案例1-幼兒園小女孩學(xué)“集合”

1、 案例 25 幼兒園小女孩學(xué)“集合”（新數(shù)學(xué)運動強(qiáng)調(diào)應(yīng)當(dāng)在中小學(xué)甚至幼兒園及早地引入“集合”概念，以下是在這一背景下發(fā)生的一個案例 ）一個數(shù)學(xué)家的女兒由幼兒園放學(xué)回到了家中， 父親問她今天學(xué)到了什么？女兒高興地回答道： “我們今天學(xué)了集合 ” 數(shù)學(xué)家想道： “對于這樣一個高度抽象的概念來說，女兒的年齡實在太小了 ”因此，他關(guān)切地問道： “你懂嗎？”女兒肯定地回答： “懂！ 一點也不難 ” 這樣抽象的概念難道會這樣容易嗎？聽了女兒的回答，作為數(shù)學(xué)家的父親還是放心不下，因此，他又追問道： “你們的教師是怎樣教的？”女兒說： “女教師先讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合； 其次

2、， 她又讓所有的女孩子站起來， 并說這就是女孩子的集合；接下來，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，等等最后，教師問大家： 是否都懂了？ 她得到了肯定的答復(fù) ” 這樣的教學(xué)法似乎也沒有什么問題，因此，父親就以如下的問題作為最后的檢驗： “那么，我們能否以世界上所有的匙子或土豆組成一個集合呢？”遲疑了一會，女兒最終回答道： “不行！除非它們都能站起來 ” （轉(zhuǎn)引自鄭毓信數(shù)學(xué)教育哲學(xué) P183）聽完這個敘述之后，我們要問：（ 1）你最突出的感受是什么？說出你最想說的話來為了把思考引向深入，我們還要繼續(xù)問：（ 2）課例說了些什么事實？這些事實說明了什么道理？為了使說明道理的討論更加集中，我們再配上

3、3 道重點思考題：重點思考題 “女教師”是怎樣組織 “集合” 教學(xué)的？為什么教師所傳授的知識不是 “女兒”所回答的？幼兒園里的“男孩子集合” 、 “女孩子集合” 、 “白孩子集合” 、 “黑 孩子集合”與作為原始數(shù)學(xué)概念的集合有什么區(qū)別？“女兒”為什么說集合學(xué)習(xí)“一點也不難”？又為什么要強(qiáng)調(diào)匙子和土豆都“站起來”？這到底是“教師”的教學(xué)內(nèi)容問題，還是“學(xué)生”的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)問題，抑或是“數(shù)學(xué)家”的評估方式問題？如何認(rèn)識“女兒”學(xué)習(xí)中的錯誤？世界上所有的匙子或土豆 “組成的合” 與“幼兒園里部分孩子 （男、 女、白、黑） ”組成的集合有無不同？對于幼兒園孩子認(rèn)識集合概念而言，是“女教師” 的教學(xué)不對頭

4、還是 “數(shù)學(xué)家” 的提問不恰當(dāng)？幼兒園能不能滲透集合概念？這個討論的一個目的，是想滲透建構(gòu)主義的觀點下面是我們的初步總結(jié)對課例的分析這個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的故事， 向我們展示了包含有教師、學(xué)生和數(shù)學(xué)家的行為、 思想、情感在內(nèi)的生動描述 （ 1）女孩興高采烈地回家，手舞足蹈地描述學(xué)習(xí)的情況， 天真而坦誠地回答父親關(guān)于 “土豆組成集合” 的問題， 在其可笑答案的背后，有引發(fā)沉重思考的懸念 其中給我的最突出的感受是： 學(xué)生滿以為已經(jīng)學(xué)到的東西， 并非教師所努力傳播的東西 整個過程采用了倒敘的方式， 描寫了 3 個主要情節(jié)：教師教學(xué)的情節(jié)；學(xué)生學(xué)習(xí)的情節(jié)（與教師的教并列進(jìn)行） ；數(shù)學(xué)家評估的情節(jié) 分為兩個階段，

