卡方分布及其它分布

1、卡方分布卡方分布的定義:若n個相互獨立的隨機變量己1,己2,，己n ,均服從標準正態(tài)分布(也稱獨立同分布于標準正態(tài)分布)，則這 n個服從標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和三己i A2構成一新的隨機變量，其分布規(guī)律稱為x 2(n)分布(chi-square distribution ),其中參數(shù) n 稱為自由度?？ǚ椒植嫉男再|：(1)(可加性) 設Yi72ni,九,i =1,，k,且相互獨立，則這里 n = ni,，= i.(2) E(72/) = n + MVar(蜉,p =2n+4 九.證明 (1)根據(jù)定義易得。(2)設Y Z2,7,則依定義，Y可表示為其中 Xi N(0,1),i =1,，n1

2、, Xn N(JI,1),且相互獨立,于是因為代入(1),第一條結論可得證。直接計算可得于是代 入 (2) 便 證 明 了 第 二 條 結 論三、卡方分布的概率密度函數(shù)：其中Dx為n維x空間內由不等式x12+xn2 y z所定的區(qū)域。即，Dz為n維x空間內以坐標原點為球心、JZ為半徑的球面所圍成的區(qū)域(邊界不在內)可以利用極坐標來計算這積分。令與這變換相應的函數(shù)行列式為：其中括號和9都表示4刀2的函數(shù)。因此。當 z0時，C是常數(shù)。為了定出C,在上述等式的兩端令 r-+巴得到從而, 在分母內的積分中令 1r2=N,即，用r=及N5作代換，那么，這個積分等2n-1 n_111.22因此,從而，當z

3、0時, 即，72的密度函數(shù)為稱這個密度函數(shù)所定的分布為自由度為n的72分布，記作/2。它的圖像如下：圖（一）72分布密度函數(shù)圖四、卡方分布的累積分布函數(shù)為Fk x =k 2,x 2 - k2其中丫（k,z）為不完全Gamm函數(shù)。其圖像如下:圖（二）？2分布的分布函數(shù)圖五、卡方分布的特征函數(shù)及其推導：特征函數(shù)： 巾 （）=f（x）dx= dx六、論證過程中的心得體會:首先通過對卡方的研究和證明，提高了我們對數(shù)學的興趣。其次，通過這 次的推導和搜索資料進行分析，大大提高了我們的獨立思考的能力， 我們當中很 多同學之前都很害怕類似的證明題，這一次的合力解決難題使我們信心倍增。當然同時，這個合作鍛煉了

4、我們團隊合作的能力， 分工合作解決問題，有的人負 責收集資料，有點人負責推導公式，有的人負責輸入文章，整理公式，等等。這 讓大家明白了團結的力量。做出合理的時間安排，做任何事情，合理的時間安排非常重要，多元課程設計也是一樣，事先要做好一個規(guī)戈課程設計一共分5個板塊(定義，性質，特征函數(shù)，密度函數(shù)，分布函數(shù)，心得體會)。你每 天 要做完哪幾個板塊事先要確定好，這樣做才會使自己游刃有余，保證在2周時間 內內完成論文，以避免由于時間上的不妥，以致于最后無法完成論文。另外，寫論文的過程中也使我們對論文的格式有了一個了解，更規(guī)范更具 體，為以后的學業(yè)報告做了一次很好的準備。論文屬于科學性的文章，它有嚴格

5、 的書寫格式規(guī)范，因此一篇好的論文一定 要有正確的格式，論文格式錯誤就不 能得到好成績，因此我們寫論文時要端正態(tài)度，注意書寫格式。多元課程的設計更加是豐富了我們的業(yè)余生活，讓大家聚在一起討論題目，其樂融融。這樣的課程設計也能使我們找到志同道合的朋友，發(fā)現(xiàn)生活中的點滴數(shù)學趣事，從實際出發(fā)思考題目，同時我們對計算機的知識也有了一定的加深，matlab的使用等等。t分布的有關知識t分布的概述及其歷史在概率論和統(tǒng)計學中，學生 t-分布(Students t-distribution )應用在當對呈正態(tài)分布的母群體的均值進行估計。它是對兩個樣本均值差異進行顯著性測試的學生t測定的基礎。t檢定改進了 (超

6、過120等)時，可以應用 此樣本很小的情況下得改用學生 此時可以用變異數(shù)分析代替學生Z檢定，不論樣本數(shù)量大或小皆可應用。在樣本數(shù)量大Z檢定，但 Z檢定用在小的樣本會產(chǎn)生很大的誤差，因 t檢定。在數(shù)據(jù)有三組以上時，因為誤差無法壓低， t檢定。當母群體的標準差是未知的但卻又需要估計時，我們可以運用學生t -分布。學生t-分布可簡稱為t分布。其推導由威廉戈塞于 1908之首先發(fā)表，當時他還在都柏林的健力士釀酒廠工作。因為不能以他本人的名義發(fā)表，所以論文使用了學生(Student )這一筆名。之后t檢驗以及相關理論經(jīng)由羅納德費雪的工作發(fā)揚光大，而正是他將此分布稱 為學生分布 由于在實際工作中， 往往b

7、是未知的，常用s作為b的估計值，為了與 u變換區(qū)別，稱為 t變換1 =X二，統(tǒng)計量t值的分布稱為t分布。Sxt分布的分布函數(shù)及證明用T (x; n)表示tn分布的分布函數(shù)，則證明根據(jù)分布函數(shù)的定義有 當x .0時，上式為 TOC o 1-5 h z 0 22由于Jt(y;n)dy =1,故立即可得 A =1/2,為了計算 % 我們做變換t = y /(n+y )則1_3dy =(n +y2)2/(2ny) *dt =t 2 (1 -t) 2dt ,因此 一 _11 _11、故 T(x；n) =A A2 =- 2Ix2/(n.x2)(2，an)而當x W0時，我們有然后利用剛剛的討論可知綜上所述

