高中數(shù)學(xué)必修二 6.4.1 平面向量在幾何和物理的運用（精練）(含答案)

1、6.4.1 平面向量在幾何和物理中的運用(精練)【題組一 向量在幾何中的運用】1(2021安徽六安一中高一月考)P是所在平面內(nèi)一點，滿足，則的形狀是( )A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等邊三角形【答案】B【解析】由，可得，即，等式兩邊平方，化簡得，因此，是直角三角形.故選：B.2(2021云南省南澗縣第一中學(xué)高一月考)在中，若，則的形狀一定是( )A直角三角形B等腰三角形C銳角三角形D鈍角三角形【答案】D【解析】因為，所以為鈍角，所以一定是鈍角三角形.故選；D3(2021安徽青陽第一中學(xué)高一月考)在中，且，則點的軌跡一定通過的( )A重心B內(nèi)心C外心D垂心【答案】A【解析】過C作，

2、交AB于H，取AB中點D，連接CD，如圖所示：根據(jù)三角函數(shù)定義可得，因為，所以，即，即點P的軌跡在中線CD上，而三角形三邊中線的交點為該三角形的重心，所以點的軌跡一定通過的重心.故選：A4(2021江蘇南京市第二十九中學(xué)高一期末)在邊長為3的正方形中，點在線段上，且，則( )ABC3D4【答案】C【解析】，故，而，.故選：C5(2021全國高一課時練習(xí))已知A，B，C為三個不共線的點，P為ABC所在平面內(nèi)一點，若，則下列結(jié)論正確的是( )A點P在ABC內(nèi)部B點P在ABC外部C點P在直線AB上D點P在直線AC上【答案】D【解析】，即.故點P在邊AC所在的直線上.故選：D.6(2021浙江金鄉(xiāng)衛(wèi)城

3、中學(xué)高一月考)(多選)若點為所在平面內(nèi)一點，則下列選項正確的是( )A直線必過邊的中點BC若的面積為9，則的面積是4D【答案】BCD【解析】對D，則，化簡得，故D正確；對A，若直線過邊的中點則與題設(shè)矛盾，故A錯誤；對B，由奔馳定理可得，故，故，故B正確；對C，由可得，故C正確；故選：BCD7(2021江蘇溧陽高一期末)(多選)“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，的面積分別為，則.若是銳角內(nèi)的一點，是的三個內(nèi)角，且點滿足.則( )A為的外心BCD【答案】BC

4、D【解析】解：因為，同理，故為的垂心，故A錯誤；，所以，又，所以，又，所以，故B正確；故，同理，延長交與點，則，同理可得，所以，故C正確；，同理可得，所以，又，所以，故D正確故選：BCD8(2021四川成都外國語學(xué)校高一月考(文)設(shè)為內(nèi)一點，且滿足關(guān)系式，則_【答案】【解析】，分別取的中點為， ；.故答案為：9(2021浙江溫州中學(xué)高一期中)已知內(nèi)接于一個半徑為2的圓，其中為圓心，為的重心，則的取值范圍為_【答案】【解析】解：如下圖所示，以BC所在的直線為x軸，以BC的中點D為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)， 設(shè)，所以，即，又的重心為，所以，所以，又， ，所以，綜上得，所以的取值范圍為.10

5、(2021河北石家莊二中高一月考)如圖，在平面四邊形中，若點為邊上的動點，則的最小值為_【答案】.【解析】以為原點，以所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意得 在中，由余弦定理得，所以，所以，由，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，在中，所以為等邊三角形，所以，所以，設(shè)，由題意令，即，解得，所以，所以，設(shè)，可得其對稱軸為，且開口向上，所以時，取得最小值，即的最小值為.故答案為：.11(2021北京中國農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高一期末)已知點，點為一次函數(shù)圖象上的一個動點(1)用含的代數(shù)式表示；(2)求證：恒為銳角；(3)若四邊形為菱形，求的值【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)2【

