自動控制原理課件自動化學院版本第二章

1、1第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2主要內(nèi)容2-1 控制系統(tǒng)微分方程的建立2-2 非線性微分方程的線性化2-3 傳遞函數(shù) (transfer function)2-4 動態(tài)結構圖(等效變換、 梅遜公式或信號流圖)2-5 系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)2-6 典型反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù)小結3傳遞函數(shù)（包括對參考輸入和對干擾的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)及誤差傳遞函數(shù)）的概念及其求取方法； 控制系統(tǒng)方框圖的構成和等效變換方法； 梅遜公式的應用； 開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的推導和計算。本章重點4系統(tǒng)的數(shù)學模型是描述系統(tǒng)變量（輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量）之間關系的數(shù)學表達式。分析和設計任何一個控制系統(tǒng)，首要任務是建立系統(tǒng)的數(shù)學模型

2、。例如對一個微分方程，若已知初值和輸入值，對微分方程求解，就可以得出輸出量的時域表達式,據(jù)此可對系統(tǒng)進行分析。概述5解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學定律列寫出變量間的數(shù)學表達式，并實驗驗證。如：牛頓定律 熱力學定律等實驗法：人為對系統(tǒng)或元件施加一定形式的測試信號（階躍信號、單位脈沖信號、正弦信號等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識出系統(tǒng)的數(shù)學模型。建立數(shù)學模型的方法分為解析法和實驗法解析方法適用于簡單、典型、常見的系統(tǒng)，而實驗方法適用于復雜、非常見的系統(tǒng)。實際上常常是把這兩種方法結合起來建立數(shù)學模型更為有效。6數(shù)學模型的幾種常用表示方式數(shù)學模型時域模型頻域模型方

3、框圖和信號流圖狀態(tài)空間模型微分方程差分方程傳遞函數(shù)脈沖過渡函數(shù)頻率特性函數(shù)狀態(tài)空間表達式線性系統(tǒng)：如果系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱其為線性系統(tǒng)。(疊加原理說明，兩個不同的作用函數(shù)同時作用于系統(tǒng)的響應，等于兩個作用函數(shù)單獨作用的響應之和。) 線性系統(tǒng)對幾個輸入量同時作用的響應可以一個一個地處理，然后對每一個輸入量響應的結果進行疊加。線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)：可以用線性定常（常系數(shù)）微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時間的函數(shù)，則這類系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。 宇宙飛船控制系統(tǒng)就是時變控制的一個例子（宇宙飛船的質量隨著燃料的消耗而變化）。 控制系統(tǒng)按照數(shù)學模型分類，可分為線性

4、和非線性系統(tǒng),定常和時變系統(tǒng)。8疊加原理疊加原理含有兩重含義，即可疊加性和均勻性（或叫齊次性）。例： 設線性微分方程式為對于線性系統(tǒng)，可采用疊加原理來分析系統(tǒng)若 時，方程有解 ，而 時，方程有解 ，分別代入上式且將兩式相加，則顯然有，當 時，必存在解為 ，即為可疊加性。9 上述結果表明，兩個外作用同時加于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應等于各個外作用單獨作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應之和，而且外作用增強若干倍，系統(tǒng)響應也增強若干倍，這就是疊加原理。若 時， 為實數(shù)，則方程解為 ，這就是齊次性。古典控制理論中，采用的是單輸入單輸出描述方法。主要是針對線性定常系統(tǒng)，對于非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，解決問題的能力是極其有限的。非線性

5、系統(tǒng)：如果不能應用疊加原理，則系統(tǒng)是非線性的。 下面是非線性系統(tǒng)的一些例子：11本章主要研究線性定常系統(tǒng)研究系統(tǒng)的輸入輸出間的動態(tài)關系微分方程是最直接的描述系統(tǒng)輸入輸出間關系的數(shù)學模型，傳遞函數(shù)和脈沖過渡函數(shù)等也是描述線性控制系統(tǒng)的重要模型本章研究建立系統(tǒng)微分方程的一般方法和步驟，介紹傳遞函數(shù)和脈沖過渡函數(shù)等動態(tài)模型。122-1控制系統(tǒng)微分方程的建立系統(tǒng)最基本的數(shù)學模型是它的微分方程.微分方程的編寫應根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過程中所遵循的物理定理來進行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學中的牛頓定理，熱力學中的熱力學定理等。由： ，代入得：這是一個線性定常二階微分方程。解：據(jù)基爾霍夫電路定理：