8、便得我們所要的結論。t分布的密度函數(shù)及證明設，,z為相互獨立隨機變量，服從正態(tài) N (0,1), z服從自由度為 n的72 分布，則t= 7 jzn的密度函數(shù)為稱ft(x)是自由度為n的t一分布(或Student分布)的密度函數(shù)，證：首先，易知與；zn相互獨立，事實上，故得證二與Jzn是相互獨立的.(其實，由商的密度函數(shù)為證明過程用到公式t分布的W特征函為：t分布有如下特征：1、t分布是對稱分布，且其均值為02. t分布是一簇曲線，其形態(tài)變化與n (確切地說與自由度v )大小有關。自由 度V越小，t分布曲線越低平；自由度v越大，t分布曲線越接近標準正態(tài)分布(U分布)曲線，如圖1。3、t分布是一

9、個分布族，對于不同的樣本容量都對應不同的分布，且其均值都為0。4、與標準正態(tài)分布相比，t分布的中心部分較低，2個尾部較高。5、變量t的取值范圍在 -七到之間圖1自由度為1、5、的t分布t分布有如下性質：2性質 1 令 g(x) =(1 +x-)n 初2 n2則 g (x) -1J(1 J，n 3)/2 .x n n TOC o 1-5 h z .22cg(x) =U(1 +、)8/2(1 +二一nx2)故g(x)=0 的 解 為n nn nx = Jn/(n+2),即分布密度在 x=Jn/(n+2)處有拐點。1 2 1_ x2性質 2 lim t(x；n) e 2 2-性質3設X tn ,若r

10、 n,則E(Xr)不存在。此點由微積分中判別積分收斂的法則很容易看出。若rn,且r為奇數(shù)，由于函數(shù)xr(1+x2 / n)*2是x的奇函數(shù)，因此，叫=0；若rn且r為偶數(shù)，可以算得Nr = Nr=nr/21 *3*5(r -1)_特別(n -2)(n - 4) (n r)n6E(X) =0,Va(rX)=,n =3,4,r1 =0/2 =,n =5,6,n -2n -4性質4 tn分布由于只有n-1階矩存在，故沒有矩母函數(shù)存在。性質5如Xi和X2獨立同分布于？2n,則隨機變量Y = 3 底(X2 _X1)/JX1X2 tn。t分布的d分位數(shù)t分布的分位數(shù)記作t和)如圖所示，當Xt(n)時，PX

11、 -4,604,加儂 4 )=-2.776,卜儂 4i；=-2.132另外，當n 30時，在比較簡略的表中查不到t和)可用u3乍為t南的近似值.t分布的分位數(shù)t分布表n 0.250.20.150.10.050,0250.010,0050.00250.0010.000511.0001.3761.9633.0786.31412.70631.82163.657127.32318.31636.6220.8161.0611.3861.8862.9204.3036.9659.92514.08923.32631.59830.7650.9781.2501.6382.3533.1824.5415.8417.45

12、310.21312.92440.7410.9411.1901.5332.1322.7763.7474.6045.5987.1738.6150.7270.9201.1561.4762.0152.5713.3654.0324.7735.8936.86960.7180.9061.1341.4401.9432.4473.1433.7074.3175.2085.95970.7110.8961.1191.4151.8952.3652.9983.4994.0294.7855.40880.7060.8891.1081.3971.8602.3062.8963.3553.8334.5015.04190.7030.

13、8831.1001.3831.8332.2622.8213.2503.6904.2974.781100.700.8791.0931.3721.8122.2282.7643.1693.5814.1444.587110.6970.8761.0881.3631.7962.2012.7183.1063.4974.0254.437120.6950.8731.0831.3561.7822.1792.6813.0553.4283.9304.318130.6940.8701.0791.3501.7712.1602.6503.0123.3723.8524.221140.6920.8681.0761.3451.7

14、612.1452.6242.9773.3263.7874.14150.6910.8661.0741.3411.7532.1312.6022.9473.2863.7334.073160.6900.8651.0711.3371.7462.1202.5832.9213.2523.6864.015170.6890.8631.0691.3331.7402.1102.5672.8983.2223.6463.965180.6880.8621.0671.3301.7342.1012.5522.8783.1973.6103.922190.6880.8611.0661.3281.7292.0932.5392.86

15、13.1743.5793.883200.6870.8601.0641.3251.7252.0862.5282.8453.1533.5523.85210.6860.8591.0631.3231.7212.0802.5182.8313.1353.5273.819220.6860.8581.0611.3211.7172.0742.5082.8193.1193.5053.792230.6850.8581.0601.3191.7142.0692.5002.8073.1043.4853.767240.6850.8571.0591.3181.7112.0642.4922.7973.0913.4673.745

16、250.6840.8561.0581.3161.7082.0602.4852.7873.0783.4503.725260.6840.8561.0581.3151.7062.0562.4792.7793.0673.4353.707270.6840.8551.0571.3141.7032.0522.4732.7713.0573.4213.69280.6830.8551.0561.3131.7012.0482.4672.7633.0473.4083.674290.6830.8541.0551.3111.6992.0452.4622.7563.0383.3963.659300.6830.8541.05

