一元線性回歸模型的應(yīng)用

1、一元線性回歸模型的應(yīng)用第1頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六一、區(qū)間估計有關(guān)知識的回顧1、點估計 根據(jù)總體參數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造一個統(tǒng)計量，然后由樣本資料計算出統(tǒng)計量的值，并直接作為相應(yīng)的總體參數(shù)值得替代。常見的點估計有最小二乘估計、極大似然估計、矩估計等。2、區(qū)間估計 區(qū)間估計就是用兩個估計值所構(gòu)成的實軸區(qū)間作為總體參數(shù)取值的可能范圍。設(shè) 和 是 的兩個估計量，用 或 直接替換 就是點估計，若用（ ， ）估計 ，這就是區(qū)間估計。 第2頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六舉例說明 一大型超市為研究顧客的購買額，抽取了100個客戶作樣本，這些顧客平均花費水平

2、為80元，標(biāo)準(zhǔn)差是25元，試求總體平均購買額的變化范圍（ ）解：根據(jù)題意，n=100, =80，S=25，由統(tǒng)計學(xué)原理知，在原假設(shè)成立時，統(tǒng)計量 服從自由度為25的t分布，其分布圖象大致是第3頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六t統(tǒng)計量的值落在 與 之間的概率是 ，所以有下面的等式成立代入有關(guān)數(shù)據(jù)，查課本370頁的t分布表，找到 =2.06，并計算得 上述區(qū)間74.85，85.15稱為 的置信度為95%的置信區(qū)間，0.95稱為置信水平或置信度。該區(qū)間表示意義是我們以95%的概率斷定這個大型超市全體消費者的平均購買額落在區(qū)間74.85，85.15內(nèi)。 第4頁，共32頁，20

3、22年，5月20日，23點25分，星期六二、總體條件均值與個別值的預(yù)測值1、總體條件均值E(Y|X)的預(yù)測值含義在總體回歸函數(shù)為 的情況下，Y在 時，條件均值為 其含義是當(dāng)研究的總體的自變量X的取值為 時，該總體因變量的均值是 ，在例2.1.1中，當(dāng)X=4000時，E(Y|X=4000）=3004.8表示當(dāng)這個社區(qū)有一部分居民的月收入達(dá)到4000元時，該社區(qū)這一部分居民平均消費水平將達(dá)到3004.8元。第5頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六總體均值的區(qū)間估計含義：在例中，當(dāng)X=4000時，E(Y|X)的95%置信區(qū)間是3004.8-1.96115.76， 3004.8+

4、1.96115.76=2777.9，3231.69，其含義是當(dāng)這個社區(qū)有一部分居民收入達(dá)到4000元時，我們以95%的概率斷定這一部分居民平均月消費額在2777.9元至3231.69元之間。 2、個別預(yù)測值的含義個別預(yù)測值表示當(dāng)總體回歸函數(shù)為 的情況下，Y在 時，條件均值為 其含義是當(dāng)研究的總體中有一個個體，其自變量X的取值為 時，該個體的因變量預(yù)測值是 第6頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六在例2.1.1 中，當(dāng)總體自變量X的取值為4000時，個別值 的預(yù)測值的點估計是3004.8元。表示當(dāng)該社區(qū)居民中，若有一個居民其月收入達(dá)到4000元時，估計他（或她）的月消費額是

5、3004.8元。個別值 的區(qū)間估計含義 若在該社區(qū)中，有一個居民其月收入達(dá)到4000元時，他（或她）的月消費額的95%置信區(qū)間是3004.8-1.96163.71，3004.8+1.96163.71，也就是2683.93，3325.67。表示意義是我們可以以95%的概率斷定他（或她）的月消費額在2683.93至3325.67元之間。從上面的分析知道，對同一個總體，當(dāng)自變量 時，其總體均E(Y|X= )預(yù)測值和個別值 的預(yù)測值的點估計是相同的(都是 ） ，但是，它們的區(qū)間估計是不同的。這是因為它們的方差不同所致。它們的方差分別是 同時，即使它們的點估計是相同的，但是所表示的意義是不同的，請同學(xué)們

6、注意這個問題。 第7頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六例2.5.1講解 從總體上考察中國居民收入與消費支出的關(guān)系。下表給出了以年不變價測算的中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（）與以居民消費價格指數(shù)（1990年為100）縮減的人均居民消費支出（CONSP）兩組數(shù)據(jù)。這兩組數(shù)據(jù)是1978-2000年的時間序列數(shù)據(jù)（time series data), 即觀測值是連續(xù)不同年份中的數(shù)據(jù)，該表的數(shù)據(jù)與表2.1.1中的數(shù)據(jù)不同，表2.1.1中的數(shù)據(jù)涉及的是同一年份中不同居民家庭的可支配收入與消費支出，因此也稱為截面數(shù)據(jù)（cross-section data).第8頁，共32頁，2022年，5月

