生命曲線預(yù)測方法

1、關(guān)于生命曲線預(yù)測方法第一張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月生物的生長過程經(jīng)歷發(fā)生、發(fā)展到成熟三個階段，在這三個階段中生物生長速度是不一樣的，例如,南瓜的增長速度，在第一階段增長較慢，在成長時期則突然加快，而到了成熟期又趨減慢，形成一條S形曲線，這就是有名的生長曲線（增長曲線）。生命曲線也可以是描述經(jīng)濟指標(biāo)隨時間變化呈某種生物變化規(guī)律的一種曲線。 第七章 生命曲線預(yù)測方法第二張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月在市場預(yù)測中，經(jīng)常會碰到預(yù)測對象在其發(fā)展過程中呈現(xiàn)出與生物類似的發(fā)展過程。即在成長期快速增長、成熟（飽和期增長放慢）、衰退等各種不同形態(tài)。例如新技術(shù)、新產(chǎn)品的開發(fā)和更新?lián)Q代過

2、程，需求增長規(guī)律等均可用生命曲線來描述。這種方法是根據(jù)時間序列變化的歷史數(shù)據(jù)，運用三和法、三點法。第三張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月一、例子1、人類成長的生命曲線年齡36912151821242730身高4876112140168172176178180181例1人類身高的成長曲線的生長規(guī)律如表7-1所示 單位：cm年齡身高 圖7-1人身高成長曲線 第一節(jié) 生命曲線的概念與一般模型第四張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例 2如表7-2 是南瓜重量隨時間變化的生長曲線。天2468101214161820222426克120200400100026003300380043004

3、9005100530054005450圖7-2 南瓜重量生長曲線天重量2、生物生長的生命曲線第五張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 典型產(chǎn)品生命周期曲線導(dǎo)入期成長期成熟期衰推期t銷量第六張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月二階差分 三階差分 一階差分環(huán)比指數(shù)注意：增長曲線模型在理論上的變化規(guī)律都遵循著一階差分 、二階差分 、三階差分 、一階差分環(huán)比指數(shù)為一常數(shù)的特征。一階差分補充知識：n階差分第七張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月二、成長曲線預(yù)測模型的基本類型（一）多項式增長曲線模型P225（二）簡單指數(shù)型增長曲線模型簡單指數(shù)型增長曲線模型為：其中：a,b參數(shù)， t時

4、間序列, yt 經(jīng)濟目標(biāo)值 如圖 所示 （1）a0b1a00b1圖7-5 簡單指數(shù)型增長曲線圖( 0，a) t第八張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月將（1）取對數(shù)，有：（2）（3）由（3）可知：其曲線方程為一條直線。 為一階差分為一常數(shù)。即： 結(jié)論:當(dāng)時間序列yt的環(huán)比指數(shù)大體相等，或時間序列yt的對數(shù)一階差分近似為一常數(shù)，可用簡單指數(shù)曲線來擬合實際曲線。 第九張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)論 當(dāng)時間序列 yt 的環(huán)比指數(shù)大體相等或大體相等時，可用修正指數(shù)曲線來擬合實際曲線。1、其模型為： （5）（三）修正指數(shù)型增長曲線模型第十張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月k

5、0，a0，0b1y0=K+a圖7-6 修正曲線的幾種類型tttt圖(d) 飽和后期圖（a）飽和期圖(b) 成長期圖（c）衰退期k0，a 1，b 1k0，a0，b 1k0，a 0，0b1修正曲線模型的幾種類型圖第十一張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月其模型為： （1）（3）（2）結(jié)論：龔柏茲曲線類似于修正曲線。（四）龔柏茲曲線模型第十二張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 0a1 ，0b1y0=Ktttt圖(d) 衰退期圖（a）成長期和成熟前期圖(b) 成長期后半期和衰退期圖（c）成長期0a1，b 1a 1 ，b 1a 1， 0b1y0=K龔柏茲曲線的幾種類型圖 第十三張，PPT共

6、六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月式中：k,a,b為待定參數(shù).由（9）可得一階、二階導(dǎo)數(shù)為(9)(10)k 0，a10b1t圖7-12y0=1/(k+a)（五）羅吉斯曲線其曲線模型yt =0y=1/k第十四張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月羅吉斯曲線拐點左側(cè)呈上凹趨勢，過了該拐點后曲線轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛳掳稼厔?。?）當(dāng)t=0時, 有：yt =1/k+a，則yt =0和yt =1/k都是羅吉斯曲線的漸進線。（2）當(dāng)t時， yt 1/k 當(dāng)t-時， yt 0羅吉斯曲線形狀與龔柏茲曲線形狀很相似，它所描述的經(jīng)濟變量的變化規(guī)律也是開始緩慢增長，而后逐漸加快，達到拐點后，增長率減緩，最后達到一臨界值。第十五