17、51.3101.6972.0422.4572.7503.0303.3853.646400.6810.8511.0501.3031.6842.0212.4232.7042.9713.3073.551600.6790.8481.0451.2961.6712.0002.3902.6602.9153.2323.461200.6770.8451.0411.2891.6581.982.3582.6172.8603.1603.37300 .0.6740 8421 0361 2821 6451 962 3262 5762 8073 093.291廣義非中心t分布定義：:鏟1 且 N =( 3,0，0)。(*)

18、 t =n2 X11(x(2)x(2)“Xi.。、設 X = I(2)ECn 由(N,In 由由，其中 X(2)X 1的分布稱為廣義非中心t分布，記為t Gtn32)或tGtn(6, f)。定理1：設t Gtn f),則t的密度是(*1)1 n 2(n二)2 (2n)1(n t2),(n 1)二 22 n一一f f (y -261y +6 )y dy , - t +=c ,1其中二1 二t、：/(n t2)2。證：設 x ECn 書(N,In* f)其中R =(6,0，0)且 h(,)是 Borel 函數(shù)使得 E(h(t) m利用 f f (Z x2 )dx1，dx11一 m(二)2-(2m)

19、一1:二-mJ0 y111 、f(y)dy = (n)2 F(-m) Ii( f -m) 對于22X2,，Xn小則我們有E(h(t)=(*2)V n)2L2 二 21：- n_2n 1_ 0 h(n 2 /r)f (Xi -、)gr drdx111(2n)n2,1二 h(t)f(tr/n“、)2 r2)rndrdtJ u因此，t的密度是1 n 2出 22 0 f(t2 n)r2nn2- (2 n)1-2t rn 2，32)rndr1令 y =(t2 +n)/n)2r,我們立得(*)。當6 =0時，(*1 )成為我們熟悉的密度to推論 1 ：設 t Gtn(3, f),Eh(t) ,則(*3)

20、E(h(t)=In2 二 2o M (：)：n f (：2)d：,1x其中(*4) M (P) = I h(n2 e + Pcos)/(Psin) sin6d6 o證：做變換x1 =6 + Pcosdr = Psin 9 ,則由(*2)結論得證。推論2：設Et-k1n2 ( (n -k)k!k2 kko.1r(-n)Cn2一 2(*6)2 n26 nE(t )=+1n2*n - 2 g2 n 26 nvar(t)=-+1n -2 cn j. TOC o 1-5 h z k 2 - 1- 12_n信(仁(n-1)/(仁n)g)、22由(*3), (*4)和22a,1Legendre 倍量公式 F

21、(2a) =i(a)(a+-),結論得證。二，2分布、定義如果隨機變量的密度函數(shù)為則稱隨機變量 服從第一自由度為 ，第二自由度為 的 分布，記為二、性質1、設隨機變量 與相互獨立，且，則隨機變量證明：因為隨機變量 與 分別 分布，所以其密度函數(shù)分別為一 ? 一由商的密度函數(shù)公式，故得所以，隨機變量。2、設隨機變量，則，D 解：一二一令，得同理可得，D 3、設隨機變量 ，則。證明：因為隨機變量，所以其密度函數(shù)為則的密度函數(shù)為所以,4、若隨機變量證明：因為隨機變量,所以其密度函數(shù)為-的密度函數(shù)為所以,、非中心分布,且與相互獨立，令,則稱服從自由度為 ，非中心參數(shù)為的非中心分布，記為隨機變量的密度函

22、數(shù)為證明：的聯(lián)合分布為作變換的聯(lián)合分布為的邊沿分布為將改為，即為所證。二次型的分布Wishart 分布設Xi, | | , Xn相互獨立同標準正態(tài)N(0,1)分布，令X = (xJH,Xn),則Y -XX- xi2 2(n)其密度函數(shù)為:n/2n/2exp 一2,y 0,2n/2 - I n12刀而在x/llXn相互獨立同正態(tài)N(0尸2)分布時，Yo272(n),其密度函數(shù)為:n n/2 1y、-y exp -2 , y 0,卜面將上述結果推廣至多元正態(tài)分布的情況。二.Wishart分布的定義假設Y()Y).,Y(m相互獨立, 其中：10 , Y =(YQY(2L.,Y(m)pMm , U =

23、YY= Y(aY(a),則稱隨機陣 U 服從自由度為m ,非中心參數(shù)為M =(u,uf ,u(m )p父m=E(Y)的非中心wishart分布，記為uWp(m,M卜特別地,當M =(0,0,.,0)時，則稱之為中心 wishart分布，記為：uWp(m,l),其概率密度為:1N P 1仃W 廠 exp np pn p jn _OE Yf W,三二22 二 n p-1 Z2ii.：-T . 210,其它其中W =(aj)pxp為對稱陣，是隨機矩陣U的觀測值矩陣。三.Wishart分布的特征函數(shù)定理：如果SWp(m,E),(工0已蘊含在W分布的定義中)，則mQ(T )= Ip -2訂，其中T=(t

24、j 2Mp為實變元對稱陣。- m證明：因為S Wp(m,工)，所以S可表示為f = Ya)Y),其中1YC,Yf,.,Y(m珈立同分布與Np(0,I),Z0o有隨機矩陣特征函數(shù)的定義可知Q (T 產(chǎn)ECTS),且T=T ,因此有： TOC o 1-5 h z mmmmtr (TS)=trTS =trST=tr 匕 Y卜=tr Y(aY(aT =tr 丫口才丫(“)= 丫慳斤丫陽 .、1 1- 11m m、iZYTYMm.丫也TmYTY m從而 Q(T)=Ee 皓 =口 E(e( T ) = LE(e J，其中 Y Np ( 0,E ),o(m由對角定理，對于對稱陣T及正定陣工。必存在奇異陣B使

