為96,108,120,132.且P(Y96)0.04，P(Y108)0.12，P(Y120)0.25，P(Y132)10.040.120.250.59，E(Y)960.041080.121200.251320.59124.68.E(X)E(Y)，該商店一次性購進(jìn)32份食品時(shí)得到的利潤更大1設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)eq f(1,4)，k1,2,3,4，則E(X)的值為()A2.5B3.5C0.25 D2解析：選AE(X)1eq f(1,4)2eq f(1,4)3

15、eq f(1,4)4eq f(1,4)2.5.2已知X的分布列如表所示，則E(X)等于()X101Peq f(1,3)eq f(1,6)aA.eq f(3,2) B1C.eq f(1,3) Deq f(1,6)解析：選D由分布列的性質(zhì)可知，eq f(1,3)eq f(1,6)a1，解得aeq f(1,2)，E(X)(1)eq f(1,3)0eq f(1,6)1eq f(1,2)eq f(1,6).3某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的均值E()8.9，則y的值為()A0.3 B0.4C0.5 D0.2解析：選B依題意得eq blcrc (avs4alco1(x0.10.3y1，7x0.82.710y8.9，)即eq blcrc (avs4alco1(xy0.6，7x10y5.4，)解得y0.4.4一個(gè)均勻的小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字0，兩個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字1，一個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字2.將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是_解析：隨機(jī)變量X的取值為0,1