7、張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（六）生命曲線模型識別（略P230）是利用收集到的產(chǎn)品銷售量的數(shù)據(jù)，組成一組時間序列，擬和某種成長曲線，對產(chǎn)品市場生命周期進行分析預(yù)測的方法。生命曲線預(yù)測法比一般直線趨勢有著更廣泛的應(yīng)用，因為它可以反映出現(xiàn)象的相對發(fā)展變化程度。 第十六張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月常用的生命曲線是指修正曲線、龔柏茲曲線、羅吉斯曲線。利用這三種曲線可描述產(chǎn)品市場生命周期的不同階段，從而揭示產(chǎn)品生命周期銷售何時由某一階段向另一階段的轉(zhuǎn)變，預(yù)測產(chǎn)品的市場需求潛量、最大銷售量以及達到飽和狀態(tài)的時間等。增長曲線預(yù)測方法有三和法、三點法、最小二乘法等。當(dāng)極限值k可確定

8、，可采用最小二乘法可簡化計算；不能確定時就用三和法或三點法。但三點法用在時間序列數(shù)據(jù)收集不全的情況下。下面就重點介紹三和法。第十七張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月1、將時間序列分為項數(shù)相等的三段，每段的項數(shù)為r(r=n/3，n為時間序列總項數(shù))，若原序列項數(shù)不能被3整除，需刪除序列最初一期或兩期數(shù)據(jù)；2、時間序列t取值 第一段，0，1，r-1； 第二段， r，r+1，2r-1; 第三段， 2r，2r+1，3r-1;3、分別求出序列每段數(shù)據(jù)的和，第一，第二，第三段數(shù)據(jù)的和分別用1Yt、 2Yt 、 3Yt 表示，增長曲線中的參數(shù)估計，以修正曲線為例，具體步驟如下：第十八張，PPT共六十

9、三頁，創(chuàng)作于2022年6月4、利用公式求出解此方程組得：或第十九張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月用三和預(yù)測法確定成長曲線舉例1某地區(qū)電冰箱銷售資料如表所示，試預(yù)測2005年的銷售量和達到飽和狀態(tài)的時間。 某地區(qū)電冰箱銷售資料 單位：萬臺年份199619971998199920002001200220032004銷售量256390498586656714762800830第二十張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月解：（1）畫散點圖環(huán)比系數(shù)為0.81，0.81,0.80,0.83,0.79,0.79,大體相同，用修正曲線進行預(yù)測。N=9,r=3,t=0,1,2,8,計算得1Yt=1

10、142,2Yt =1956, 3Yt=23921 2 3 4 5 6 7 8 9 900600300第二十一張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第二節(jié) 生命曲線模型的識別在前面，我們介紹了幾種常用的生命曲線模型，但在實際的應(yīng)用中，怎樣根據(jù)時間序列變化，建立生命曲線模型？選擇哪一種模型最合適？這就涉及到生命增長曲線模型的識別問題。下面，介紹幾種識別的方法。第二十二張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月一、模型識別在識別模型之前，我們應(yīng)根據(jù)圖形的幾種特性，掌握要識別模型的大概全貌，然后，才能識別模型。因此要注意以下幾個方面：（一）圖形的單調(diào)性 利用y判斷。（某區(qū)間內(nèi)）（二）極值 利用y和

11、y判斷。（三）拐點 利用y和y判斷。（四）對稱性 利用拐點左右兩端及與對稱中心的極限之差進行比較確定。（五）時間性第二十三張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月二、預(yù)測模型的識別方法（一）目估法這種方法首先將圖畫出來，根據(jù)此圖形，選擇合適的模型。若構(gòu)成指數(shù)形，可選擇簡單指數(shù)形或修正指數(shù)模型；若接近S形，可選擇龔柏茲模型。特點：1、直觀簡便2、若數(shù)據(jù)不足，（不能畫出完整的圖形）對選擇模型造成困難。第二十四張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（二）離差法(i=1,2, ,n)第二十五張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（三）增長特征法這種方法就是以研究動態(tài)序列的增長變化特征與增長曲