25、得:BB = Ip,4 III 0a，做變換X = BY,一I，-1L(即工=(B ) B ,工=bb ), b tb =:.:0 ,為常數(shù))。n.證明：由亞亞(工)，可知w=2 x8X。，其中x( )m,x()相互獨立，-1且 x(與Np(u(Ql：)0,F = 1,|,N,M =(uQ川,u(N ),N故 CWC = (CX(G)(CX )，而 CX(o) NP (Cu(QCZC),且 CX(|,CX(也相互獨立，則 CWCWm(n,CEC)。同理得：aWWp(n,aX) (a0 ,為常數(shù))?！瓣P于p階wishart分布密度函數(shù)有以下說明：(1)、W是p階對稱陣，(3)式是W的p(p+1)

26、/2個變量，(明1/|，*p，s22，lll產(chǎn)2P，川,8Pp )的密度函數(shù),而積分區(qū)域是使得 W0的這些變量 所構成的區(qū)域。(2)、為了使得p階wishart分布有密度函數(shù)，除了 工0,為什么還要求n p?這是因為p階矩陣W以概率1為正定矩陣的充要條件是n p o證：由于W = XX，X是nxp階矩陣，所以np時，W=XX= xixi之 xix,所以欲證W以概率1為正定 i 1i 1矩陣的充要條件是n2 p ,僅需要證明在n = p時，p(WA0) = 1。在n = p時，由于W=XX ,所以W不是正定夕!陣a X =00令x =(%，111,不)=1,HI, p0顯然G = xj,i, j

27、 =1川，p:兇=0是p2維歐式空間中一個沒有內點的集合。由此可見，p(|x=0)=0。從而有p(w0)=1.故W以概率1為正定矩陣的充要條件是n之p得到證明。五.非中心 wishart分布的定義非中心wishart分布是非中心X2分布的推廣。若x1，川，xn相互獨立,nXiN(Ni ,1)i,= m n,則稱Y= x：服從非中心*分布，其自由度為n。它的分 i 1n布除了與n有關外，還與a=叫2有關，a稱為非中心參數(shù)。非中心2分布記i 1n為72(n,a)。顯然，在Xi N(R,。2)時， (xi/。)2服從非中心72(n,a)分布，其 i 4nn中，a = (xi/仃)2。這時 Y = x

28、i2 =仃2X(n, a)。 i 1i4下面將非中心2分布推廣到非中心 wishart分布。若xi,|l|,xn相互獨立，nxi Np(邑i,Z), 0,i = 1UI n,則稱 W= xix 服從非中心 wishart 分布,顯然 Wi 1n的分布與p,n和工有關。下面證明其分布與H =工2NH)工/2有關。i 1令 yi =1/2 (x 巴 卜 Np(0,Ip),i=1,|,n,則因為=工,/2乂 +B,i =1用，n,所以 TOC o 1-5 h z n- nnn-W= P；=工/2 yiy；+ y （電/2 ）+ （工”）y； + H 廿, i 1_i 1i 1i 1其中：nz yiy

29、； Wp（n,Ip ）i 1n yi（H2）NpMp（0,HIp）i衽nz （工,）y；Np*（0,IP H ）i 1由此看來，W勺分布僅與p,n,工和H有關。三,Wishart分布設Xi,川，xn相互獨立同標準正態(tài)N(0,1)分布，令X = (Xi川，、)，則nY =XX = xi2 2(n)i 4其密度函數(shù)為:2n/2： n2n/2yy exp 一2 ,y 0,C n/2 L n212刀而在Xi, ill, Xn相互獨立同正態(tài)N(0,。2)分布時，Yo272(n),其密度函數(shù)為:_n n/2 dy |二 y exp , y 0, 2 二卜面將上述結果推廣至多元正態(tài)分布的情況。四.Wisha

30、rt分布的定義假設YC,Yf ,Y(m而互獨立,m其中：I0 , Y =(YC)Y(2,Y(m)pxm , U =YY=Z Y(aY(a),則稱隨機陣 U 服 1從自由度為m ,非中心參數(shù)為M = (u，,u,u(m)p父m=E(Y )的非中心wishart分布，記為uWp(m,1; M卜特別地，當M =(0,0,.,0)時，則稱之為中心 wishart分布，記為：uWp(m,I),其概率密度為: TOC o 1-5 h z 1N _P _L_1 1口 W F exp .汽苗 l,W 0np p in. p i n a )l 2Jf W,三二22 二 n p -1 三 2| .：:=0.21,

31、其它其中W=(aj 2Mp為對稱陣，是隨機矩陣U的觀測值矩陣。三.Wishart分布的特征函數(shù)定理：如果SWp(m,E),(工0已蘊含在W分布的定義中)，則Q(T)=Ip-2打，其中T=(% )pMp為實變元對稱陣。一m證明：因為S Wp(m,工)，所以S可表示為f = Y)Y),其中YC,YQ.,Y(m助立同分布與Np(0,I),I0o有隨機矩陣特征函數(shù)的定義可知久(T戶eHZtS),且T=T ,因此有：tr (TS)=trTS =trST=tryBYV)%：4= tr YYT =tr yRTyRLz yPJtyR)從而 s T ：,EmiY種網(wǎng)e於m=口 e ) = ?1iY TYLE e