6、輸入輸出LRCi例2-1：寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程14基本步驟明確輸入、輸出量,并根據(jù)需要引進一些中間變量;分析各元件的工作原理，根據(jù)物理規(guī)律列寫系統(tǒng)各部分的微分方程;消去中間變量,建立輸入、輸出量的動態(tài)聯(lián)系,求出系統(tǒng)的微分方程;將微分方程整理成標準形式.15 (1)將與輸入量有關的各項寫在方程的右邊； 與輸出量有關的各項寫在方程的左邊。 (2)方程兩邊導數(shù)項均按降階排列。其一般形式為微分方程標準形式16例2-2 編寫電樞控制的他激直流電動機的微分方程式17(1)確定輸入量和輸出量。 取輸入量為電動機的電樞電壓 取輸出量為電動機的轉角(2) 列寫微分方程式。 電樞回路的微分方程式(基爾霍夫

7、電路定理)： 電動機電樞反電動勢與電樞角速度成正比(楞次定律)：根據(jù)剛體轉動的牛頓定律，得電樞力矩平衡微分方程式電動機的電磁轉矩M正比于電樞電流 ，即(安培定律)18（3）整理以上四式，消去中間變量并標準化，得電動機的動態(tài)微分方程式：一般， ，故上式簡化為：電機時間常數(shù)電機傳遞系數(shù)19RCuruci例2-3. 列寫如圖所示RC網(wǎng)絡的微分方程20解：由基爾霍夫定律得:式中: i為流經(jīng)電阻R和電容C的電流,消去中間變 量i,可得:令 （時間常數(shù)），則微分方程為一階線性定常微分方程：Curuci設有一彈簧質量 阻尼動力系統(tǒng)如圖所示，當外力F(t)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產(chǎn)生運動，試寫出外力F(t)與質量

8、塊的位移y(t)之間的動態(tài)方程。其中彈簧的彈性系數(shù)為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為f，質量塊的質量為m。例2.4 彈簧質量阻尼系統(tǒng)22解：分析質量塊m受力，有外力F,彈簧恢復力 Ky（t）阻尼力根據(jù)牛頓第二定律:mF23式中：ym的位移（m）； f阻尼系數(shù)（Ns/m); K 彈簧剛度（N/m)。24T稱為時間常數(shù)， 為阻尼比。顯然，上式描述了mKf系統(tǒng)的動態(tài)關系，它是一個二階線性定常微分方程。令 ， 即 ， 則式 可寫成2522 非線性微分方程的線性化在實際工程中，構成系統(tǒng)的元件都具有不同程度的非線性，下圖所示為常見的非線性：于是，對其建立的動態(tài)方程就是非線性微分方程，其求解有諸多困難，因此，對非線性

9、問題做線性化處理，實際上是作某種近似，以縮小一些研究問題的范圍。26線性化方法忽略弱非線性環(huán)節(jié)平衡位置附近的小偏差線性化平均斜率法27忽略弱非線性環(huán)節(jié)如果元件的非線性因素較弱或者不在系統(tǒng)線性工作范圍以內(nèi)，則它們對系統(tǒng)的影響很小，就可以忽略如圖（a），當輸入信號很小時，忽略非線性影響，近似為放大特性。對（b）和（c），當死區(qū)或間隙很小時（相對于輸入信號）同樣忽略其影響，也近似為放大特性，如圖中虛線所示工程上初步分析與設計時常用的方法28平衡位置附近的小偏差線性化小偏差線性化：當非線性系統(tǒng)的輸入量和輸出量只是在平衡點附近作微小變化時，則可用平衡點處的切線方程代替非線性方程小偏差法基于一種假設：在控

10、制系統(tǒng)的整個調節(jié)過程中，各個元件的輸入量和輸出量只是在平衡點附近作微小變化。這一假設是符合許多控制系統(tǒng)實際工作情況的，因為對閉環(huán)控制系統(tǒng)而言，一有偏差就產(chǎn)生控制作用，來減小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡點附近。29小偏差線性化的數(shù)學處理在平衡點A（x0，y0）處，當系統(tǒng)受到干擾，y只在A附近變化，則可對A處的輸出輸入關系函數(shù)按泰勒級數(shù)展開。輸入和輸出關系具有如下圖所示的非線性特性：30忽略二次以上的各項，上式可以寫成k比例系數(shù)，函數(shù)在x0點切線的斜率對于具有兩個自變量的非線性函數(shù)yf（x1, x2 ） ，輸入量為x1(t)和x2(t)，輸出量為y(t)，系統(tǒng)正常工作點為y0 f(x10,

11、 x20) 。在工作點附近展開泰勒(Taylor)級數(shù)得3132這種小偏差線性化方法對于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的，平衡點附近，偏差一般不會很大，都是“小偏差點”。忽略二階以上各項，可寫成 33取一次近似，且令 有 例 已知某裝置的輸入輸出特性求小擾動線性化方程。解 在工作點(x0, y0)處展開泰勒級數(shù)34 解 在 處泰勒展開，取一次近似 代入原方程可得 例 某容器的液位高度 h 與液體流入量 Q 滿足方程式中 S 為液位容器的橫截面積。若 h 與 Q 在其工作點附近做微量變化，試導出 h 關于 Q 的線性化方程。35在平衡點處系統(tǒng)滿足 上兩式相減可得線性化方程 平均斜率法36如果一非線

