數(shù)值分析試題

1、一、單項選擇題（每題3分，共15分）1.3.142和3.141分別作為的近似數(shù)擁有（）和（）位有效數(shù)字.A4和3B3和2C3和4D4和42xdx1f1Af(2)1f(2)f2.已知求積公式1636，則A（）1112A6B3C2D33.經(jīng)過點x0,y0,x1,y1的拉格朗日插值基函數(shù)l0 x,l1x滿足（）Al0 x00，l1x10Bl0 x00，l1x11l0 x01，l1x11l0 x01，l1x11CD4.設(shè)求方程fx0的根的牛頓法收斂，則它擁有（）斂速。A超線性B平方C線性D三次x12x2x302x12x23x33x13x22作第一次消元后獲取的第3個方程（）.5.用列主元消元法解線性方

2、程組Ax2x32B2x21.5x33.5C2x2x33Dx20.5x31.5單項選擇題答案1.A2.D3.D4.C5.B得評卷分人二、填空題（每題3分，共15分）1/19word.1.設(shè)X(2,3,4)T,則|X|1，|X|2.2.fx0,x1一階均差C031,C13C23333.已知n3時，科茨系數(shù)88，那么C34.fxx42x0在區(qū)間1,2上滿足，因此fx0在區(qū)間因為方程內(nèi)有根。yyy2x5.取步長h0.1y11的計算公式.，用歐拉法解初值問題填空題答案fx0fx11.9和292.x0 x11f1f203.84.yk1yk1.10.110.1k2,k0,1,25.y01得評卷分人三、計算題

3、（每題15分，共60分）1y21.已知函數(shù)1x的一組數(shù)據(jù)：求分段線性插值函數(shù)，并計算f1.5的近似值.計算題1.答案Lx1x01.解x0,1x110.510.5x，0102/19word.x1,2Lxx20.5x10.20.3x0.8，1221因此分段線性插值函數(shù)為Lx10.5xx0,10.80.3xx1,2L1.50.80.31.50.3510 x1x22x37.2x110 x22x38.32.已知線性方程組x1x25x34.2（1）寫出雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式；（2）對于初始值X00,0,0，應(yīng)用雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式分別計算X1（保留小數(shù)點后五位數(shù)字）.計算題2.答

4、案1.解原方程組同解變形為x10.1x20.2x30.72x20.1x10.2x30.83x30.2x10.2x20.84雅可比迭代公式為x1m10.1x2m0.2x3m0.72x2m10.1x1m0.2x3m0.83x3m10.2x1m0.2x2m0.84(m0,1.)高斯塞德爾迭代法公式x1m10.1x2m0.2x3m0.72x2m10.1x1m10.2x3m0.83x3m10.2x1m10.2x2m10.84(m0,1.)X10.72000,0.83000,0.84000用雅可比迭代公式得3/19word.用高斯塞德爾迭代公式得X10.72000,0.90200,1.164403.用牛頓

5、法求方程x33x10在1,2之間的近似根1）請指出為何初值應(yīng)取2？2）請用牛頓法求出近似根，精確到0.0001.計算題3.答案3.解fxx33x1，f130，f210fx3x23，fx12x，f2240，故取x2作初始值迭代公式為xnxn1fxn1xn1xn313xn11(或2xn311)fxn13xn2133xn211，n1,2,.23311.8888921.88889311.87945x122x21.888892x02，31，31x2x10.009440.000121.87945311.87939x31.87945231，x3x20.000060.0001方程的根x1.879391101d

6、x4.寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計算積分x.計算題4.答案bbafxdxfafba4解梯形公式21111101dx00.75應(yīng)用梯形公式得x21114/19word.fxdxbafa4f(ab)fbb辛卜生公式為a6211dx104f(1001f0)f1應(yīng)用辛卜生公式得x6211141125601111362得評卷分人四、證明題（本題10分）確立以下求積公式中的待定系數(shù)，并證明確立后的求積公式擁有3次代數(shù)精確度hfxdxA1fhA0f0A1fhh證明題答案證明：求積公式中含有三個待定系數(shù)，即A1,A0,A1，將fx1,x,x2分別代入求積公式，并令其左右相等，得A1A0A12hh(A