12、線的相應(yīng)特征為基礎(chǔ)的一種識別方法。其基本點就是選擇增長曲線在理論上的變化規(guī)律與樣本序列的實際的變化規(guī)律最接近的一種曲線作為選擇的最優(yōu)曲線。具體方法如下：1、計算時間序列的滑動平均值 。其目的是要消除時間序列中的隨機因素，計算公式為（9）第二十六張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2、計算時間序列的平均增長量。其公式為：（10）第二十七張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（10）是平均增長計算公式，主要是因為對動態(tài)時間序列選配趨勢直線時，是以時間原點作為中心進行計算的。直線方程是：y=a+btb是平均增長，其計算公式為：第二十八張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月3、計算時間序

13、列的增長特征時間序列 經(jīng)過移動平均修勻后， 的變化特征，可通過計算平均增長數(shù) 及 和 來判斷識別曲線的模型。如表7-7第二十九張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 的平均增長特征平均增長特征對時間變化的性質(zhì)曲線模型基本一樣直線方程線性變化二次曲線方程線性變化三次曲線方程基本一樣指數(shù)曲線方程線性變化雙指數(shù)曲線方程線性變化龔柏茲曲線方程線性變化羅吉斯曲線方程表7-7 增長特征法判別曲線模型第三十張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月應(yīng)用1某企業(yè) 19932004年銷售額如表7-8所示資料，試建立銷售額的曲線模型。表7-8 19932004年銷售額資料表年份1993199419951996

14、19971998199920002001200220032004銷售額164193255279512606766838941105510881044第三十一張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月思考：1、畫出散點圖，初步識別屬于哪一類？ 2、為識別增長曲線屬于哪一種類型，可采用增長特征法進行識別。在這里我們用以3年為一個跨越期，求出 ，然后再求出 。 3、分別計算出 、 、 、與時間t的相關(guān)系數(shù)r,計算公式如下：具體計算結(jié)果如表5-9所示第三十二張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月年份t19931164-19942199204-19953255242.372.350.29910857

15、-2.90919964279348.7111.70.3202.048-3.03719975512465.7139.70.3002.145-3.19119986606628.0135.50.2162.132-3.46419997766736.7110.20.1502.042-3.69120008838848.3104.00.1232.017-3.83920019941944.789.90.1151.954-3.91520021010551028.058.80.0571.769-4.25620031110887062.3-2004121044-表7-9 1993年2004年銷售額增長特征計算表第三

16、十三張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月由表7-9 可知， 的值基本保持不變。根據(jù)表7-7應(yīng)選取雙曲指數(shù)曲線模型。第三十四張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月在前面，介紹了對實際問題的模型識別，進行完了這一步工作后，還要確定預(yù)測方程里的參數(shù)（待定系數(shù)）后，才完成了建立預(yù)測模型。確定參數(shù)，以預(yù)測模型與實際模型之間的偏差為最小原則。通常是最小二乘法。由于非線性問題用最小二乘法，使得計算非常復(fù)雜，于是用三和法、三點法和優(yōu)選法，下面分別介紹如下： 第三節(jié) 生命曲線模型的參數(shù)估計第三十五張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月一、最小二乘法(略) 二、三和法這種方法是將整個增長的時間序列分

17、為三個相等的時間周期，并對每一個時間周期的數(shù)據(jù)求和后，再估計參數(shù)。它適用于“S”形的模型。現(xiàn)以修正指數(shù)方程應(yīng)用“三和法”確定參數(shù)為例：第三十六張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月由修正指數(shù)方程 ，將時間序列分為三段，假定有3n段，每段為n。 則第一段各期的觀察值求和為：(1)第一段為：第二段為：第三段為：第三十七張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月(2)(3)將（2）-（1）和（3）-（2）得：（4）（5）（5）/（4）有：（6）第三十八張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（7）（8）（9）（10）第三十九張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月分析誤差的大小對參數(shù)的影響假

18、設(shè)k=120，a=-60，b=0.5各期的時間序列數(shù)據(jù)按yt=120-60*0.5t 的規(guī)律形成，當(dāng)t=0，1，2，11的各時期yt，用三和法時，誤差的大小對 a，b，k的影響。見表7-10 表7-10 隨機誤差t 對模型參數(shù)的影響計算表第四十張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月t060+2.462.4190+4.894.82105-6.099.03112.5+6.0118.5367.5374.74116.25-1.2115.055118.12+3.6121.726119.06-2.4116.667119.58+2.5122.03472.96475.468119.77+2.4122.17