12、性元件輸入輸出關系如圖所示,此時不能用偏微分法，可用平均斜率法得線性化方程為37上述幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)，對于某些嚴重的非線性，不能作線性化處理，一般用相平面法及描述函數(shù)法進行分析。如 經(jīng)過上述線性化后，就把非線性關系變成了線性關系，從而使問題大大簡化。38復習 拉普拉斯變換一、拉氏變換的定義其中，原來的實變量函數(shù)f(t)原函數(shù) 變換后的復變量函數(shù)F(s)象函數(shù)拉普拉斯變換是 f(t)從時域到復頻域F(S)的積分變換。 設函數(shù)f(t)在t大于等于0時有定義，且積分在s的某個域內(nèi)存在，則其拉氏變換為：39拉普拉斯反變換：其中，c為常數(shù)拉氏變換的性質401、線性定理2、微分定理

13、：414、時域位移定理（延遲性質） 3、積分定理 時間函數(shù)延遲t0，相當于它的象函數(shù)乘以指數(shù)因子 425、復域位移定理 6、初值定理The Laplace transform of f(t) multiplied by , where is a constant, is equal to the Laplace transform F(s),with s replaced by ; that is, 437、終值定理終值定理成立的條件可歸結為：SF(S)的所有極點都應位于S平面的左半部。8、卷積定理Let F1(s) and F2(s) be the Laplace transform of

14、f1(t)and f2(t), respectively, and f1(t)=0, f2(t)=0, for t0, then 44（2）微分定理L變換重要定理（5）復位移定理（1）線性性質（3）積分定理（4）實位移定理（6）初值定理（7）終值定理（8）卷積定理常見函數(shù)的拉氏變換45（1）階躍函數(shù)(2) 脈沖函數(shù) 46（3）指數(shù)函數(shù)47（4）正弦函數(shù)48（2）單位階躍常見函數(shù)L變換表（5）指數(shù)函數(shù)（1）單位脈沖（3）單位斜坡（4）單位加速度（6）正弦函數(shù)（7）余弦函數(shù)拉氏反變換49（1）反演公式（2）查表法（部分分式展開法）例 已知，求解.拉普拉斯反變換的部分分式展開50N(S)=0的根被稱

15、為N(S)的零點； D(S)=0的根被稱為D(S)的極點 。 設法把F(S)分解成若干個較簡單的、能夠從表中查到的項 的和，通過查表，可直接得到所求的原函數(shù)，這稱為. 拉普拉斯反變換的部分分式法。通常：m nm=n時： 51Kn的系數(shù)如何確定？ 一、單根D(S)=0的根有2種情況：52二. 當 有重根時(設 為m重根，其余為單根)5354例1 已知，求解.例2 已知，求解.反變換例子55例3 已知，求解一.解二：56例4 已知，求解.用拉氏變換方法解微分方程57L變換系統(tǒng)微分方程L-1變換5823 傳遞函數(shù) (transfer function)例 RC電路當u1為輸入，u2為輸出時：當u1確

16、定時，u2就完全由G所確定：U2(s)=G(s)U1(s),稱G(s)為RC網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)59對于n階系統(tǒng)，線性微分方程的一般形式為：傳遞函數(shù)的定義60在零初始條件下，取拉氏變換得：61傳遞函數(shù)的定義 線性定常系統(tǒng)(或元件)在零初始條件下，輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。62零初始條件這里，“零初始條件”有兩方面含義：一指輸入作用是t0后才加于系統(tǒng)的，因此輸入量及其各階導數(shù)，在t= 時的值為零。二指輸入信號作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是靜止的，即t= 時 ，系統(tǒng)的輸出量及各階導數(shù)為零。許多情況下傳遞函數(shù)是能完全反映系統(tǒng)的動態(tài)性能的 。63傳遞函數(shù)的定義G(s)Ur(s)Uc(s

17、)s(U)s(U)s(Grc=64傳遞函數(shù)是關于復變量s的有理真分式，它的分子、分母的階次是：。關于傳遞函數(shù)的幾點說明傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)，否則無法用拉氏變換導出；傳遞函數(shù)完全取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結構、參數(shù)，而與輸入、輸出的性質無關；傳遞函數(shù)只表明一個特定的輸入、輸出關系，對于多輸入、多輸出系統(tǒng)來說沒有統(tǒng)一的傳遞函數(shù)；（可定義傳遞函數(shù)矩陣，見第九章）不同的物理系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)與微分方程可相互轉換65傳遞函數(shù)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)，因為當 時， ，所以， 一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點分布圖與之對應。這將在第四章根軌跡中詳述。傳遞函數(shù)是在零初始條件下建立的，因此