32、，其中 Y Np(0,E),由對角定理，對于對稱陣T及正定陣工,，必存在奇異陣B使得:Bi-B-Ip,1，(即工=(B )B，E=BB , BTB =a1III，做變換X = B/Y,III反之Y = BX , 則：11 JX Np 0,B 三(B )所以 X Np(0,I)o 記 X =(Xi,X2,III,Xp )22則有 Xi,IH,XpWN1(0,1),故有 XkXi,K=1，P.從而EiY TY el iX B TBX=E e一 i之 九X2=E e i-1-2=.1 - 2i , k = k=1Ip2認1一2而I p -2i九p_ 1_=BE B -2iBTBB|W -2iT B

33、=非-2iT =|IP 2iT 工因此有久(T )= 1P 2iT工二m反之，若是對稱陣S的特征函數(shù)Q(T )=|Ip-2iT1p2 ,則$陣舊,工)。四.Wishart分布的性質性質1:設總體X 為Np(u,工),則樣本離差陣S服從自由度為n-1的wishart分布，即:n-S Xi - X ! Xi -X:Wp n-1,i_證明：S = ；Xi X I. Xi -X= XHX，且 H = I -1II ,由 H2 = H 和nrk (H ) = n -1 ,由定理：X為N p (0,工)的n父p階數(shù)據(jù)陣，rk (A )= r , A為n父n對稱陣，且A2 = A ,則 XAXWP(r,工)

34、，則 XHX (n1,工)。性質2:(可加性)設WWP (niE )WZ 2WP(n ),且Wi,W2相互獨立，則Wj+WWp(n+n ,2 )。證：(用特征函數(shù))由WWPSi,工),W2WWPS2,工)，可知其特征函數(shù)分別 為mim2邛i(T尸院-2氏口氣&(丁尸Ip -2團廣，又由WW相互獨立，可推之W, + W2 mj+mi的特征函數(shù)為 巴T )=Q(T )中2(T )=|p2iET 一丁，由定理 1之逆可知，W+W2Wp(n#n21)成立。性質3:設亞四(工)，對任意mxp階常數(shù)矩陣C,有CWC Wm(n,CZC),特別的有，aWWp(n,a工)(a0 ,為常數(shù))。N.證明：S WWP

35、(n,Z),可知W= XX(8),其中Xf川|,X(N)相互獨立,=i且 X。Np(u付工戶0,”1，川,N,M =(u(|,u(N),N故 CWC =E (CXNCX),而CX(* Np(Cu(/CEC),且 cxC川,CX (N 也相互獨立，則 CWCWm(n,CIC )o同理得：aWWP(n,a1) (a0 ,為常數(shù))。“關于p階wishart分布密度函數(shù)有以下說明：(1)、W是p階對稱陣，(3)式是W的p(p+1)/2個變量，(明1，川明p,外“產(chǎn)2p,川產(chǎn)pp)的密度函數(shù),而積分區(qū)域是使得 W0的這些變量 所構成的區(qū)域。(2)、為了使得p階wishart分布有密度函數(shù)，除了 工0,為

36、什么還要求n之p?這是因為p階矩陣W以概率1為正定矩陣的充要條件是n至p。證：由于W = XX, X是nMp階矩陣，所以n0) = 1。在n = p時，由于W=XX，所以W不是正定貨!陣a X =0。令 X =(XiJH，Xip),i =1,川，p。顯然 G = xj,i, j =1川，p：X =0是 p2 維歐式空間中一個沒有內點的集合。由此可見， p(|x=0)=0。從而有p(w0)=1.故W以概率1為正定矩陣的充要條件是n之p得到證明。五.非中心 wishart分布的定義非中心wishart分布是非中心”分布的推廣。若為川，4相互獨立，nxiN得，1)i,= HI n,則，稱Y= x；服

37、從非中心？2分布，其自由度為n。它的分 i 1n布除了與n有關外，還與a=干有關，a稱為非中心參數(shù)。非中心？2分布記 i 1n為爐(n,a)。顯然，在xi N(%。2)時，工(xi/。)2服從非中心72(n,a)分布，其 i 1nn中，a =S (xi /)2 o 這時 Y = x2 =。2/2(n, a)。 i =1i=1下面將非中心？2分布推廣到非中心 wishart分布。若、,川昌 相互獨立，nxi Np(iJ)J 0,i =111 n,則稱 W=Z xix服從非中心 wishart 分布,顯然 W i 1n的分布與p,n和工有關。下面證明其分布與H =工”/2以3)工/2有關。 i 1

38、令% =力/2(為一片卜Np(0,Ip),i=1JU,n,則因為=藥 W,i =1川，n,所以 TOC o 1-5 h z n- nnn-/2 | 一 J /2,./2 1/2W=z XiXi =x_ E YiYi +Z Yi)十 (工H +H 工一，i 1_i 4i 4i 4其中： n Z YiYi Wp(n,Ip )i 4 nZ Yi(NiE/2)NpMp(0,HIp)i 4 n工(工/29)YiNpMp(0,Ip H )4由此看來，W勺分布僅與p,n,工和H有關。Hotelling T2 分布回顧t分布的定義。假設變量X與Y相互獨立，X N(0,1),Y ?2(n),則X t =f= t

39、(n)(1),Y/n稱變量t服從自由度為n的t分布。顯然，若X N(0,1),Y ”(n),則t仍然服從 自由度為n的t分布。事實上，所謂的將t分布推廣到多元正態(tài)分布的場合并不是直接將t進行推廣，而是將t2進行推廣。t2服從F分布X2 t = nF (1,n)。Y下面將t2推廣到多元正態(tài)分布的場合。. Hotelling T2分布的定義定義：設*(0,1),隨機陣WWP(n,工)(工0,n AP),且X與W相互獨立,則稱統(tǒng)計量T2 = nX WX服從自由度為n的(中心)Hotelling T2分布，記為T2T2(P,n)0由于所以T2的分布與工無關。一般地，若XNP（N，工），則稱統(tǒng)計量T2