6、解析】(1)設(shè)，所以所以因為點在直線上，所以(2)所以若A，P，B三點在一條直線上，則，得到，方程無解，所以所以恒為銳角(3)因為四邊形為菱形，所以，即化簡得到，所以，所以設(shè)，因為，所以，所以12(2021江蘇省前黃高級中學(xué)高一月考)如圖1，在中，點是的中點.(1)求證：；(2)直線過點且垂直于，為上任意一點，求證：為常數(shù)，并求該常數(shù)；(3)如圖2，若，為線段上的任意一點，求的范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析，；(3).【解析】(1)中，延長到使得到長度相等，連接，是線段的中點，四邊形是平行四邊形，.(2)，.，.(3)中，又，由(1)同理可證，.設(shè)，則，的范圍是.13(202

7、1江蘇鹽城高一期中)如圖，分別是矩形的邊和上的動點，且.(1)若都是中點，求.(2)若都是中點，是線段上的任意一點，求的最大值.(3)若，求的最小值.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)以點A為原點建系，得,，.(2)由(1)知，設(shè)，當(dāng)時，最大值.(3)設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故最小值是.14(2021湖北高一期中)如圖，在中，點P為線段AB上的一個動點(不包含端點)，且滿足(1)若，用向量，表示；(2)若，且，求的取值范圍【答案】(1)；(2)【解析】(1)若，則，則(2)，且，的取值范圍為【題組二 向量在物理中的運用】1(2021山東濰坊高一期末)如圖所示，一條河兩岸平行，

8、河的寬度為米，一艘船從河岸的地出發(fā)，向河對岸航行已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，船的速度與水流速度的合速度為，那么當(dāng)航程最短時，下列說法正確的是( )A船頭方向與水流方向垂直BCD該船到達(dá)對岸所需時間為分鐘【答案】B【解析】由題意可知，當(dāng)船的航程最短時，而船頭的方向與同向，由，可得，A選項錯誤，B選項正確；，C選項錯誤；該船到達(dá)對岸所需時間為(分鐘)，D選項錯誤.故選：B.2(2021全國高一課時練習(xí))一個物體在大小為10 N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為50 m，且力F所做的功J，則F與s的夾角等于_.【答案】#【解析】設(shè)F與s的夾角為，由，得，解得：.又，.故答案為：(或)3(

9、2021安徽淮北一中高一月考)加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重為_(取重力加速度大小為).【答案】【解析】設(shè)兩只胳膊的拉力分別為、，由題意知，夾角，可得.兩邊同時平方，得，則N.所以，該學(xué)生的體重為.故答案為：4(2021廣東江門市新會第二中學(xué)高一月考)河水的流速為2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜水中的速度大小為_m/s【答案】10【解析】為了使航向垂直河岸，船頭必須斜向上游方向，即：靜水速度斜向上游方向，河水速度 =2m/s平行于

10、河岸；靜水速度與河水速度的合速度=m/s指向?qū)Π鹅o水速度m/s故答案為：5(2021山西臨汾高一月考)有一東西方向的河流(假設(shè)河流寬度一樣)，一艘快艇從河南岸出發(fā)渡河，快艇航行速度的大小為，方向為北偏西，河水的速度為向正東，經(jīng)過到達(dá)北岸，現(xiàn)快艇從北岸返回，速度大小不變，方向為正南，從北岸出發(fā)返回南岸的時間是_【答案】【解析】如圖所示，由題意知，所以，所以南北兩岸的距離為；現(xiàn)快艇從北岸返回，速度大小不變，方向為正南，所以，即從北岸出發(fā)返回南岸的時間是故答案為：6(2021江蘇通州高一期中)如圖所示，無彈性細(xì)繩，的一端分別固定在，處，同樣的細(xì)繩下端系著一個秤盤，且使得，則，三根細(xì)繩受力最大的是_【