18、，它只是系統(tǒng)的零狀態(tài)模型，有一定的局限性，但它有現(xiàn)實意義，而且容易實現(xiàn)。同一個系統(tǒng)，當輸入量和輸出量的選擇不相同時，可能會有不同的傳遞函數(shù)。66 （1）原則上不反映非零初始條件時系統(tǒng)響應的全部信息； （2）適合于描述單輸入/單輸出系統(tǒng)； （3）只能用于表示線性定常系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的局限性傳遞函數(shù)的表達形式傳遞函數(shù)一般是復變函數(shù)，可以變換為各種形式：有理分式形式；零極點形式；時間常數(shù)形式。67 1有理分式形式 傳遞函數(shù)最常用的形式是下列有理分式形式 傳遞函數(shù)的分母多項式 D(s)稱為系統(tǒng)的特征多項式，D(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，D(s)=0的根稱為系統(tǒng)的特征根或極點。68分母多項式的階次定義為

19、系統(tǒng)的階次。對于實際的物理系統(tǒng)，多項式D(s)、N(s)的所有系數(shù)為實數(shù)，且分母多項式的階次 n高于或等于分子多項式的階次m，即 nm。 2零極點形式 將傳遞函數(shù)的分子、分母多項式變?yōu)槭滓欢囗検?，然后在復?shù)范圍內(nèi)因式分解，得 69 式中 ，稱為系統(tǒng)的零點； 為系統(tǒng)的極點；k為系統(tǒng)的根軌跡放大系數(shù)。 3時間常數(shù)形式 將傳遞函數(shù)的分子、分母多項式變?yōu)槲惨欢囗検?，然后在復?shù)范圍內(nèi)因式分解，得 70式中，K為傳遞系數(shù)，通常也為系統(tǒng)的放大系數(shù)； 為系統(tǒng)的時間常數(shù)。71例1 RC電路（1）當u1為輸入，u2為輸出時：傳遞函數(shù)舉例說明72（2）當u1為輸入，i為輸出時：73例2例2 RLC電路取ur為輸入，

20、uc為輸出，得求下圖的傳遞函數(shù)：例375例4例4 機械位移系統(tǒng)取外力f(t)為輸入 位移x(t)為輸出根據(jù)牛頓第二定律，得7677四、典型環(huán)節(jié)一個傳遞函數(shù)可以分解為若干個基本因子的乘積，每個基本因子就稱為典型環(huán)節(jié)。常見的幾種形式有：特點： 輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲。實例：電子放大器，齒輪，電阻（電位器），感應式變送器等。78（1） 比例環(huán)節(jié)式中 環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，為一常數(shù)。79圖 比例環(huán)節(jié)80（2） 積分環(huán)節(jié)式中，K=1/T ， T稱為積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。特點： 輸出量與輸入量的積分成正比例，當輸 入消失，輸出具有記憶功能。實例： 電動機角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模 擬計算機中的積分器

21、等。（3）微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：81理想微分 一階微分 二階微分 特點： 輸出量正比輸入量變化的速度，能預示輸入信號的變化趨勢。 實例： 測速發(fā)電機輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。式中： 為時間常數(shù)， 為阻尼系數(shù)特點： 含一個儲能元件，對突變的輸入其輸出不能立即復現(xiàn)，輸出無振蕩。實例：RC網(wǎng)絡82（4） 慣性環(huán)節(jié)T為時間常數(shù)。83當 時84慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應求拉氏反變換得 85（5） 二階振蕩環(huán)節(jié)這種環(huán)節(jié)包括有兩個儲能元件，當輸入量發(fā)生變化時，兩種儲能元件的能量相互交換。在階躍函數(shù)作用下，其暫態(tài)響應可能作周期性的變化。 式中： 自然振蕩角頻率 阻尼比 86當輸入量為階躍函數(shù)時，輸

22、出量的拉氏變換為：輸出量為：當 時，上式特征方程的根為共軛復數(shù)87RLC 電路在零初始條件下取拉氏變換得傳遞函數(shù)為：88將傳遞函數(shù)轉換為：式中： 特點：環(huán)節(jié)中有兩個獨立的儲能元件，并可進行能量交換， 其輸出出現(xiàn)振蕩。89（6）延遲（時滯）環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)為：微分方程為： 延遲時間：例 帶鋼厚度檢測環(huán)節(jié) 9091 對于時滯時間很小的時滯環(huán)節(jié)，常把它展開成泰勒級數(shù)，并略去高次項，得：時滯環(huán)節(jié)在一定條件下可近似為慣性環(huán)節(jié) 思考傳遞函數(shù)的概念只適應于線性定常系統(tǒng)？傳遞函數(shù)是否可以反映系統(tǒng)非零初始條件下的運動規(guī)律？ 傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身的特性參數(shù)有關，與系統(tǒng)的輸入量無關？92作業(yè)：24 動態(tài)結構圖求傳遞函

