調(diào)和方程和強(qiáng)極值原理

1、4.4 調(diào)和方程和強(qiáng)極值原理 一. 第一邊值外問(wèn)題解的唯一性和穩(wěn)定性的解如果存在，則解是唯一的和穩(wěn)定的。約定定理1 第一邊值外問(wèn)題證明：設(shè)都是問(wèn)題（I）的解，則在內(nèi)調(diào)和，在上連續(xù)，且及，要證在內(nèi)。數(shù)學(xué)物理方程的邊界及所圍成的區(qū)域，使得M點(diǎn)落在由及記為利用反證法。內(nèi)u不恒等于零，則必存在，使，不妨假設(shè)，以，其邊界球面內(nèi)，可使得在上有因此調(diào)和函數(shù)u在上都取不到最大內(nèi)恒等于零，即。一點(diǎn)原點(diǎn)為心，足夠大R為半徑作球且由條件值，這與調(diào)和函數(shù)的極值原理矛盾，穩(wěn)定性的證明留給同學(xué)們。如果在因此u只能在數(shù)學(xué)物理方程定理2 設(shè)經(jīng)過(guò)區(qū)域的邊界上任一點(diǎn)M，都可以的球，此球在點(diǎn)M與相切，內(nèi)調(diào)和，在上連續(xù)且不恒等于常數(shù)

2、，u在上處取得它的最小值，點(diǎn)的外法向其中n為上的單位外法向，作一個(gè)屬于某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，則必成立的邊界點(diǎn)u的外法向?qū)?shù)大于零。設(shè)u在若u在類似地，在達(dá)到最大值二. 強(qiáng)極值原理數(shù)學(xué)物理方程證明：由假設(shè)，過(guò)點(diǎn)作球，使其與在點(diǎn)相切，且的內(nèi)部全落在內(nèi)，內(nèi)任一點(diǎn)的值滿足所以要證明的是等號(hào)不能成立。球面由極值原理，u在不妨假設(shè)的球心為原點(diǎn)，與的同心球其中，顯然滿足下列三個(gè)條件殼所圍成的區(qū)域D中作輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)物理方程，2在內(nèi)31再作函數(shù)其中，下證仍在點(diǎn)取得最小值。上，所以因?yàn)樵跀?shù)學(xué)物理方程而在上設(shè)，取有 而在D內(nèi)，W不會(huì)取到最小值，即，但通過(guò)直接計(jì)算，在取得最小值，即這樣，就證明了因?yàn)樵谧钚≈迭c(diǎn)，應(yīng)有數(shù)學(xué)物

3、理方程故在處，有即數(shù)學(xué)物理方程現(xiàn)在研究調(diào)和方程的第二邊值內(nèi)問(wèn)題容易看出問(wèn)題（II）的解如果存在，就不會(huì)唯一，因?yàn)槿绻鹵是第二邊值內(nèi)問(wèn)題的解，u+c也是同一問(wèn)題的解，但可以利用強(qiáng)極值原理證明下面的結(jié)果。的邊界滿足定理2中的條件，二. 第二邊值問(wèn)題解的唯一性定理3 如果區(qū)域則問(wèn)題（II）的解除相差一個(gè)附加常數(shù)外是唯一的。數(shù)學(xué)物理方程，則由極值原理，u在上某點(diǎn)證明：設(shè)都是問(wèn)題（II）的解，滿足（1）取得，與（1）式，即。如果最小值，矛盾，因此再由強(qiáng)極值原理得則數(shù)學(xué)物理方程，且此球在點(diǎn)M與相切，則問(wèn)題的邊界上每一點(diǎn)M都可作現(xiàn)在來(lái)研究第二邊值外問(wèn)題定理4 設(shè)經(jīng)過(guò)區(qū)域一個(gè)球（III）的解是唯一的。數(shù)學(xué)物理方程及證明：設(shè)都是問(wèn)題（III）的解，滿足（2）由（3）式知，對(duì)任意，必可找到充分大的R，且其球面上每一點(diǎn)P，有，于是在由所圍成的內(nèi)，u是調(diào)和函數(shù)，且u在上連續(xù)。（3）使以原點(diǎn)為心，R為半徑的球區(qū)域則數(shù)學(xué)物理方程上取到最（?。┲担?，由（3）式得，定理得證。，由極值原理，u不能在內(nèi)取到最大上取到最大（?。┲担?，內(nèi)任何一點(diǎn)，都有，由的任意性，因此在整個(gè)內(nèi)，只能，內(nèi)，若上取到