7、1A1)0h2(A1A1)2h33A1A11h4h3A0得，3。所求公式最罕有兩次代數(shù)精確度。又因為hx3dxhh33hx4dxhh43h33h43hh4hfxdxfhf0fh故h333擁有三次代數(shù)精確度。5/19word.一、填空（共20分，每題2分）1.設(shè)x2.3149541.，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=.fx2fx1143fx1,x2x2x1212.設(shè)一階差商，fx2,x3fx3fx2615x3x2422則二階差商fx1,x2,x3_3.設(shè)X(2,3,1)T,則|X|2，|X|。4求方程x2x1.250的近似根，用迭代公式xx1.25，取初始值x01，那么x1_。yf(x,y)5

8、解初始值問題y(x0)y0近似解的梯形公式是yk1_。A1151，則A的譜半徑6、。7、設(shè)f(x)3x25,xkkh,k0,1,2,.,，則fxn,xn1,xn2和fxn,xn1,xn2,xn3。8、若線性代數(shù)方程組AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都。9、解常微分方程初值問題的歐拉（Euler）方法的局部截斷偏差為。10、為了使計算y10123x1(x1)2(x1)3的乘除法運算次數(shù)盡量的少,應(yīng)將表達式改寫成。6/19word.填空題答案1、2.31505fx2,x3fx1,x2311fx1,x2,x32x3x14162、3、6和144、1.5ykhfxk,

9、ykfxk1,yk125、6、(A)67、fxn,xn1,xn23,fxn,xn1,xn2,xn308、收斂9、hy101113x(x1)21)10、1(x二、計算題（共75分，每題15分）319f(x)x2,x01設(shè)4,x11,x2419fx,x（1）試求在44上的三次Hermite插值多項式使?jié)M足H(xj)f(xj),j0,1,2,.H(x1)f(x1)以升冪形式給出。（2）寫出余項R(x)f(x)H(x)的表達式計算題1.答案x14x3263x2233x11、（1）225450450251951)(x1)2(x9),(x)(1,9)Rx2(x（2）4!1644447/19word.2已知

10、的滿足，試問如何利用構(gòu)造一個收斂的簡單迭代函數(shù)，使0，1收斂？計算題2.答案x(x)，可得x3x(x)3xx1(x)3x)(x)2、由，2因13)，故11(x)(x)(x)2（x）-3122故xk1(xk)1(xk)3xk,k=0,1,.收斂。23試確立常數(shù)A，B，C和a，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它能否為Gauss型的？計算題3.答案A101612C,B,a3、995，該數(shù)值求積公式擁有5次代數(shù)精確度，它是Gauss型的yf(x,y)4推導常微分方程的初值問題y(x0)y0的數(shù)值解公式：yn1yn1h(yn14ynyn1)3（提示：利用Sim

11、pson求積公式。）計算題4.答案4、數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對方程yf(x)在區(qū)間xn1,xn1上積分，xn1y(xn1)y(xn1)得xn1f(x,y(x)dx，記步長為h,8/19word.xn1對積分xn1f(x,y(x)dx用Simpson求積公式得xn12hf(xn1)h(yn14ynynf(x,y(x)dx4f(xn)f(xn1)1)xn163因此得數(shù)值解公式：yn1yn1h(yn14ynyn1)3x12x23x3142x15x22x3185利用矩陣的LU分解法解方程3x1x25x320組計算題5.答案1123ALU2114351245、解：令Lyb得y(14,10,72)

