《柱、錐、臺(tái)和球的體積》教案

1、柱、錐、臺(tái)和球的體積教案教學(xué)目標(biāo)1、了解柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算方法。2、了解祖暅原理。3、棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的體積公式的應(yīng)用。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：棱柱、棱錐、和棱臺(tái)的體積公式的推導(dǎo)方法以及祖暅原理。難點(diǎn)：祖暅原理的理解及棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的體積公式的應(yīng)用。教學(xué)過程一、導(dǎo)入1、祖暅原理：祖暅（音gQng）,名祖暅之，是祖沖之的兒子，他的活動(dòng)時(shí)期大約在公元504526年。祖氏父子在數(shù)學(xué)和天文學(xué)上都有杰出的貢獻(xiàn)。祖暅的主要工作是修補(bǔ)編輯祖沖之的綴術(shù)。他推導(dǎo)球體積公式的方法非常巧妙。2、祖暅原理是推導(dǎo)柱、錐、臺(tái)和球體積公式的基礎(chǔ)和紐帶，原理中含有三個(gè)條件，條件一是兩個(gè)幾何體夾在兩個(gè)平行平面之間，條件二

2、是用平行于兩個(gè)平行平面的任何一平面可截得兩個(gè)平面，條件三是兩個(gè)截面的面積總相等，這三個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論不成立.這個(gè)原理是非常淺顯易懂的，例如取一摞紙張堆放在桌面上，將它們?nèi)缦聢D的右圖那樣改變一下形狀，這時(shí)高度沒有改變，每頁紙的面積也沒有改變，因而這摞紙的體積與變形前3、祖暅提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”，及“體積之比等于對(duì)應(yīng)截面積之比”，在這里是當(dāng)作公理使用提法“冪勢(shì)既同，則積不容異”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”（Cavalierisches,Prinzip）.卡瓦列利米蘭Milan（現(xiàn)意大利城市）人在他的名著連續(xù)不可分幾何中提出這一原理，這本書出版于1635年相等，都等于S,咼都等

3、于h,它們的下底面都在同一平面上.因?yàn)樗鼈兊纳系酌婧拖碌酌嫫叫?，并且高相等，所以它們的上底面都在和下底面平行的同一個(gè)平面內(nèi).用與底面平行的任意平面去截它們時(shí)，所得的截面面積都等于S,根據(jù)祖暅原理，它們的體積相等.由于長(zhǎng)方體的體積等于它的底面積和高的乘積，于是我們得到柱體的體積計(jì)算公式是V柱體=Sh.底面半徑是R，高為的圓柱體的體積的計(jì)算公式是S圓柱=nR2h.三、棱錐和圓錐的體積1如果一個(gè)錐體(棱錐、圓錐)的底面積是S,高是h,那么它的體積是V錐體=3Sh.1如果圓錐的底面半徑是R,高是，則它的體積是V圓錐=3nR2h.如何理解錐體體積的推導(dǎo)？在推導(dǎo)棱錐的體積公式時(shí)，是將三棱柱分為三個(gè)三棱錐，

4、這三個(gè)三棱錐變換它們的底面和頂點(diǎn)，可以得到它們兩兩之間等底面積、等高，因此它們的體積相等，都等于三棱柱體積的三分之一，在這個(gè)過程中一是運(yùn)用了等積轉(zhuǎn)換的方法，二是運(yùn)用了割補(bǔ)法，這些方法在今后解題時(shí)要靈活運(yùn)用.四、棱臺(tái)和圓臺(tái)的體積1V臺(tái)體=S)h;其中S、S分別為臺(tái)體上、下底面面積，h為臺(tái)體的高.1V圓臺(tái)二3n(r2+Rr+R2)h,其中r、R分別為圓臺(tái)的上、下底面的半徑，咼為h.五、球的體積球=扌兀R3，其中R為球的半徑.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式間的關(guān)系六、多面體體積的求法多面體體積的常用求法有：1直接法；2換底法；3分割法；4補(bǔ)體法.七、例子：(1)長(zhǎng)方體的三個(gè)面的面積分別為2、6和9，則長(zhǎng)方體的體積為A.7B.8C.346D.675(2)平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，在從B點(diǎn)出發(fā)的三條棱上分別取其中點(diǎn)E、F、G,則棱錐B-EFG的體積是平行六面體體積的C-24D.如果一個(gè)正四面體的體積為9dm3,貝康表面積S的值為A.18-73dm2B.18dm2C.1273dm2D.12dm2(4)如杲一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6,側(cè)棱長(zhǎng)為JI3,那么這個(gè)三棱錐的體積是B.9(5)設(shè)正三棱柱的外接圓柱體體積