40、=nXW,X的分布為非中心Hotelling T2分布，記為T 2T 2（P, n, N ）。.關于（中心）Hotelling T2分布的一些性質：性質1:設X,|,X（n）是總體Np（代工）,工A0,n p的隨機樣本，則統(tǒng)計量T2 =n（n -1）（X _.）S（X -四）T2（p,n-1 .證明：因為XNP 匕11， p,則2口，L=3(nXSX)F(p,n_pQ),其中 S=nNN。 p n -1 p補充書本以外的一些性質如下: 由于X與W相互獨立，所以在X給定的條件下，W條件分布仍為WWp(n,I), 則丫 =工 的條件分布為72(n_p+l)。XW,X由于這個條件分布與給定的 X沒有

41、關系，所以Y與X相互獨立，并且Y的(無 條件)分布仍為2(n-p+1)。由于XNp(0,),根據(jù)多元正態(tài)分布的性質知，XX ?2(p)。因為所以有性質(1)(2)2(p)2(n - p 1)其中，分子與分母這兩個？2分布相互獨立 性質(1)說明XW/X服從Z(p/2, (n- p+ 1)/2分布，從而(1)式可知,Hotelling T2(P,n)分布可轉化為Z分布1 2 d -T2(P, n)=n2(p)p n - p 1%，).由(1),有 這說明Hotelling T2(P, n)分布可轉化為F分布。性質(2) F ( p, n - p 1)(4)n -p 1T2(P n)1IF pnp

42、 2(n -p 1)/(n -p 1)顯然，p=1時，(4)就化為(1)式由性質1導出性質2,把Hotelling T 2的分布轉化為F分布。性質(1)在把Hotelling T2的分布轉化為F分布的過程中起著關鍵作用，所以除了記住(4)式外，還有必要記住(2), (3)式。.關于非中心Hotelling T2分布的定義與性質嚴格 的說，在X與W相互獨立，XNp(0,E), WWp(n,E)時，T2 =nX W,X的分布是中心的Hotelling T2分布。如果XNp(0,工)，則稱T2的 分布是非中心Hotelling T2分布。由于所以t2 =nX WX的分布與6 =工/*無關。而在6 =

43、0時，非中心Hotelling T2分布就是中心的Hotelling T2分布T2 T2( P,n卜與(2)式 (4)式相類似，有在X與W相互獨立，XNp(0,1),WWP(n,工)時， d 2XW-X = 一,2一(p,a), a=65=邛，(5)2(n - p 1)其中，分子與分母這兩個 爐分布相互獨立，分子的”(p,a)是自由度為p的非中 心爐分布，其非中心參數(shù)為a,由(5)式可以看出非中心T2 = nXW,X的分布除了與p有關外，還僅與a=$5=N,N有關。為此，人們將非中心Hotelling T2分布記為T2 T2 (P,n, a )，在a = 0時，T 2(P,n,0價布，就是中心

44、的Hotelling T2分 布。:2(p,a)2(n p 1)(6)非中心Hotelling T2分布與非中心Z分布 1 2T (P,n,a) n(3)非中心Hotelling T2分布與非中心F分布n-p 1_2dT (P,n,a)= np而章器JFgn-pFa)(5)式與(7)式的證明與(2)式與(4)式的證明類似下面討論如何導出非中心Hotelling T2分布的密度函數(shù)。由(7)式知，由非中心F分布的密度函數(shù)可以得到非中心 Hotelling T2分布的密度函數(shù)。同樣地，(6) 式說明由非中心Z分布的密度函數(shù)也可以得到非中心 Hotelling T2分布的密度函 數(shù)?？紤]到非中心Z分

45、布的密度函數(shù)容易記住，由它得到非中心 Hotelling T2分 布的密度函數(shù)的計算過程比非中心 F分布的計算過程更為簡單，所以下面首先介 紹一下非中心Z分布的密度函數(shù)，然后導出非中心Hotelling T2分布的密度函數(shù)。根據(jù)非中心”分布的密度函數(shù)，引入服從泊松分布的變量中后，非中心X2分 布變量y可以理解成，在給定中后y的條件分布為中心72分布。因而由(6)式知，若令 z Z(p / 2,(n - p +1)/ 2,a),則在引入服從泊松分布P(a/ 2)的變量中后，變量z的 分布可以理解為，在給定 中后z的條件分布為中心的Z(p+2)/2,(n-p+1)/2) 分布，所以非中心Z(p/2

46、,(n-p+1)/2,a)分布的密度函數(shù)為從而根據(jù)(6)式，可由非中心Z(p/2,(n-p+1)/2,a)分布密度函數(shù)得到非中心T2(P,n,a汾布函數(shù)為(T2. ) _1 ； (a/2)k .：(n 2k 1)/2)(T2 / n)z(p 約2/P ;ank$ k! ,- (p 2k)/2)-(n -p 1)/2) (1 T2 / n)(n 2k 1)/2在(8)式中取a=0,即得到中心T2(P,n )分布函數(shù)為p(T2)=:(n 1)/2)(T2/n)zp/2-(p/2)- (n - p 1)/2) (1 T2/n)(n 1)/2此外，中心T2 (P,n )分布的密度函數(shù)也可以有中心 Z(

