工程力學-材料力學-動量矩定理

1、第 12 章 動 量 矩 定 理本章重點：質(zhì)點系動量矩的概念及計算，轉(zhuǎn)動慣量的概念，質(zhì)點系相對于固定點的動量矩定理，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程及其應(yīng)用。 1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩(角動量)質(zhì)點Q對點O的動量矩的定義12-1 質(zhì)點和剛體的動量矩 單位：kgm2/s質(zhì)點對z軸的動量矩 是質(zhì)點的動量在Oxy平面的投影(mv)xy對O點的矩。是代數(shù)量，從 z 軸正向看，逆時針為正，順時針為負。質(zhì)點的動量對坐標軸的矩 對點的動量矩 對軸的動量矩 即 質(zhì)點系的動量矩(1) 剛體平移的動量矩可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點來計算。2. 剛體的動量矩(2)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動量矩 轉(zhuǎn)動慣量 單位：kgm2 轉(zhuǎn)動慣

2、量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。質(zhì)量是剛體移動時慣性的度量。2. 剛體的動量矩教材P213表121列出了簡單均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量1) 回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）的概念 或3. 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量 轉(zhuǎn)動慣量2) 平行軸定理 式中：zC軸為過質(zhì)心且與z軸平行的軸，d 為z軸與zC軸之間的距離。即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。3. 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量 桿OA由鉸鏈O與地面連接，它對軸O的轉(zhuǎn)動慣量為JO；一高為h、質(zhì)量為m1的均質(zhì)矩形板沿軸x以速度v平移，并推動桿OA繞軸O轉(zhuǎn)動；一質(zhì)量為m2的質(zhì)點E以相對速度vr在板上運動。試求系統(tǒng)運

3、動到圖示位置時對軸O（軸z）的動量矩。例12-1解：1 、 LZ(OA)2、 LZ(板)用點的合成運動求例12-1 續(xù)3、 LZ(E)結(jié)果：例12-1 續(xù) 鐘擺簡化如圖所示。已知均質(zhì)細桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量都為m，圓盤半徑R，桿長3R，求擺對通過懸掛點O并垂直于圖面的z軸的轉(zhuǎn)動慣量。 例12-2解： 查表得： 根據(jù)平行軸定理 1質(zhì)點的動量矩定理設(shè)O為定點，有：其中： (O為定點) 12-2 動量矩定理投影式：因此 稱為質(zhì)點的動量矩定理：質(zhì)點對某定點的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用力對同一點的矩。質(zhì)點的動量矩定理得 由于 對第i個質(zhì)點有：對n個質(zhì)點有：2. 質(zhì)點系的動量矩定理投影式：注意：內(nèi)力不能

4、改變質(zhì)點系的動量矩。稱為質(zhì)點系的動量矩定理：質(zhì)點系對某定點O的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一點之矩的矢量和。2. 質(zhì)點系的動量矩定理已知：m1，r，k ，m2 ，R，解：選系統(tǒng)為研究對象,受力分析如圖例12-3求：彈簧被拉長s時，重物m2的加速度a2 。設(shè)塔輪該瞬時的角速度為，則解得：若 ，則 常矢量；若 ，則 常量。3動量矩守恒定律主動力：約束力：即：或或與 相似12-3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程已知： ，求 。解： 由上式可見，只有當定滑輪勻速轉(zhuǎn)動（包括靜止）或雖非勻速轉(zhuǎn)動，但可忽略J 時， F1 、F2才相等。例12-5已知： ，求：1.；2. Mf解： 因為系統(tǒng)

5、外力對z軸的矩為零，故系統(tǒng)對z軸動量矩守恒。例12-61. 選系統(tǒng)為研究對象2. 選輪2為研究對象積分1對質(zhì)心的動量矩由于得其中如圖，以質(zhì)心C為原點，取平移坐標系Cxyz。質(zhì)點系相對質(zhì)心C為的動量矩為：12-4 質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理 質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩，無論是以相對速度計算還是以絕對速度計算，其結(jié)果都相同。質(zhì)點系對任一點O的動量矩：質(zhì)點系相對于任意定點的動量矩結(jié) 論 質(zhì)點系對任一點O的動量矩等于集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動量 對O點的動量矩，與質(zhì)點系相對于質(zhì)心動量矩的矢量和。質(zhì)點系相對于任意定點的動量矩由于即2 相對質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理：質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間

6、的一階導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩。該定理在形式上與質(zhì)點系相對于固定點的動量矩定理完全一樣。提 示質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理或 剛體的平面運動選質(zhì)心為基點，可分為隨質(zhì)心的平移和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，則剛體平面運動微分方程是質(zhì)心運動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理。12-5 剛體的平面運動微分方程以上各組均稱為剛體平面運動微分方程。應(yīng)用時一般用投影式：剛體的平面運動微分方程例12-8已知：l，m，=60。求：1. AB；2. FA解：繩子剛被剪斷，桿AB作平面運動，受力如圖，根據(jù)平面運動微分方程 補充運動學方程 在y軸方向投影 例12-9已知：如圖r，m， m1。求：1. aA；2. FAB ；3. FS2解：