信號分析課件：第4章 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

1、第 4 章 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)主 要 內(nèi) 容濾波器概述 典型模擬濾波器的設(shè)計(jì)無限沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有限沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 濾波器，是對輸入信號起到濾波的作用。 提取有用信號，抑制不需要的干擾； 把信號分成不同的頻率分量； 信號檢測及信號估計(jì)。經(jīng)典濾波現(xiàn)代濾波：4.1 濾波器概述一、濾波器基本原理 1 濾波器：對輸入信號起濾波作用。h(n)x(n)y(n)則LTI(Linear Time Invariant)系統(tǒng)的輸出為：假定輸入信號x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的頻帶。當(dāng)x(n）經(jīng)過一個線性系統(tǒng)（即濾波器）后即可將欲去除的成分有效地去除。|X(e

2、jw)|wwc無用wc|H(ejw)|Y(ejw)|wwc 經(jīng)典濾波器從功能上分又可分為：低通濾波器（LPAF/LPDF):Low pass filter帶通濾波器(BPAF/BPDF):Bandpass filter高通濾波器(HPAF/HPDF):High pass filter帶阻濾波器(BSAF/BSDF):Bandstop filter 每一種又可分為：數(shù)字(Digital)和模擬(Analog)濾波器。2 分類模擬濾波器：RC濾波、LC濾波數(shù)字濾波器：是一種計(jì)算程序，處理離 散信號。模擬濾波器的理想幅頻特性LPAFHPAFBPAFBSAF數(shù)字濾波器的理想幅頻特性LPDFHPDFBP

3、DFBSDF.3 技術(shù)要求 通帶最大衰減：阻帶最小衰減：二 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器是用來處理數(shù)字信號的專用處理系統(tǒng)。例1：已知一個數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)實(shí)現(xiàn)上式的運(yùn)算：移位、乘、加。則其相應(yīng)的差分方程為：所謂數(shù)字濾波實(shí)質(zhì)是一種運(yùn)算過程，用來描述離散系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系的差分方程或卷積和，給它提供一個簡明的運(yùn)算規(guī)則，使它完成對數(shù)據(jù)的處理。數(shù)字濾波不同于模擬濾波，因?yàn)槟M濾波是對函數(shù)進(jìn)行處理。例2：已知一個數(shù)字濾波器其傳輸函數(shù)為則根據(jù)傳輸函數(shù)幅度特性：實(shí)現(xiàn)： 數(shù)字濾波器是一種數(shù)字式的處理設(shè)備，它的設(shè)計(jì)是建立在對離散系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上。但是某些濾波器的設(shè)計(jì)過程中，為了保留模擬濾波器的良好特性，往往按給定的指

4、標(biāo)先設(shè)計(jì)一個模擬濾波器，然后進(jìn)行數(shù)字化，所以了解模擬濾波器的特性和設(shè)計(jì)方法是很有必要的。主 要 內(nèi) 容濾波器概述 典型模擬濾波器的設(shè)計(jì)無限沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有限沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) AF的衰減（衰耗）特性工作衰耗取決于幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù)4.2 典型模擬濾波器設(shè)計(jì)模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有p, p,s和s。 p；通帶截止頻率 s：阻帶截止頻率 p：通帶中最大衰減系數(shù) s；阻帶最小衰減系數(shù) p和s一般用dB數(shù)表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成： 如果=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示為 以上技術(shù)指標(biāo)用圖所示。圖中c稱為3dB截止頻率，

5、因 由模方函數(shù)求AF的傳遞函數(shù)結(jié)論：模方函數(shù)與傳遞函數(shù)關(guān)系密切，可以從給定 的模方函數(shù)求出傳遞函數(shù)。一、巴特沃思低通(Butterworth)濾波器 基本性質(zhì) 從給定的指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器，其中心是如何尋找一個恰當(dāng)?shù)慕坪瘮?shù)來逼近理想特性。 巴特沃思濾波器是以巴特沃思近似函數(shù)作為濾波器的傳輸函數(shù)，該函數(shù)以最高階泰勒級數(shù)的形式來逼近理想矩形特性。模方函數(shù)：隨著階次N的增加，通帶越平坦，越接近理想的特性， ，逼近矩形。巴特沃斯濾波器幅度特性2）幅度函數(shù)特點(diǎn)： 3dB不變性 通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小 過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小 Butterworth低通濾波器的幅度函數(shù)只由階數(shù)N控制性質(zhì)：

6、對不同的N，總存在 ，幅度隨 著 的升高單調(diào)下降。當(dāng) 這說明在 處最“平坦”最大平坦近似。頻率遠(yuǎn)離 ，在高頻范圍內(nèi)，頻率每增加一倍，衰耗增加6NdB。 設(shè)計(jì)過程按給定指標(biāo)確定N ，通帶最大衰耗 ，阻帶最小衰耗極點(diǎn)分布圖N=3ResjImsS平面N=4ResjImsS平面由模方函數(shù)求傳輸函數(shù)H(s) 巴特沃思函數(shù)極點(diǎn)分布規(guī)律 為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式為設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個，它們分別為巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N和截止頻率c取s平面左半平面的N個極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)確定