19、9119.88+1.2121.0810119.94-4.8115.1411119.970119.97497.56478.36第四十一張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)用第二列的數(shù)據(jù)去估算，其參數(shù)為a=-60,b=0.5,k=120。但用第4列的數(shù)據(jù)去估算時，b=0.3528,a=-67.5K=114,其模型為：由此可見，用三和法，隨機因素的大小對參數(shù)影響很大。因此，用這種方法時，最好先用指數(shù)平滑法對時間序列濾去隨機因素，再用此法。在 式中，當(dāng)： 第四十二張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月三和法特點：1、對隨機因素的干擾很敏感；2、時間序列變化范圍??；3、收集的數(shù)據(jù)要完整。第四

20、十三張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月三、三點法這種方法是用在觀察數(shù)據(jù)不全的情況下，假定曲線通過已知的相鄰間隔相等的三個點(必要條件)，現(xiàn)假設(shè)：第四十四張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月(1)(3)(5)(6)（2）（4）第四十五張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月(5) (6)有：(7)(8)將（7）代入（5）有：（9）將（9）代入（2）得：（10）將a，b，k代入（1），即可得預(yù)測模型。第四十六張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月三點法特點：1、在計算模型參數(shù)時，僅用了三個數(shù)據(jù)點，因而選用數(shù)據(jù)時，要盡量未受到隨機因素干擾的數(shù)據(jù)，因此，在可能情況下，最好選均值。2

21、、計算簡單。第四十七張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月應(yīng)用2現(xiàn)用三點法估算修正指數(shù)型增長曲線模型的各參數(shù)k、a和b。設(shè)曲線通過三點y0=15，y1=90，y2=125,且相鄰兩點之間的間距為6個時間單位（2P+1=6），則第四十八張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月a0,0b1第四十九張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月以上介紹“三和法”和“三點法”雖然在計算上簡單，但精度較低?！白钚《朔ā本容^高，但遇到非線性問題計算非常煩瑣。為了簡化計算，下面介紹在優(yōu)選法的基礎(chǔ)上利用“最小二乘法”簡稱“優(yōu)選法”。具體方法如下:由龔柏茲曲線 （1）已知時間序列的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)為：若能通過

22、某種方式首先估出參數(shù)k，(1)就可線性化了。四、優(yōu)選法第五十張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月即：有：令：（2）（3）第五十一張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月由（3）可將（2）轉(zhuǎn)化為： （4）其中：A，B為待定參數(shù)。由最小二乘法可得:(5)(6)現(xiàn)來確定k，k的優(yōu)選標(biāo)準(zhǔn)是使： 則估計k的方法如下：1、根據(jù)預(yù)測對象的發(fā)展規(guī)律，試估計k的取值范圍。 例如，取2、按0.618法選取k的第一個估計值，計算k：并將 代入（3），與歷史數(shù)據(jù)算出 的時間序列值 組成新的時間序列數(shù)據(jù) ，然后用最小二乘法估計參數(shù)A、B，再求出a1,b1.第五十二張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月3、計

23、算殘差Qi4、按0.618法的步驟，繼續(xù)對k作第二次選擇試算（7）（8）返回第二步，試估計出a、b并類似第三步求出殘差平方和Q2：（9）5、對比Q1和Q2，按0.618法的基本原理，若Q2Q1，則k的試算區(qū)間為,若Q1 Q2略去（a） (b)若Q1 Q2略去第五十三張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月6、按0.618法，的優(yōu)選步驟，在留下的區(qū)間內(nèi)繼續(xù)優(yōu)選k值，直到選出一個使殘差平方和最小的為止。 第五十四張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第四節(jié) 生命預(yù)測法應(yīng)用舉例一、龔伯茲曲線預(yù)測應(yīng)用例7-7 已知某地區(qū)某商品19952003年銷售額如表7-11所示，試預(yù)測2004和2005年的

24、銷售額各為多少萬元？表7-11 19952004年銷售額年份199519961997199819992000200120022003銷售額258503280044480560006496072080802808584089900第五十五張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月圖7-16 銷售額變化趨勢圖t銷售額2、識別模型3、確定參數(shù)，建立模型（三和法、三點法、優(yōu)選法）4、進行預(yù)測。1、根據(jù)銷售額畫出散點圖分析： 根據(jù)散點圖，曲線的變化趨勢是一個S型的，為了確定合適的預(yù)測模型，需要計算時間序列數(shù)據(jù)的對數(shù)一階差分及其環(huán)比指數(shù)，計算結(jié)果。第五十六張，PPT共六十三頁，創(chuàng)作于2022年6月解:（1）模型識別計算表7-12年份年t銷售額Yi(萬元)lgytytyt/yt-1（%）三段和相對誤差(%)19950258504.4125-242316.236199