23、數(shù)時，需對微分方程組消元，如果子方程較多，則過程很復雜；同時，傳遞函數(shù)不反映信號的傳遞過程。動態(tài)結構圖是一種數(shù)學模型，采用它將更便于求傳遞函數(shù)，同時能形象直觀地表明輸入信號在系統(tǒng)或元件中的傳遞過程。93一、動態(tài)結構圖的概念系統(tǒng)的動態(tài)結構圖由若干基本符號構成。構成動態(tài)結構圖的基本符號有四種，即信號線、方框(環(huán)節(jié))、綜合點(比較點)和引出點（或測量點） 。94動態(tài)結構圖：描述系統(tǒng)各元部件之間的信號傳遞關系的一種圖形化表示，特別對于復雜控制系統(tǒng)的信號傳遞過程給出了一種直觀的描述。2. 方框95G(s)表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關系.方框的兩側為輸入信號線和輸出信號線，方框內(nèi)寫入該輸入、輸出之間的

24、傳遞函數(shù)G(s)。信號線 帶有箭頭的直線，表示信號輸入、輸出的通道。箭頭代表信號傳遞的方向。3. 綜合點(合成點、比較點)96綜合點亦稱加減點，表示對兩個或兩個以上的信號進行加、減代數(shù)運算，叉圈符號的輸出量即為諸信號的代數(shù)和。 “+”表示相加，“-”表示相減?！?”號可省略不寫。 省略時也表示4. 引出點（測量點）97表示信號測量或引出的位置同一位置引出的信號大小和性質完全一樣98方框比較點引出點二、動態(tài)結構圖的基本連接形式1. 串聯(lián)連接99G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框與方框通過信號線相連，前一個方框的輸出作為后一個方框的輸入，這種形式的連接稱為串聯(lián)連接。2. 并聯(lián)連接100G1(

25、s)G2(s)X(s)Y(s)兩個或兩個以上的方框，具有同一個輸入信號，并以各方框輸出信號的代數(shù)和作為輸出信號，這種形式的連接稱為并聯(lián)連接。3. 反饋連接101一個方框的輸出信號輸入到另一個方框后，得到的輸出再返回到這個方框的輸入端，構成輸入信號的一部分。這種連接形式稱為反饋連接。G(s)R(s)C(s)H(s)三、系統(tǒng)動態(tài)結構圖的繪制繪制原則： 按照動態(tài)結構圖的基本連接形式，構成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)，連接成系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。102系統(tǒng)動態(tài)結構圖的繪制步驟1031、由輸入到輸出，依次列寫系統(tǒng)的全部運動方程，并整理成C(s)=G(s)R(s)的形式。2、繪出各環(huán)節(jié)的動態(tài)方框圖，方框圖中標明它的傳遞函數(shù)

26、，并以箭頭和字母符號表明其輸入量和輸出量。3、按照信號的傳遞方向把各方框圖依次連接起來，就構成了系統(tǒng)結構圖。舉例說明系統(tǒng)動態(tài)結構圖的繪制例1 以機電隨動系統(tǒng)為例，如下圖所示104105由典型元部件的傳函得其象方程組如下：系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結構圖(1)106系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結構圖(2)107系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結構圖(3)108系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結構圖(4)109系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結構圖(5)110系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結構圖(6)111)(smqsfJs+21mC)(sMm)(sMm)(smqsfJs+21sfJs+1系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結構圖(7)112)(smqsfJs+21mC)(sMm系統(tǒng)各

27、元部件的動態(tài)結構圖(8)113)(smqsfJs+21mC)(sMm例2 繪制兩級RC網(wǎng)絡的結構圖114115G(s)R(s)C(s)從左向右列方程組116將上頁方程改寫如下相乘的形式：117繪圖：Ur(s)為輸入，畫在最左邊。1/R11/sC11/R21/sC2UC(s)Ur(s)U1(s)i1(s)i2(s)-U1(s)-UC(s)這個例子不是由微分方程組代數(shù)方程組結構圖，而是直接列寫s域中的代數(shù)方程，畫出了結構圖。118 若重新選擇一組中間變量，會有什么結果呢？(剛才中間變量為i1,u1,i2，現(xiàn)在改為I,I1,I2)從右到左列方程：119 這個結構與前一個不一樣，所以選擇不同的中間變量

28、，結構圖也不一樣，但是整個系統(tǒng)的輸入輸出關系是不會變的。繪圖 例3 速度控制系統(tǒng)120（1）比較環(huán)節(jié)和速度調節(jié)器環(huán)節(jié)121式中：比較環(huán)節(jié)和速度調節(jié)器環(huán)節(jié)的結構圖122式中整理得 （2）速度反饋的傳遞函數(shù) 123式中： 為速度反饋系數(shù) （3）電動機及功率放大裝置124（4）系統(tǒng)的動態(tài)結構圖 125四 結構圖的等效變換思路： 在保證總體動態(tài)關系不變的條件下，設法將原結構逐步地進行歸并和簡化，最終變換為輸入量對輸出量的一個方框。126變換前后的變量之間關系保持不變等效變換的原則 任何復雜的系統(tǒng)結構圖，各方框之間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。方框結構圖的簡化是通過移動引出點、比較點，交換