7、技術(shù)指標(biāo)：二、切比雪夫(Chebyshev)濾波器切比雪夫?yàn)V波器是一種全極型濾波器，它是由切比雪夫多項(xiàng)式的正交函數(shù) 推導(dǎo)出來，采用了在通帶內(nèi)等波動，在通帶外衰減單調(diào)遞增的準(zhǔn)則去逼近理想特性。它比巴特沃斯濾波器在通帶內(nèi)有更均勻的特性，是在所有全極型濾波器中過渡帶最窄的最優(yōu)濾波器。 11切比雪夫?yàn)V波器幅度特性主 要 內(nèi) 容濾波器概述 典型模擬濾波器的設(shè)計(jì)無限沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有限沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 4.3 無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)一、無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器 (Infinite impulse response, IIR) 若bi全為零，則有具有(1)式形式的濾波器

8、簡稱為FIR濾波器 (Finite Impulse Response) bi中至少有一項(xiàng)不為零，并且分母中至少有一個根不為分子所抵消具有(2)式形式的濾波器簡稱為IIR濾波器 (Infinite Impulse Response)二、設(shè)計(jì)IIR濾波器的基本條件可實(shí)現(xiàn)性（因果的，穩(wěn)定的）實(shí)現(xiàn)從模擬到數(shù)字的轉(zhuǎn)換 在一定條件下用離散的變量Z代替連續(xù)變量S，則模擬濾波器的傳輸函數(shù)H(S)就有可能變換成IIR的傳輸函數(shù)H(Z) 結(jié)論：在實(shí)際設(shè)計(jì)IIR時，常根據(jù)指標(biāo)先設(shè)計(jì)一個模擬濾波器，然后將其數(shù)字化。從模擬到數(shù)字的映射要滿足兩個條件：為了保持模擬濾波器頻率特性，必須將S平面的復(fù)頻率軸映射到Z平面的單位圓

9、上。 為了保持模擬濾波器的穩(wěn)定性，將S左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)。三、雙線性變換1 基本思路 按給定指標(biāo)設(shè)計(jì)AF得到H(s) H(z)壓縮頻帶Z變換S平面RezZ平面2. 基本問題映射 ：Z變換：為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應(yīng)關(guān)系，引入系數(shù) c3 變換常數(shù)c的選擇某一特定頻率嚴(yán)格相對應(yīng)：低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系：特定頻率處頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等，可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率位置。4 逼近情況1）s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內(nèi)s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上5 優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)：避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象s 平面與 z 平面為單值變換缺點(diǎn)： 除了零頻率附近， 與 之間

10、嚴(yán)重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會產(chǎn)生畸變1）線性相位模擬濾波器 非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變 預(yù)畸變給定數(shù)字濾波器的截止頻率 ，則按 設(shè)計(jì)模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到 為截止頻率的數(shù)字濾波器6、模擬濾波器的數(shù)字化方法四、利用頻率變換設(shè)計(jì)IIR濾波器方法1：方法2：設(shè)計(jì)模擬低通濾波器從模擬到模擬頻率變換實(shí)現(xiàn)濾波器數(shù)字化脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換脈沖響應(yīng)不變法從數(shù)字到數(shù)字頻率變化實(shí)現(xiàn)低通濾波器數(shù)字化設(shè)計(jì)模擬低通濾波器雙線性變換數(shù)字域頻帶變換法歸一化模擬低通數(shù)字低通數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字域頻帶變

11、換或雙線性變換沖激響應(yīng)不變法要求：階數(shù)：N極點(diǎn)：零點(diǎn)：則：即：為全通函數(shù) 數(shù)字低通 數(shù)字低通得：由主 要 內(nèi) 容濾波器概述 典型模擬濾波器的設(shè)計(jì)無限沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有限沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法IIR數(shù)字濾波器：可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)但相位非線性FIR數(shù)字濾波器： 可以嚴(yán)格線性相位，又可任意幅度特性因果穩(wěn)定系統(tǒng)可用FFT計(jì)算但階次比IIR濾波器要高得多 FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)：系統(tǒng)函數(shù)：在 z 平面有N 1 個零點(diǎn)在 z = 0 處是N 1 階極點(diǎn) 4.4 有限長脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)h(n)為實(shí)序列時，其頻率響應(yīng)：1、線性相

12、位條件即群延時 是常數(shù)第二類線性相位：第一類線性相位：線性相位是指 是 的線性函數(shù)一、 FIR濾波器的特性第一類線性相位：第一類線性相位 的充要條件：n = (N 1) /2 為h(n)的偶對稱中心第二類線性相位 的充要條件：n = (N 1) /2 為h(n)的奇對稱中心2、線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)的特點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)：由頻率響應(yīng)：1）h(n)偶對稱為第一類線性相位相位函數(shù)：頻率響應(yīng)：2）h(n)奇對稱相位函數(shù)：為第二類線性相位3、幅度函數(shù)的特點(diǎn)1）h(n)偶對稱，N為奇數(shù)幅度函數(shù)：其中：其中：2）h(n)偶對稱，N為偶數(shù)幅度函數(shù)：其中：其中： 故不能設(shè)計(jì)成高通、帶阻濾波器 3）h(n)奇對稱