12、T,Uxy得x(1,2,3)T.三、證明題（5分）1設(shè)，證明解的Newton迭代公式是線性收斂的。證明題答案1、證明：因xn1xnxn1xnf(x)(x3f(xn),nf(xn)(xn3a)26xn2(xn3a)a)2,故f(x)6x2(x3a),由Newton迭達公式:0,1,.得5xna2,n0,1,.66xn因迭達函數(shù)(x)5xa2,而(x)5ax3,66x63又x3a,則(3a)5a(3a)35110,63632故此迭達公式是線性收斂的。一、填空題（20分）9/19word.(1).設(shè)x*2.40315x2.40194的近似值，則x*位有是真值有效數(shù)字。(2).對f(x)x3x1,差商

13、f0,1,2,3()。(3).設(shè)X(2,3,7)T,則|X|。(4).牛頓柯特斯求積公式的系數(shù)和填空題答案nCk(n)k0。（1）3（2）1（3）7（4）1二、計算題1).（15分）用二次拉格朗日插值多項式L2(x)計算sin0.34的值。插值節(jié)點和相應(yīng)的函數(shù)值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。計算題1.答案L2(x)(xx1)(xx2)f0(xx0)(xx2)f1(xx0)(xx1)f2(x0 x1)(x0 x2)(x1x0)(x1x2)(x2x0)(x2x1)1）=0.3333362).（15分）用二分法求方程f(x)x3x10在1.0,1.5區(qū)間內(nèi)的一

14、個根，偏差限102。計算題2.答案N6x11.25x21.375x31.31252)x41.34375x51.328125x61.32031253).（15分）用高斯-塞德爾方法解方程組4x12x2x311x14x22x3182x1x25x322，取x(0)(0,0,0)T，迭代三次(要求按五位有效數(shù)字計算).。10/19word.計算題3.答案3）迭代公式x1(k1)1(112x2(k)x3(k)4x2(k1)1(18x1(k1)2x3(k)4x3(k1)1(222x1(k1)x2(k1)54).（15分）求系數(shù)A1,A2和A3,使求積公式1f(x)dx1計算題4.答案A1A2A14）A1f

15、(1)A2f(1)A3f(1)對于次數(shù)2的全部多項式都精確建立33。11112A32A13A23A30A19A29A331A20A33223x12x210 x31510 x14x2x355).(10分)對方程組2x110 x24x38試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明原由計算題5.答案解：調(diào)整方程組的地址，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)10 x14x2x352x110 x24x383x12x210 x31511/19word.故對應(yīng)的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為x1(k1)1(4x2(k)x3(k)5)10 x2(k1)1(2x1(k1)4x3(k)8)10 x(k1)1(3x(k1)2x

16、(k1)15)31012取x(0)(0,0,0)T,經(jīng)7步迭代可得：x*x(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T.三、簡答題1)（5分）在你學過的線性方程組的解法中,你最喜愛那一種方法,為什么?2)（5分）先表達Gauss求積公式,再論述為何要引入它。一、填空題（20分）1.若a=2.42315是2.42247的近似值，則a有()位有效數(shù)字.2.l0(x),l1(x),ln(x)是以0,1,n為插值節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則nili(x)().i03.設(shè)f(x)可微，則求方程xf(x)的牛頓迭代格式是().4.迭代公式X(k1)BX(k)f收斂的

17、充要條件是。5.解線性方程組Ax=b(此中A非奇異，b不為0)的迭代格式x(k1)Bx(k)f9x1x28中的B稱為().給定方程組x15x24，解此方程組的雅可比迭代格式為()。12/19word.填空題答案13xxn1xnf(xn)xn3.1f(xn)4.(B)1x1k11(8x2(k)95.迭代矩陣，x2k11(4x1(k)5得評卷分人二、判斷題（共10分）1.若f(a)f(b)0，則f(x)0在(a,b)內(nèi)必定有根。()區(qū)間a,b上的三次樣條函數(shù)是一個次數(shù)不超出三次的多項式。()3.若方陣A的譜半徑(A)1，則解方程組Ax=b的Jacobi迭代法收斂。()4.若f(x)與g(x)都是n