47、p/2,(n-p+1)/2)分布密度函數(shù)導出。知道中心Z(%P)分布的密度函數(shù)為 從而根據(jù)(3)式，就可以得到中心T2(P,n)分布函數(shù)，即(9)式. 一元統(tǒng)計分布與多元統(tǒng)計分布的關系示意圖回歸方程的顯著性檢驗F 檢驗-、一元回歸方程的顯著性檢驗(F檢驗)當我們得到一個實際問題的經(jīng)驗回歸方程y =久+冏x ,還不能用它作分析和預測，因為y = P0+P1x是否真正描述了變量y與x之間的統(tǒng)計規(guī)律，還需 要運用統(tǒng)計方法對回歸方程進行檢驗。 在對回歸方程進行檢驗時，通常需要 進行正態(tài)性假設與N(0,。2),以下的內容若無特別聲明，都是在此正態(tài)性 假設下進行的。下面我們重點介紹 F檢驗法。(1)分解式

48、的引入F檢驗是根據(jù)平方和分解式，直接從回歸效果檢驗回歸方程的顯著性。 平 方分解式是 TOC o 1-5 h z nn_ n工(x -y)2 = (yi -y)2 + (y - yj2(1)i 1i 1i 1n_n_其中，. (yi - y)2稱為總平方和，簡記為SST或S總或Lyy。 (yi - y)2稱 i 1i T為回歸平方和，簡記為SSR或S回,反應了 x對y的線性影響，稱為回歸平n方或回歸貢獻。（y （yi yi）2稱為殘差平方和，簡記為SSE或鼠，其本質 i 1是估計誤差的平方和，這部分反應了這組實測值 y扣除了 x對y的線性影(2)響后剩下的變異。因而平方和分解式可以SST=SS

49、R SSE（2）分解式的證明下面對上述分解式給出證明 TOC o 1-5 h z n_下面只需證明 (yi - yi)(yi -1) = 0即可i 1又因為，nn其中 e=0 , Z 0(久 +1為)=01i 1nnn所以 Z (yi-y)2= (yi-y)2 + (yi - yi)2 分解式可證。i 1i 1i 1（3） F檢驗根據(jù)方差分析的原理，判斷回歸貢獻是否有意義可以用回歸方差分析進行 檢驗。SST中，能夠由自變量解釋的部分為 SSR,不能由自變量解釋的部分為 SSE。這樣，回歸平方和SSRffi大，回歸的效果越好。又總體變異的自由度為n-1, 自變量只有一個，所以回歸自由度為1,誤差

50、自由度為n-2,構造F統(tǒng)計量如下，(2)l SSR/1F 二SSE/(n -2)在正態(tài)假設下，當原假設H0：Pi=0成立時，F(xiàn)服從自由度為（1,n-2）的F分布 當F值大于臨界值FJIm2）時，拒絕H。，說明回歸方程顯著，x與y有顯著的線性關系。也可以根據(jù)P值做檢驗，具體檢驗過程可以放在方差分析表中進行, 如表1所小。表1 一元線性回歸方差分析表方差來源自由度平方和F值P值回歸PSSRSSR/1P(F F值)殘差n-2SSESSE/(n-2)總和n-1SST=P（F統(tǒng)計量的具體證明在多元線性回歸模型中給出。）多元回歸方程的顯著性檢驗（F檢驗）設隨機變量y與一般變量x1,x21|, xp的線性回

51、歸模型為y=P0+P1X1+|+PpXp + w其中，久，久川，Pp是p +1個未知參數(shù)，P。稱為回歸常數(shù)，月川I，耳稱為回歸系數(shù)。y稱為因變量，而,x2，川，xp是p個可以精確 ，、一一 、,、E(;) =0var(；)=；：- TOC o 1-5 h z 測量并可控制的一般變量，稱為自變量。君是隨機誤差，一般假定|()2稱E(y) = P0 + PiXi +山+PpXp為理論回歸方程。對一個實際問題，如果我們獲得n組觀測數(shù)據(jù)(xM,Xi2,|,Xip；yi)(i =1,2,|,n),則Vi =20 , iXii |l| , IpXip；iIHIIIHIIIIV Mm |H pXnp ；線性

52、回歸模型可表示為產(chǎn)二 ”lX21+川spf2寫成矩陣形式為y 二 X ：；一% 一1 Xu HI Xip邛0 飛甘山y(tǒng)2i X2i III &p r &其中 y=(,x=,P=r，名=卜 f,*rfJn -J Xni HI %p -p -/_對多元線性回歸方程的顯著性檢驗就是要看自變量xi,x2,m,xp從整體上對隨機變量y是否有明顯的影響。為此提出原假設如果H。被接受，則表示隨機變量y與xi,x2，川，Xp之間的關系由線性回歸模型表示不合適。類似一元線性回歸檢驗，為了建立對H。進行檢驗的F統(tǒng)計量，仍然利用總離差平方和的分解式，即簡寫成 SST-SSR SSE此分解式的證明只需利用即殘差的平均

53、值為0,殘差對每個自變量的加權平均為 0。用矩陣表示為xe = 0 具體參照一元線性回歸的證明。若eN(0,仃2 1),則總離旁nSST = E (yi -y)2 =1 Y -iY 12 =| Y -Y |2 +| Y?-Yi |2 。若再有條件 Pi = 0 , i=i,2,lll,p滿足。則SSR, SSE獨立，它們與。2的商分別服從？2(p)和 lpF。從而 SriW)。證明：因為Z=H -H Y =(I H (XP + 8)=Xp X(XXfXXP +(I H K = (I H所以X，(I -H另=(X XX(XXX 3=0,而X第一列全是1,所以另一方面，容易看出因為=|y -Y?|