11、答案】【解析】受力最大的是，理由如下：設(shè)，三根細(xì)繩對所施力分別為，則，設(shè)與的合力為，則，如圖：在平行四邊形中，因為，所以，即，所以繩受力最大.故答案為：.7(2021全國高一課時練習(xí))某人騎車以速度向正東方向行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來，而當(dāng)速度為時，感到風(fēng)從東北方向吹來，試求實際風(fēng)速的大小和方向.【答案】實際風(fēng)速的大小是，為西北風(fēng).【解析】設(shè)實際風(fēng)速為，由題意可知，此人以速度向正東方向行駛時，感到的風(fēng)速為，當(dāng)速度為時感到的風(fēng)速為，如圖，設(shè)，.，這就是速度為時感到的由正北方向吹來的風(fēng)速.，這就是速度為時感到的由東北方向吹來的風(fēng)速，由題意知，為等腰直角三角形，即.實際風(fēng)速的大小是，為西北風(fēng).8(2

12、021全國高一課時練習(xí))一個物體受到同一平面內(nèi)三個力的作用，沿北偏東的方向移動了已知，方向為北偏東；，方向為東偏北；，方向為西偏北，求這三個力的合力所做的功【答案】【解析】以三個力的作用點為原點，正東方向為x軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則由已知可得所以又位移，所以9(2021全國高一課時練習(xí))質(zhì)量的木塊，在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿傾斜角的光滑斜面向上滑行的距離.(1)分別求物體所受各力對物體所做的功；(2)在這個過程中，物體所受各力對物體做功的代數(shù)和是多少？【答案】(1)拉力，支持力不做功，重力；(2).【解析】(1)木塊受三個力的作用，重力，拉力和支持力，如圖所示.拉力與位移

13、s方向相同，所以拉力對木塊所做的功為；支持力與位移方向垂直，不做功，所以；重力對物體所做的功為.(2)物體所受各力對物體做功的代數(shù)和為.10(2021廣東順德高一月考)如圖，已知一條河的兩岸平行，河的寬度為，某人從河的北岸出發(fā)到河對岸，河水自西向東流速為，設(shè)某人在靜水中游泳的速度為，在流水中實際速度為(1)如果要使此人游得路程最短，且，求此人游泳的方向與水流方向的夾角和的大?。?2)如果要使此人游得時間最短，且，求他實際前進(jìn)的方向與水流方向的夾角和的大小【答案】(1)，；(2)，.【解析】(1)如果要使此人游得路程最短，只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度與對岸垂直，如圖，此人游泳的方向與水

14、流方向的夾角，此時，(2)如圖，設(shè)與的夾角為，與的夾角為，實際游泳的距離為，所以，所以，故當(dāng)與的夾角為時，此人游泳到對岸用時最短，如圖，當(dāng)，由于，故，此時，所以11(2021黑龍江哈爾濱三中高一期中)生活中，我們使用的電悌、旗桿、窗簾等都是滑輪原理的應(yīng)用.如圖所示，對于同一高度(足夠高)的兩個定滑輪，用一條足夠長的繩子跨過它們，并在兩端分別掛有質(zhì)量為和物體()，另在兩滑輪中間的一段繩子的點處懸掛質(zhì)量為的另一物體.(1)若，試求；(2)若，且系統(tǒng)保持平衡(滑輪半徑、繩子質(zhì)量均忽略不計).求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】(1)設(shè)兩繩子對物體的拉力分別為，物體向下的重力為，由系統(tǒng)平衡條件知，由已知設(shè)，則，所以，解得(2)設(shè)兩繩子對物體的拉力分別為，物體向下的重力為，由系統(tǒng)平衡條件知，設(shè)，由力的平衡得，即，中由正弦定理得，即，代入和，所以，因為，所以，所以，所以，即.12(2021江蘇蘇州市第三中學(xué)校高一期中)如圖，已知一條河的兩岸平行，河的寬度為d，某人從河的北岸出發(fā)到河對岸，河水自西向東流速為，設(shè)某人在靜水中游泳的速度為，在流水中實際速度為(1)如果要