5、 首先是詢問教與學(xué)的過程， 然后用一道題目來檢查教學(xué)效果于是，在這個小小的課例里，就涉及到教的問題、學(xué)的問題、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)評估等問題出于提煉建構(gòu)主義觀點的目的，我們提出 4 點看法（ 1）教師傳授什么，學(xué)生就接受什么的傳統(tǒng)認(rèn)識并不可靠女教師根據(jù)集合概念的基本特性， 就近利用課堂情景努力進(jìn)行教學(xué)設(shè)計， 并且結(jié)合幼兒的特點，運用直觀性（一眼看清） 、活動性（學(xué)生扮演元素、組成集合）的教學(xué)原則，積極組織教學(xué)，這個方向是值得肯定的；其內(nèi)容限于集合實例的滲透也是可行的，兒童偏愛活動、喜歡參與，從單個活動看，讓有關(guān)人員站起來不但有助于集合的“呈現(xiàn)” ，而且也能產(chǎn)生趣味性、新奇感，并積累數(shù)學(xué)活動的體驗但是

6、，四次叫學(xué)生“站起來” ，造成了非本質(zhì)屬性的泛化，這說明，教師傳授知識時，學(xué)生不是被動接受的，他們對知識信息有一個選擇、整合和“意義賦予” 的過程， 認(rèn)為教師傳授什么學(xué)生就接受什么的傳統(tǒng)認(rèn)識并不可靠， 這應(yīng)該引發(fā)我們對教學(xué)觀念更新的思考（ 2）學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的錯誤認(rèn)識有其內(nèi)在的合理性在學(xué)習(xí)“集合” （名詞）之前，兒童已經(jīng)有了“聽到哨音，到操場排隊集合 （動詞） ”的經(jīng)驗，也有把一群人看成一個整體（小組或班級）的已有知識，在女教師的設(shè)計下，又見到“站起來的人組成集合” ，這兩者的相互作用，是兒童根據(jù)原有知識經(jīng)驗， 建構(gòu)新知識的過程， 于是， 新舊知識之間的共同點： “人” ，“聚集到一塊” 等

7、就很自然地成為 “集合” 概念的必要因素與必要形式， 面對 “土豆”組成的集合， “女兒”首先遲疑了一下，一閃念之間可能出現(xiàn)很多否定性的因素：土豆不是人！土豆不能站起來！土豆不會在幼兒園里！全世界的土豆既看不全又?jǐn)?shù)不清在這些可能的否定理由中，構(gòu)成反差最大、最明顯的是：當(dāng)初孩子們都站起來了， 所以， “女兒” 最終說 “不行！ 除非它們都站起來 ” 如果說，這是一個錯誤的話， 那確實有其內(nèi)在的合理性， 確實是一個可愛的錯誤， 應(yīng)該說，在課堂上沒有學(xué)生的錯誤，更沒有錯誤的學(xué)生另外， 女兒的年齡太小， 還沒有足夠的非形式化數(shù)學(xué)知識去消化抽象的集合，從本質(zhì)上認(rèn)識集合概念是不可能的， 只能是一些具體實例

8、的滲透， 為真正學(xué)習(xí)集合概念作些前期準(zhǔn)備， 因此， 與其說女兒要土豆站起來是一個錯誤， 不如說女教師的教學(xué)設(shè)計還有缺陷，不如說數(shù)學(xué)家的提問本身并不恰當(dāng)（ 3）用數(shù)學(xué)家的思維來要求學(xué)生并不恰當(dāng)在這個課例中，出現(xiàn)了 3 種思維方式，即數(shù)學(xué)家（爸爸）的思維，教師（女教師）的思維，學(xué)生（女兒）的思維 “數(shù)學(xué)家”與“學(xué)生”在思維上存在巨大差距（成人與兒童、數(shù)學(xué)與常識、抽象模式與具體實例） ，教師責(zé)任就是要進(jìn)行教學(xué)法的加工， 使數(shù)學(xué)成為兒童可以接受的東西， 使得新知識能夠在原有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上建立起來，就是說，數(shù)學(xué)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”需要轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖逃螒B(tài)” ，數(shù)學(xué)教師不同于數(shù)學(xué)家的一個方面就在于， 我們不是要創(chuàng)

9、造表示概念， 而是去創(chuàng)造概念的理解看來，女教師理解這一點，而“數(shù)學(xué)家”對數(shù)學(xué)教育的理解未必就比女教師了解得更多，這表現(xiàn)為：女教師只給“女兒”提供幾個由“人”組成的具體集合的實例；而數(shù)學(xué)家卻從集合的實質(zhì)屬性出發(fā)提出問題，他的檢測起點太高，超出了“女兒”的年齡與認(rèn)識水平，也超出了教師的教學(xué)范圍“全世界”的匙子或土豆，與“女兒”所認(rèn)識的“集合”大相徑庭，不是由“人”組成的、也不是在“幼兒園”的范圍內(nèi)，還是“一眼不能看清” 、 “多得數(shù)也數(shù)不完”的（樸素想象的無窮） ：這一切，對第一次接觸“集合實例”的兒童來說，是吃不消的“匙子或土豆”隱含著“并集”的邏輯結(jié)構(gòu)，既然“女兒”的集合概念尚未過關(guān)， “并集