29、比較點，進行方框運算后，將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。1. 串聯(lián)結構的等效變換（）串聯(lián)結構圖127G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s) G2(s)R(s)C(s)1. 串聯(lián)結構的等效變換（）等效變換推導128G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1. 串聯(lián)結構的等效變換（）等效變換推導129G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1. 串聯(lián)結構的等效變換（）串聯(lián)結構的等效變換圖130G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s) G2(s)R(s)C(s)兩個串聯(lián)的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個方框傳遞函數(shù)的乘積。2. 并聯(lián)結構的等

30、效變換并聯(lián)結構圖131C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)G1(s) G2(s)R(s)C(s)等效變換證明推導(1)132G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)2. 并聯(lián)結構的等效變換等效變換證明推導133C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s) 并聯(lián)結構的等效變換圖134G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)G1(s) G2(s)R(s)C(s)兩個并聯(lián)的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個方框傳遞函數(shù)的代數(shù)和。3. 反饋結構的等效變換反饋結構圖135G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)C(

31、s) = ?3. 反饋結構的等效變換等效變換證明推導136G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)3. 反饋結構的等效變換反饋結構的等效變換圖137G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)138以后均采用(s)表示閉環(huán)傳遞函數(shù)，負反饋時，(s)的分母為1回路傳遞函數(shù)，分子是前向通路傳遞函數(shù)。正反饋時， (s)的分母為1回路傳遞函數(shù)，分子為前向通路傳遞函數(shù)。單位負反饋時R(s)C(s)例1利用結構圖變換法，求位置隨動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Qc(s)/Qr(s) 。139例題分析由動態(tài)結構圖可以看出該系統(tǒng)有兩個輸入r，ML（干擾）。 我們知道：傳遞函數(shù)只表示一個特定的輸出、

32、輸入關系，因此，在求c對r的關系時，根據(jù)線性疊加原理，可取力矩 ML0，即認為ML不存在。140要點：結構變換的規(guī)律是：由內(nèi)向外逐步進行。例題化簡步驟（1)合并串聯(lián)環(huán)節(jié)：141例題化簡步驟（2)內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換：142例題化簡步驟（3)合并串聯(lián)環(huán)節(jié)：143例題化簡步驟（4)反饋環(huán)節(jié)等效變換：144例題化簡步驟（5)求傳遞函數(shù)Qc(s)/Qr(s) ：145如何求？系統(tǒng)動態(tài)結構圖如下圖所示，試求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。146改變引出點、比較點的位置4. 綜合點的移動（后移）147綜合點后移(綜合點從單元的輸入端移到輸出端)G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s

33、)原則： 移動前后保持信號的等效性綜合點后移證明推導（移動前）148G(s)R(s)C(s)Q(s)綜合點后移證明推導（移動后）149G(s)R(s)C(s)Q(s)？綜合點后移證明推導（移動前后）150移動前G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)？移動后綜合點后移證明推導（移動后）151G(s)R(s)C(s)Q(s)？綜合點后移等效關系圖152G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)綜合點前移（綜合點從單元的輸出端移到輸入端）153G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)綜合點前移證明推導（移動前）154G

34、(s)R(s)C(s)Q(s)綜合點前移證明推導（移動后）155G(s)R(s)C(s)Q(s)？綜合點前移證明推導（移動前后）156移動前G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)？移動后4. 綜合點的移動（前移）157綜合點前移證明推導（移動后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？4. 綜合點的移動（前移）綜合點前移等效關系圖158G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)1/G(s)綜合點之間的移動159R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)4.綜合點之間的移動160結論：多個相鄰的綜合點可以隨意交換位置。R(s)C(s

35、)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)5. 引出點的移動引出點后移(引出點從單元的輸入端移到輸出端)161G(s)R(s)C(s)R(s)？G(s)R(s)C(s)R(s)問題： 要保持原來的信號傳遞關系不變， ？等于什么。引出點后移等效變換圖162G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)引出點前移(引出點從單元的輸出端移到輸入端，)163問題： 要保持原來的信號傳遞關系不變， ？等于什么。G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)？C(s)引出點前移等效變換圖164G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C

36、(s)引出點之間的移動165ABR(s)BAR(s)引出點之間的移動166相鄰引出點交換位置，不改變信號的性質。ABR(s)BAR(s)如何求？系統(tǒng)動態(tài)結構圖如下圖所示，試求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。167改變引出點、比較點的位置168引出點移動G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H1(7)相加點和分支點一般不能變位169170綜合點移動G2H1G1G3向同類移動G1G2G3H1G1等效變換匯總 171序號原結構圖等效原結構圖等效法則 1串聯(lián)等效 2并聯(lián)等效 3反饋等效 1724綜合點前移5綜合點后移6 分離點前移 1737分離點后移8交換和合并綜合點9交換綜合