54、2 +y_Yi2 +2Y?&_2Yi 監(jiān)所以其余部分證明見Seber(1976)。附爐分布、F分布的定義定理2.4.4 (爐分布)n若n相互獨立的隨機變量 二|,二，均服從正態(tài)N(0,1),則？2=的密度函kT數(shù)為稱為自由度為n的N2密度函數(shù)。定理2.4.6 ( F分布)2設%，蜉為獨立的隨機變量，分別服從具有自由度m及n的？2分布。令之=球，n2n=-,貝fj 7的密度函數(shù)為 n稱f,(x)為自由度為m及n的F分布的密度函數(shù)。Wilks分布的定義及性質本文包括Wilks分布的定義、密度函數(shù)、分布函數(shù)的積分表達式和漸進展開 式、特征函數(shù)的積分形式以及相關性質及證明?；仡橣分布的定義，假設變量X

55、和Y相互獨立，則X X2(n),Y X2(m),則X/nY/m F(n,m),(1)稱變量F服從分子自由度為n,分母自由度為m的F分布，簡稱F服從自由度為n和m的F分布.顯然，若X 仃2 X2(n),Y 仃2 X2(m),則F仍服從分子自由度為n ,分母自由度為m的F分布.F分布和P分布可以互相轉化.令(2)則B P(n/2,m/2).事實上，所謂將F分布推廣到多元正態(tài)分布的場合并不是直接將他進行推廣，而是將P分布進行推廣.一、Wilks分布的定義:假設由與川2相互獨立,W Wp(n,Z),W2Wp(m,Z),其中 0,n 之 p .記W1Wi W2(3)稱A的分布為Wilks分布.顯然，0W

56、AM1.除了工 0 ,為什么還要求n之p ?這是為了使得A的分子和分母為正的概率都等于1.而m和p之間，可能m之p ,也可能m 0,級數(shù)-an nrn=0 n!絕對收斂，則X是唯一以為n(n =0,1,2,)階矩的變量.顯然，若變量X有界，則(6)式的級數(shù)必絕對收斂，故 X就被它的各階 矩唯一確定。已 知性質1中的Ap,n,m和B1B2Bp都是有 界的，即滿足：0 MAp,n,m M1QMB1B2Bp 時，可以由(WhW2)的聯(lián)合密度求得Ap,n,m的h階矩.而在m0,n 之p ,則 xix Wp(m,),i 1W A mP,n,m., . 1W + xixii 1(10)為簡化計算，不妨假設

57、Z=Ip.將分一下3個步驟計算Ap,n,m的矩:(1)令x =(xi，x2xn).首先由(W,X)的聯(lián)合密度求得(Ui,U2)的聯(lián)合密 度，其中，引入變量(Ui,U2)的原因就在于W Ui XXA =W+XX UiIp -U2U2(2)然后由(Ui，U2)的聯(lián)合密度，導出5的密度函數(shù).(3)最后由U2的密度函數(shù)計算A =| Ip -U2U2 |的h階矩.具體說明如下：(D (w,x)的聯(lián)合密度為W(nf )/2 exp _ltr(W) exp-tr(XX)2np/2- p(n/2)(2二嚴2,W 0(ii)(為了由(W,x)的聯(lián)合密度得到(Ui,U2)的聯(lián)合密度，關鍵在于計算變換(W,X )T

58、 (Ui,U2)的雅克比行列式.由于變換(Ui,U2)T (W,X )是 這個變換的雅克比行列式為這相當于引入中間變量(Ui，X)，使得,mo mm/2一穴U2)/4X)=5=5線性變換的雅克比行列式i i i i ，所以由(W,x)的聯(lián)合密度得到(Ui,U2)的聯(lián)合密度為U1（n：；m _p）/2,1、exp_2tW) Ip -U2U (n3)/22(13)(n.m)p/2mp/22- p (n / 2) T,Ui 0（2）由（Ui，U2）的聯(lián)合密度知Ui與U2相互獨立.顯然,Ui =W+X X Wp(n+m, Ip), U1的密度函數(shù)為U1(n m_p)/21exp - 2tr (U1)2

59、(m n)p/2: p(n m)/2)(14)故U2的密度函數(shù)為p(n m)/2):p(n/2)二 mp/2Ip -U2U2(np -1)/2(15)三、Wilks分布的密度函數(shù)推導：由概率論的知識知：若（U）的聯(lián)合密度函數(shù)為 匕巴區(qū)心）則已設0）的密度函數(shù)為:f 1 (x)-72COf 1, 2(X1X，X2) |X2 dX2(16)特別的，當匕，3獨立時，有f 1 (x) = f C1X) f 2(X2) |X2 dX2(17)已知W的密度函數(shù)為：/2 |W |(n4)/2 exp-tr(W)/2J.= 1- (n/2) ,aw11、ke-()2(np)/2 二 p(p/41；(n -i

60、1)/2) k k! (n/2 k) 4(18)i 1根據(jù)公式(11) , (14), Ip -U2U2(3)由于A =E(A)h =i Ip -U2U2（17）, （18）可以得到 Wilks的密度公式。,所以A的h階矩為- p(n m)/2):p(n/2)二 mp/2Ip -U2U2(n-pf/2dU】p(n m)/2)： p(n 2h)/2)p(n/2)】p(n 2h m)/2) TOC o 1-5 h z pp二二(n m-i 1)/2)二二(n 2h-i 1)/2)(19)i 4i 4pPH 】(n -i 1)/2)】(n 2h m-i 1)/2)i 4i 4比較(9)式與(19)式