雙曲函數(shù)解讀

1、雙曲函數(shù)解讀雙曲函數(shù)解讀4/4雙曲函數(shù)解讀雙曲函數(shù)我們?cè)诘谒墓?jié)考慮過(guò)自然指數(shù)函數(shù)ex，在某些應(yīng)用上，有些特其余函數(shù)是由ex和ex所組成。定義0.6exexexexsinhx2,coshx2sinhxexetanhxexecoshx12sechxexecoshxxxx,coshxexecothxexesinhx,12cschxexesinhxxxx這類函數(shù)稱為雙曲函數(shù)（hyperbolicfunctions）。讀者能夠發(fā)現(xiàn)雙曲函數(shù)的定義類似三角函數(shù)的定義，甚至符號(hào)也幾乎一樣。也是先定義sinhx和coshx,分別稱為雙曲正弦（hyperbolicsine）和雙曲餘弦（hyperboliccosi

2、ne），再由這兩個(gè)來(lái)定義其餘四個(gè)。在上一節(jié)，我們發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)和圓有很親密的關(guān)係，事實(shí)上(cost,sint)可看成單位圓x2y21上某一點(diǎn)的座標(biāo)，而(cosht,sinht)可看作雙曲線x2y21上某一點(diǎn)的座標(biāo)，參考下圖：圖0-26雙曲函數(shù)有一些恆等式類似三角恆等式，讀者可由定義自行驗(yàn)證之。(1)sinh(x)sinhxcosh(x)coshx(3)cosh2xsinh2x11tanh2xsech2x(5)sinh(xy)sinhxcoshycoshxsinhy(6)cosh(xy)coshxcoshysinhxsinhy由雙曲函數(shù)的定義，可獲得雙曲函數(shù)的圖形以下：反雙曲函數(shù)由上邊的圖形可看出

3、sinhx有，假如限制coshx的定義域是函數(shù)。和0,tanhx在區(qū)間(,時(shí)，coshx也是)是1-1的，但coshx沒(méi)1-1的，這時(shí)它們均會(huì)有反ysinh1xxsinhyycosh1xxcoshy且y0,x1ytanh1xxtanhy因?yàn)殡p曲函數(shù)是由自然指數(shù)函數(shù)來(lái)定義，而自然指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是自然對(duì)數(shù)函數(shù)，所以反雙曲函數(shù)可用自然對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)表示，是很自然的。(1)sinh1xln(xx21),x(2)cosh1xln(xx21),x1(3)tanh1x1ln(1x),1x121x(4)coth1x1ln(x1),|x|12x1(5)sech1xln(11x2),0 x1x(6)csch1xln(11x2),x0 x我們將驗(yàn)證第（1）式，其餘的讀者可自行用類似的方法來(lái)驗(yàn)證。証(1)：令ysinh1xxsinhyeyey。2接下來(lái)我們要解y以x表示。上式移項(xiàng)可得ey2xey0e2y2xey10ey2x4x24xx212因ey0而xx210。所以我們有eyxx21yln(xx21)。六個(gè)反雙曲函數(shù)的圖形以下：習(xí)題0-61.若sinhx3，求其餘雙曲函數(shù)在x的函數(shù)值。42.證明cosh1xl