37、點和分離點（一般不采用)10負號在支路上移動 結構圖等效變換方法1) 三種典型結構可直接用公式2) 相鄰綜合點可互換位置3) 相鄰引出點可互換位置注意: 1) 不是典型結構不可直接用公式2) 引出點綜合點相鄰，一般不可互換位置174五舉例例2：系統(tǒng)動態(tài)結構圖如下圖所示，試求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。175例2 （例題分析）本題特點：具有引出點、綜合交叉點的多回路結構。176例2 （解題思路）解題思路：消除交叉連接，由內(nèi)向外逐步化簡。177例2 （解題方法一之步驟1）將綜合點2后移，然后與綜合點3交換。178例2 （解題方法一之步驟2）179例2 （解題方法一之步驟3）180例2 （解題方

38、法一之步驟4）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換181例2 （解題方法一之步驟5）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結果182例2 （解題方法一之步驟6）串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換183例2 （解題方法一之步驟7）串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換結果184例2 （解題方法一之步驟8）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換185例2 （解題方法一之步驟9）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結果186例2 （解題方法一之步驟10）反饋環(huán)節(jié)等效變換187例2 （解題方法一之步驟11）等效變換化簡結果188例2 （解題方法二）將綜合點前移，然后與綜合點交換。189例2 （解題方法三）引出點A后移190例2 （解題方法四）引出點B前移191例3 化簡下圖所示的多回環(huán)系統(tǒng)192193194結構圖化

39、簡步驟小結確定輸入量與輸出量。如果作用在系統(tǒng)上的輸入量有多個，則必須分別對每個輸入量逐個進行結構圖化簡，求得各自的傳遞函數(shù)。若結構圖中有交叉聯(lián)系，應運用移動規(guī)則，首先將交叉消除，化為無交叉的多回路結構。對多回路結構，可由里向外進行變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。195結構圖化簡注意事項：不是典型結構不可直接用公式；196盡量避免綜合點和引出點之間的移動。五、 信號流圖及梅森（S.J.Mason）公式信號流圖是一種用圖線表示線性系統(tǒng)方程組的方法。能夠很好的表明系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間的因果關系，描述信號從系統(tǒng)中一點到另一點的流通情況，表明各信號間的相互關系。當系統(tǒng)結構復雜時，框圖化簡

40、過程繁雜；引入信號流圖（梅森提出）來分析系統(tǒng)，就可以迅速而直接地求出系統(tǒng)各變量之間的關系，并計算出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。197信號流圖中的術語(1)節(jié)點:表示各變量的點,如x1等；(2)支路：連接兩個節(jié)點的帶箭頭的線段，如x1 x2;(3)增益：兩節(jié)點間的負載，如a12.198 a12x1x2 a12x1x2x2 =a12 x1 x2=a12x1+a32x3 x3=a13x1+a23x2+a33x3 x4=a24x2+a34x3信號流圖中的術語(4)源點:只有輸出支路沒有輸入支路的節(jié)點稱為源點或輸入節(jié)點。它一般表示系統(tǒng)的輸入變量。如x1(5)匯點:只有輸入支路沒有輸出支路的節(jié)點稱為匯點或輸出節(jié)點。它

41、一般表示系統(tǒng)的輸出變量，如x4(6)混合節(jié)點: 既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點稱為混合節(jié)點。如x2和x3199 a12x1x2信號流圖中的術語(7)通路：從某一節(jié)點開始，沿支路箭頭方向經(jīng)過各相連支路到另一節(jié)點（或同一節(jié)點）構成的路徑，稱為通路。如 通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸（通路增益），如上述通路的增益為a12 a23 a34 。(8)前向通路:從源點到匯點，且不重復過任一節(jié)點，該通路的各增益乘積稱為前向通路增益。200信號流圖中的術語(9)回路：通路的終點就是通路的起點，并且不重復通過任一節(jié)點，如：回環(huán)中各支路增益的乘積稱為回環(huán)增益，如上述回路增益為：(10)自回路:出發(fā)點和終止點是

42、同一節(jié)點，且不經(jīng)過任何其它節(jié)點，如：(11)不接觸回路：如果一信號流圖有多個回路，各回路之間沒有任何公共節(jié)點，就稱為不接觸回路，反之稱為接觸回路。201信號流圖的繪制2021、根據(jù)系統(tǒng)的微分方程繪制信號流圖例1: x2 =a12 x1 a12x1x2例2: x2=a12x1+a32x3 x3=a13x1+a23x2+a33x3 x4=a24x2+a34x3首先按照節(jié)點的次序繪出各節(jié)點，然后根據(jù)各方程式繪制各支路。當所有方程式的信號流圖繪制完畢后，即得系統(tǒng)的信號流圖2031、根據(jù)系統(tǒng)的微分方程繪制信號流圖例3 一系統(tǒng)的方程組為：2、根據(jù)系統(tǒng)的結構圖繪制信號流圖204方框圖與信號流圖具有一定的對應