13、，N為奇數(shù)幅度函數(shù)：其中：其中： 4）h(n)奇對稱，N為偶數(shù)幅度函數(shù)：其中：其中： h(n)為奇對稱時，有900相移，適用于微分器和900移相器，而選頻濾波器采用h(n)為偶對稱時二、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法 1、設(shè)計(jì)方法w(n)：窗函數(shù)序列要選擇合適的形狀和長度以低通濾波器為例討論：線性相位理想低通濾波器的頻率響應(yīng)：其理想單位抽樣響應(yīng)：中心點(diǎn)為 的偶對稱無限長非因果序列取矩形窗：則FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)： 加窗處理后對頻率響應(yīng)的影響：時域乘積相當(dāng)于頻域卷積而矩形窗的頻率響應(yīng)：理想濾波器的頻率響應(yīng)：其幅度函數(shù)：則FIR濾波器的頻率響應(yīng)： 幅度函數(shù)：加窗函數(shù)的影響：不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬形成過渡帶，其寬度

14、（兩肩峰之間的寬度）等于窗函數(shù)頻率響應(yīng)的主瓣寬度。在 處出現(xiàn)肩峰值，兩側(cè)形成起伏振 蕩，振蕩的幅度和多少取決于旁瓣的幅度和多少改變N只能改變窗譜的主瓣寬度，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例。其相對比例由窗函數(shù)形狀決定，稱為吉布斯（Gibbs）效應(yīng)2、各種窗函數(shù)窗函數(shù)的要求：窗譜主瓣盡可能窄以獲得較陡的過渡帶盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度以減小肩峰和波紋矩形窗主瓣寬度最窄：旁瓣幅度大窗譜：幅度函數(shù)： 主瓣寬度寬：旁瓣幅度較小窗譜：幅度函數(shù)： 三角形（Bartlett）窗漢寧（Hanning）窗（升余弦窗）主瓣寬度寬：旁瓣幅度小幅度函數(shù)： 主瓣寬度寬：旁瓣幅度更小幅度函數(shù)： 海明（Hamming）窗

15、 （改進(jìn)的升余弦窗）主瓣寬度最寬：旁瓣幅度最小幅度函數(shù)： 布萊克曼Blackman）窗（二階升余弦窗） ：第一類變形零階 貝塞爾函數(shù)凱澤（Kaiser）窗窗函數(shù)窗譜性能指標(biāo)加窗后濾波器性能指標(biāo)旁瓣峰值/dB主瓣寬度過渡帶寬阻帶最小衰減/dB矩形窗三角形窗漢寧窗海明窗布拉克曼窗凱澤窗-13-25-31-41-57-57244460.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80阻帶最小衰減只由窗形狀決定過渡帶寬則與窗形狀和窗寬N都有關(guān)3、窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟給定理想的頻率響應(yīng)函數(shù)及技術(shù)指標(biāo)求出理想的單位抽樣響應(yīng)根據(jù)阻帶衰減選擇窗函數(shù)計(jì)算頻率響應(yīng) ，驗(yàn)算指標(biāo)是否滿足要求根據(jù)過渡帶寬

16、度確定N值求所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)公式法：IFFT法：計(jì)算其IFFT，得：對 M點(diǎn)等間隔抽樣：4、線性相位FIR低通濾波器的設(shè)計(jì)解：1）求數(shù)字頻率例：設(shè)計(jì)一個線性相位FIR低通濾波器，給定抽樣頻率 ，通帶截止頻率 ，阻帶起始頻率為 ，阻帶衰減不小于-50dB，幅度特性如圖所示2）求hd(n)4）確定N 值3）選擇窗函數(shù)：由 確定海明窗（-53dB）5）確定FIR濾波器的h(n)6）求 ，驗(yàn)證若不滿足，則改變N或窗形狀重新設(shè)計(jì)IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較IIR濾波器FIR濾波器h(n)無限長h(n)有限長極點(diǎn)位于z平面任意位置濾波器階次低非線性相位遞歸結(jié)構(gòu) 不能用FFT計(jì)算可用模擬

17、濾波器設(shè)計(jì)用于設(shè)計(jì)規(guī)格化的選頻濾波器極點(diǎn)固定在原點(diǎn)濾波器階次高得多可嚴(yán)格的線性相位一般采用非遞歸結(jié)構(gòu)可用FFT計(jì)算設(shè)計(jì)借助于計(jì)算機(jī)可設(shè)計(jì)各種幅頻特性和相頻特性的濾波器4.5 與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù) buttord N，Wn = buttord (Wp，Ws，Rp，Rs) N，Wn = buttord (Wp，Ws，Rp，Rs，s) buttap z，p，k = buttap(N) lp2lp，lp2hp，lp2bp，lp2bsbilinear B，A = lp2lp (b，a，W0)B，A = lp2hp (b，a，W0) B，A = lp2bp (b，a，W0，Bw) B，A = lp2bp (b，a，W0，Bw) Bz，Az =