18、次多項式，且在n+1個互異點xiin0上f(xi)g(xi)，則f(x)g(x)。()5.1x1x2x產(chǎn)生舍入偏差。()用2近似表示e判斷題答案2.3.4.5.得評卷分人三、計算題（70分）13/19word.（10分）已知f(0)1，f(3)2.4，f(4)5.2，求過這三點的二次插值基函數(shù)l1(x)=()，f0,3,4=(),插值多項式P(x)=(),用三點式求得f(4)().2計算題1.答案由插值公式可求得它們分別為：1x(x4),7,17x7x(x3),和203131215126（15分）已知一元方程x33x1.20。1）求方程的一個含正根的區(qū)間；2）給出在有根區(qū)間收斂的簡單迭代法公式

19、(判斷收斂性)；3）給出在有根區(qū)間的Newton迭代法公式。計算題2.答案2.（1）f(0)1.20,f(2)1.80又f(x)連續(xù)故在(0,2)內(nèi)有一個正根,2）21x33x1.2,(x)(3x1.2)3,max(x)21,xn133xn1.2收斂x(0,2)1.23f(x)3x23,xn1xnxn33x1.2（3）3xn231f(x)dxAf(0.5)Bf(x1)Cf(0.5)3.（15分）確立求積公式1的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并確立其代數(shù)精度.計算題3.答案14/19word.假設(shè)公式對f(x)1,x,x2,x3精確建立則有ABC20.5ABx10.5C00.25ABx120.2

20、5C2330.125ABx0.125C01解此方程組得AC42,B33求積公式為114f(0.5),當f(x)x4時,f(x)dx4f(0.5)2f(0)1321右側(cè)代數(shù)精度為3。左側(cè)右側(cè)左側(cè)56y3x2y0 x1y(0)14.（15分）設(shè)初值問題.寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式；寫出用改進的Euler法（梯形法）、步長h=0.2解上述初值問題數(shù)值解的公式，并求解y1,y2，保留兩位小數(shù)。計算題4.答案4.(1)yn1yn0.1(3xn2yn)0.3xn1.2yn(2)yn1yn0.2(3xn2yn)3(xn0.2)2yn12=yn0.1(6xn2yn2yn10

21、.6)yn13yn3xn32440迭達得y1333633321.575,y224042.585400.2405.（15分）取節(jié)點x00,x10.5,x21，求函數(shù)yex在區(qū)間0,1上的二次插值多項式P2(x)，并預(yù)計偏差。15/19word.計算題5.答案e0.51e1e0.5e0.51p2(x)e010.50.50(x0)(x0.5)0.5(x0)0105=1+2(e0.51)x2(e12e0.51)x(x0.5)yex,M3maxy1,exp2(x)f()x(x0.5)(x1)x0,13!exp2(x)1x(x0.5)(x1)0 x1時，3!一、填空題(每題4分，共20分)1、數(shù)值計算中主

22、要研究的偏差有和。2、設(shè)lj(x)(j0,1,2n)是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，則nlj(xi)(i,j0,1,2n)j0lj(x)；。3、設(shè)lj(x)(j0,1,2n)是區(qū)間a,b上的一組n次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為；插值型求積公式中求積系數(shù)Aj；且nAjj0。4、辛普生求積公式擁有次代數(shù)精度，其他項表達式為。5、f(x)x21,則f1,2,3_,f1,2,3,4_。填空題答案1.相對偏差絕對偏差16/19word.1,ij,2.0,ij1blk(x)dxa3.最少是nb-aba(ba)4f(4)(),(a,b)4.318025.10二、計算題1、已知函數(shù)yf(x)的相關(guān)數(shù)據(jù)P3(x)3P(1)由牛頓插值公式求三次插值多項式，并計算2的近似值。計算題1.答案解：差商表由牛頓插值公式：p3(x)N3(x)4x32x28x1,333p3(1)4(1)32(1)28(1)122322322、（10分）利用尤拉公式求解初值問題，此中步長h0.1，yyx1,x(0,0.6)y(0)1.