43、關系：方框圖中的輸入量、輸出量對應信號流圖中的源點和匯點；方框圖中的信號線對應信號流圖中的節(jié)點、方框（環(huán)節(jié)）對應支路、方框中的傳遞函數(shù)對應信號流圖中的增益2、根據(jù)系統(tǒng)的結構圖繪制信號流圖205X4X3XrX1X2agXC-bcldf- G1 G2RE1UYE1+1-111-1RE1UE1Y梅森（S.J.Mason）公式207從輸入端到輸出端的前向通路總數(shù)的余子式，即在中，除去與第k條前向通道相接觸的所有回路的L項主特征式從輸入端到輸出端第k條前向通路的總增益（或傳遞函數(shù)之積）待求傳遞函數(shù)208梅森公式參數(shù)解釋：注意事項：“回路傳遞函數(shù)”是指反饋回路的前向通路和反饋回路的傳遞函數(shù)的乘積，并且包含

44、代表反饋極性的正、負號。 接觸 指有公共的節(jié)點和支路。 209abcdebe, cf 回路, becf 不是回路abfd 是通道，aecd 和abecd 不是 f梅森公式應用舉例例1210211例2212求：解：213（1）（2）214（3）（4）試應用梅森公式求取下圖所示方框圖的傳遞函數(shù)。 例3216梅遜公式 例R-CR(s)C(s)L1= G1 H1L2= G3 H3L3= G1G2G3H3H1L4= G4G3L5 = G1G2G3L1L2= (G1H1) (G3H3) = G1G3H1H3L1L4=(G1H1)(G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G31=1 G4(s) H1(s)

45、H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s)G4(s)G3(s)P2= G4G32=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)=?梅森公式應用舉例例4：試求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)(直接從方框圖求取)217求解步驟之一（例4）找出前向通路數(shù)n218求解步驟之一（例4）前向通路數(shù)：n1219求解步驟之二（例4）確定系統(tǒng)中的反饋回路數(shù)2201.尋找反饋回路之一2211.尋找反饋回路之二2221.尋找反饋回路之三2231.尋找反饋回路之四224225利用梅森公式求傳遞函

46、數(shù)(1)226利用梅森公式求傳遞函數(shù)(1)227利用梅森公式求傳遞函數(shù)(2)求余子式1228將第一條前向通道從圖上除掉后的圖，再用特征式 的求法，計算求余式1229將第一條前向通道從圖上除掉后的圖圖中不再有回路，故1=1利用梅森公式求傳遞函數(shù)(3)230例5：用梅森公式求傳遞函數(shù)試求如圖所示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。231求解步驟之一：確定反饋回路232求解步驟之一：確定反饋回路233求解步驟之一：確定反饋回路234求解步驟之一：確定反饋回路235求解步驟之一：確定反饋回路236求解步驟之二：確定前向通路237求解步驟之二：確定前向通路238求解步驟之三：求總傳遞函數(shù)239例6：對例5做簡單的修改24

47、0求反饋回路1241求反饋回路2242求反饋回路3243求反饋回路42442. 兩兩互不相關的回路1245兩兩互不相關的回路2246. 求前向通路12473. 求前向通路22484.求系統(tǒng)總傳遞函數(shù)249例7 求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)該系統(tǒng)的前向通路及其傳函為：250系統(tǒng)的回路及其傳函為251上述各環(huán)互相接觸，因此由此得系統(tǒng)的特征式上述各回環(huán)都與前向通路P1和P2 相接觸（有共同環(huán)節(jié)或公共節(jié)點）根據(jù)梅遜公式求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：252例 8 求傳遞函數(shù) C(s)/R(s)253254例 9 求傳遞函數(shù) C(s)/R(s)25525625系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)(本節(jié)放到第三章典型時間響應中講)257脈沖響應函數(shù)即脈沖過渡函數(shù)，就是系統(tǒng)對單位脈沖函數(shù) 輸入的響應，用k(t)表示。由此可知系統(tǒng)（或元件）的傳函的拉氏反變換就等于它的脈沖響應。設系統(tǒng)傳函為 ，而 所以有概念和定義258對于任意輸入信號r(t)，系統(tǒng)輸出為c(t)，則用拉氏變換的卷積定理可得：由此可知，對于線性系統(tǒng)，只要知道它的脈沖過渡函數(shù)k(t)，就可以計算出系統(tǒng)對任意輸入信號r(t)的時間響應過程c(t)。注：傳遞函數(shù)簡稱傳函（下同）259下面用線性系統(tǒng)的疊加原理說明式(2-5-1)的物理含義260設任意輸入信號r(t)，如上圖所示，分成一系列寬度為 的相鄰矩形脈沖