10、”當(dāng)然也就更費解了對女教師設(shè)計上的缺陷， “數(shù)學(xué)家”沒有看出來，反認(rèn)為“這樣的教學(xué)法似乎也沒有什么問題” 這種種情況表明，數(shù)學(xué)教育是一門獨立的專業(yè)，即使“數(shù)學(xué)家”也并非天然了解數(shù)學(xué)教育， 他們往往更注重于數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)方面， 而對數(shù)學(xué)教育的教育方面了解不夠， 誠然， 缺少數(shù)學(xué)知識就沒有資格成為數(shù)學(xué)教師， 但只有數(shù)學(xué)知識還不足以成為一個好的數(shù)學(xué)教師； 惟同時兼有數(shù)學(xué)專業(yè)知識、 數(shù)學(xué)教育理論與數(shù)學(xué)教學(xué)技能的人才有希望成為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師由于評估的不合適， 小女兒聰明可愛的一面被失敗可笑的一面掩蓋著， 很可能會給小女兒留下學(xué)數(shù)學(xué)的消極體驗 如果換一種提問方式或提問標(biāo)準(zhǔn)， 小女兒將會是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功者，

11、 也就是說， 多一把子可以多出一批人才 應(yīng)當(dāng)注意到，失敗是成功之母，成功更是成功之母（ 4）女教師教學(xué)設(shè)計的改進(jìn)意見女教師不可能給幼兒園的兒童傳授一個相對完整的集合概念， 這是完全合理的，對此，不應(yīng)該對教師求但在如何給兒童提供盡可能優(yōu)化的教學(xué)設(shè)計方面，確實還有值得研究的問題舉例應(yīng)避免非本質(zhì)屬性的泛化“人” 、 “站起來”、 “幼兒園里”等都是組成集合的非本質(zhì)屬性，一次又一次的重復(fù)尤其強(qiáng)化了“站起來”的動作如果讓坐著的學(xué)生也同時組成集合，就可以避免“站起來”的強(qiáng)化從“概念形成”的角度看，此處還沒有進(jìn)行到對共同屬性抽象出本質(zhì)屬性的階段，更應(yīng)通過“變式”來突出本質(zhì)屬性設(shè)計要能引起認(rèn)知沖突女教師所呈現(xiàn)

12、的例子都是幼兒園里看得見的有限集合， 都是具有相同 “性別”或相同“膚色”的人組成的特殊集合具有同一屬性的有限個人集中在一起，看成一個整體（小組或班組） ，兒童比較好認(rèn)識，不需要太多的思考，所以“女兒”說“一點也不難” ，這句話的另一層含義是，教學(xué)設(shè)計沒有引起學(xué)生更多的認(rèn)知沖突 如果讓男女孩子、 黑白孩子也組成集合， 讓幼兒園內(nèi)外的孩子也組成集合，讓孩子與桌子一齊組成集合等，那么，教學(xué)效果會有很大的不同 .反饋環(huán)節(jié)太粗糙教學(xué)不能沒有反饋環(huán)節(jié)，這一點“女教師”是明白的，但集體回答“是否都懂了？”分不清真懂假懂，也掩蓋了不出聲或“未明白”的聲音，這個簡單化的提問，相當(dāng)于醫(yī)生問來診的病人： “你有什么病？”用病人的自我診斷來代替醫(yī)生的診斷是不合適的， 如果讓學(xué)生去舉出集合的例子， 檢驗的情況會更真實一些， 更細(xì)致一些， 考慮到女教師所提供的例子不僅內(nèi)容單一， 而且類型上也只有正例、 沒有反例， 讓學(xué)生舉例議論就更有必要了， 學(xué)生說不定會舉出一些不構(gòu)成集合的例子來，使認(rèn)識過程更加完整建構(gòu)主義觀點：教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生真正的理解，而不是表面的理解，這樣，在課堂上教師通過“你們懂了嗎？”或“你們還有什么問題”來判斷學(xué)生是否真正理解就會簡單化了 （教育研究2002,