數(shù)學建模實驗報告插值

1、 數(shù)學模型實驗報告插值 專業(yè)： 姓名： 李 學號： 姓名： 劉 學號： 姓名： 汪 學號： 數(shù)學模型實驗報告（插值）實驗目的：1、了解插值的基本內(nèi)容。2、掌握用數(shù)學軟件包求解插值問題。二、實驗內(nèi)容：（一）一維插值 一、插值的定義 已知 n+1個節(jié)點其中 互不相同，不妨設求任一插值點 處的插值構造一個(相對簡單的)函數(shù) 通過全部節(jié)點, 即 再用 計算插值，即二、插值的方法拉格朗日(Lagrange)插值 已知函數(shù)f(x)在n+1個點x0,x1,xn處的函數(shù)值為 y0,y1,yn 。求一n次多項式函數(shù)Pn(x)，使其滿足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n. 解決此問題的拉格朗日插值多項式公式如

2、下其中Li(x) 為n次多項式：稱為拉格朗日插值基函數(shù)。特別地:兩點一次(線性)插值多項式:三點二次(拋物)插值多項式:例 采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節(jié)點個數(shù)n+1，其中n為插值多項式的次數(shù)，當n分別取2,4,6,8,10時，繪出插值結果圖形. 拉格朗日多項式插值的這種振蕩現(xiàn)象叫 Runge現(xiàn)象解：編寫M文件程序如下：m=101;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;plot(x,z,r,x,y,LineWidth,1.5),gtext(y=1/(1+x2),pause n=3;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=la

3、gr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y1,b),gtext(n=2),pause,hold off n=5;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y2=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y2,b:),gtext(n=4),pause,hold offn=7;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y3=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y3,r),gtext(n=6),pause,hold off n=9;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y4

4、=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y4,r:),gtext(n=8),pause,hold off n=11;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y5=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y5,m),gtext(n=10)分段線性插值計算量與n無關;n越大，誤差越小. 例用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差.在-6,6中平均選取5個點作插值在-6,6中平均選取11個點作插值在-6,6中平均選取21個點作插值在-6,6中平均選取41個點作插值解：編寫M文件程序如下：x=linspace(-6,6,100);y=1.

5、/(x.2+1);x1=linspace(-6,6,5);%第三個參數(shù)表示插值點的個數(shù)，可分別改為11，21，41y1=1./(x1.2+1);plot(x,y,x1,y1,x1,y1,o,LineWidth,1.5),gtext(n=4),運行結果如下圖： 結果分析：插值點越多越接近原函數(shù) 三次樣條插值比分段線性插值更光滑。 在數(shù)學上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。 光滑性的階次越高，則越光滑。是否存在較低次的分段多項式達到較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個很好的例子。g(x)為被插值函數(shù)。例 用三次樣條插值選取11個基點計算插值(y

6、ch)解：編寫M文件程序如下：x0=linspace(-5,5,11);y0=1./(1+x0.2);x=linspace(-5,5,100);y=interp1(x0,y0,x,spline);x1=linspace(-5,5,100);y1=1./(1+x1.2);plot(x1,y1,k,x0,y0,+,x,y,r);運行結果如右圖：用MATLAB作插值計算nearest ：最鄰近插值linear ： 線性插值； spline ： 三次樣條插值；cubic ： 立方插值。缺省時： 分段線性插值。用Matlab解插值問題 一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，method) y

7、i xi：處的插值結果x，y：插值節(jié)點 xi：被插值點method：插值方法注意：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不能夠超過x的范圍。 例：在1-12的11小時內(nèi)，每隔1小時測量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計每隔1/10小時的溫度值。解：編寫M文件程序如下：hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:)

8、 xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)運行結果如右圖：例: 已知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改變時的y值。 X035791112131415Y0解：編寫M文件程序如下：x0=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ;y0=0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ;x=0:0.1:15;y1=lagr1(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x);y3=interp1(x0,y0,x,spline);subplot(3,1,1)plot(x0,y0,k+,x,y1,r)gridtitle(lagra