7、20日，23點25分，星期六年份人均居民消費支出 人均GDP 19781979198019811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199819992000395.8437.0464.1501.9533.5572.8635.6716.0746.5788.3836.4779.7797.1861.4966.61048.61108.71213.11322.81380.91460.61564.41690.8675.1716.9763.7792.4851.1931.41059.21185.21269.61393.6

8、1527.01565.91602.31727.21949.82187.92436.12663.72889.13111.93323.13529.33789.7第9頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六解法1（手工算）解題思路：根據(jù)一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計表達(dá)式其中第10頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六第11頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六解法2（用EViews軟件）Dependent Variable: CONSPMethod: Least SquaresDate: 10/02/07 Time: 23:47Samp

9、le: 1978 2000Included observations: 23VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C201.118914.8840213.512410.0000GDPP0.3861800.00722253.474710.0000R-squared0.992710Mean dependent var905.3304Adjusted R-squared0.992363S.D. dependent var380.6334S.E. of regression33.26450Akaike info criterion9.929800Su

10、m squared resid23237.06Schwarz criterion10.02854Log likelihood-112.1927F-statistic 2859.544Durbin-Watson stat0.550636Prob(F-statistic)0.000000第12頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六Dependent Variable: CONSPMethod: Least SquaresDate: 10/02/07 Time: 23:47Sample: 1978 2000Included observations: 23VariableCoef

11、ficientStd. Errort-StatisticProb.C201.118914.8840213.512410.0000GDPP0.3861800.00722253.474710.0000R-squared 0.992710 Mean dependent var905.3304Adjusted R-squared0.992363S.D. dependent var380.6334S.E. of regression 33.26450Akaike info criterion9.929800Sum squared resid23237.06Schwarz criterion10.0285

12、4Log likelihood -112.1927 F-statistic 2859.544Durbin-Watson stat0.550636Prob(F-statistic)0.000000第13頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六幾個概念：S.E.of regression 回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差，計算方法是其中 表示殘差列向量，T為樣本容量，k 為被估計參數(shù)的個數(shù)。Sum squared resid 殘差平方和， 計算方法是 第14頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六Log likelihood 對數(shù)似然函數(shù)，計算方法是Mean dependent v

13、ar 因變量均值A(chǔ)kaike info criterion 赤池信息準(zhǔn)則，計算方法 第15頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六Schwarz criterion 施瓦茨準(zhǔn)則，計算方法Prob(F-statistic)=pro(F ) ,即回歸方程的p 值第16頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六解法3（用SPSS軟件）第17頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六第18頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六四、作業(yè) 下表是10個品牌啤酒的廣告費用和銷售量的數(shù)據(jù) ，請你做以下工作： （1）、用廣告費用作自變量x，銷

14、售額作因變量y, 求出估計的回歸方程。 （2）、簡要概括一下你的發(fā)現(xiàn)。第19頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六啤酒品牌廣告費（萬元）銷售量（萬箱）ABCDEFGHIJ120.068.7100.176.68.71.021.51.45.31.736.320.715.913.28.17.15.64.44.44.3第20頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六五、附錄：有關(guān)公式的推導(dǎo)1、一元線性回歸模型的最小二乘估計設(shè)有一元線性回歸模型 ， 其樣本數(shù)據(jù)分別是 ，i=1，2，n.根據(jù)最小二乘估計原理，使 為最小。由微積分學(xué)原理，有 （1） 第21頁，共32頁，2

15、022年，5月20日，23點25分，星期六化簡（1），得正規(guī)方程組解正規(guī)方程組得 （2）第22頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六化簡（2），得離差形式的估計其中 2、參數(shù) 和 的最小二乘估計的性質(zhì)（1）線性性 由 和 的最小二乘估計的表達(dá)式知， 、 是 的線性函數(shù)，故線性性顯然。（2）無偏性第23頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六第24頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六同理可證 ，因此 和 是 和 的無偏估計。（3）有效性 第25頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六而因此 ，令 ，i=1，2， ，n所以 （3）第26頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六同樣其中 ， i =1,2, ,n第27頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六第28頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，星期六第29頁，共32頁，2022年，5月20日，23點25分，