代數(shù)系統(tǒng)和群

1、代數(shù)系統(tǒng)和群第1頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日第六章 群 與 環(huán) 6.1 代 數(shù) 系 統(tǒng)對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)而言,運(yùn)算是它的決定性因素,因此,必須首先明確運(yùn)算的概念。在代數(shù)系統(tǒng)中二元代數(shù)運(yùn)算用得最多,所以我們給出其定義并討論其性質(zhì)。定義6.1.1 設(shè)S是一個(gè)非空集合，稱SS到S的一個(gè)映射f為S的一個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，即,對(duì)于S中任意兩個(gè)元素a,b,通過(guò)f,唯一確定S中一個(gè)元素c：f（a，b）= c，常記為a * b = c。由于一般情況下,(a,b),(b,a)是SS中不同的元，故a * b未必等于b * a。第2頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日例如，

2、S=a,b,則SS=(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)映射f為： (a,a)-a (a,b)-a (b,a)-b (b,b)-b f稱為S的一個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，有 f(a,a)=a f(a,b)=a f(b,a)=b f(b,b)=b,也可表示為： a*a=a,a*b=a,b*a=b,b*b=b第3頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日例6.1.1自然數(shù)集N上的加法和乘法是N上的二元代數(shù)運(yùn)算；減法和除法不是N上的二元代數(shù)運(yùn)算，因?yàn)閮蓚€(gè)自然數(shù)相減或相除可能得到的不是自然數(shù)。例6.1.2 整數(shù)集Z上的加法、減法、乘法都是Z上的二元代數(shù)運(yùn)算;除法不是Z上的二元代數(shù)運(yùn)算.

3、例6.1.3 非零實(shí)數(shù)集R*上的乘法、除法是R*上的二元代數(shù)運(yùn)算；加法和減法不是R*上的二元代數(shù)運(yùn)算，因?yàn)閮蓚€(gè)非零實(shí)數(shù)相加或相減可能得出0。例6.1.4 矩陣加法和乘法是n階實(shí)矩陣集合上的二元代數(shù)運(yùn)算。例6.1.5 設(shè)S是一個(gè)非空集合，（S） 是S的冪集，則集合的交運(yùn)算、并運(yùn)算是（S）上的二元代數(shù)運(yùn)算。例6.1.6 邏輯連接詞合取、析取、蘊(yùn)涵、等價(jià)都是真值集合0，1上的二元代數(shù)運(yùn)算。第4頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日定義6.1.2 設(shè) * 是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于S中任意兩個(gè)元素a，b，等式a * b = b * a都成立，則稱運(yùn)算“*”滿足交換律。例如整

4、數(shù)上的加法。定義6.1.3 設(shè) * 是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于S中任意三個(gè)元素a，b，c，等式（a * b） * c = a * （b * c）都成立，則稱運(yùn)算 * 滿足結(jié)合律。例如整數(shù)上的加法。第5頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日定義6.1.4 設(shè) * 是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，a是S中的元素，如果a * a = a則稱a是關(guān)于運(yùn)算 * 的冪等元。如果S中每個(gè)元素都是關(guān)于*的冪等元，則稱運(yùn)算“*”滿足等冪律。如在整數(shù)中看，1是關(guān)于乘法的冪等元，0是關(guān)于加法的冪等元，但乘法和加法都不滿足等冪律。定義6.1.5 設(shè) * 和 + 是集合S上的兩個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，如果

5、對(duì)于S中任意三個(gè)元素a，b，c，等式a *(b + c)= (a * b)+ (a * c)，(b + c)* a =(b * a)+(c * a）都成立，則稱運(yùn)算 * 對(duì) + 滿足分配律。 第6頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日定義6.1.6 設(shè) * 和 + 是集合S上的兩個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于S中任意兩個(gè)元素a，b，等式a * （a + b） = a ，a + （a * b） = a，都成立，則稱運(yùn)算 * 和 + 滿足吸收律。例6.1.7 整數(shù)集Z上的加法、乘法都滿足結(jié)合律和交換律，乘法對(duì)加法滿足分配律，但加法對(duì)乘法不滿足分配律；減法不滿足結(jié)合律，也不滿足交換律；

6、它們都不滿足等冪律，也不滿足吸收律。 第7頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日例6.1.8 n階實(shí)矩陣集合上的加法滿足結(jié)合律,也滿足交換律;乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律;它們都不滿足等冪律,也不滿足吸收律。例6.1.9 設(shè)S是一個(gè)非空集合，(S)是S的冪集,則(S)上的交運(yùn)算、并運(yùn)算都滿足結(jié)合律,交換律,對(duì)、對(duì)都滿足分配律,它們都滿足等冪律,也滿足吸收律。定義6.1.7 設(shè) * 是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算,如果對(duì)于S中任意三個(gè)元素a,b,c,（1）若 a * b = a * c，則b = c，（2）若 b * a = c * a，則b = c，就稱 * 滿足消去律。第8頁(yè)

7、，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日例6.1.10 整數(shù)集Z上的加法滿足消去律，但乘法不滿足消去律，例如，3 * 0 = 5 * 0，但35。例6.1.11 n階實(shí)矩陣集合上的加法滿足消去律，但乘法不滿足消去律，例如， = ,但定義6.1.8 設(shè)S是一個(gè)非空集合，f1，fm是S 上的若干代數(shù)運(yùn)算，把S及其運(yùn)算f1，fm看成一個(gè)整體來(lái)看,叫做一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，記為（S， f1，fm）第9頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日例6.1.12 設(shè)S是一個(gè)非空集合，（S） 是S的冪集，和是（S）上的交運(yùn)算和并運(yùn)算,則（S），）為代數(shù)系統(tǒng)。例6.1.13 設(shè)Z為整數(shù)集

8、,Z0為偶數(shù)集,N為自然數(shù)集,+、是數(shù)的加法和乘法,則(Z,+)、(Z,)、(Z,+,)都是代數(shù)系統(tǒng)； (Z0,+)、(Z0,)、(Z0,+,)都是代數(shù)系統(tǒng)； (N,+)、(N,)、(N,+,)都是代數(shù)系統(tǒng)；如果用 、分別表示求最大公約數(shù)和求最小公倍數(shù)的運(yùn)算，那么（Z, ,）、（Z0, ,）與（N， ，）也都是代數(shù)系統(tǒng)。例6.1.14 設(shè)、是真值集合0，1上的合取與析取運(yùn)算，則（0，1，）是代數(shù)系統(tǒng)。第10頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日 作業(yè)：196頁(yè)，1。第11頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日習(xí)題6.11. 設(shè)W1、W2、W3分別為是模6

9、的剩余類集合Z6的子集：W1= ， ，W2= ， ， ，W3= ， ， ，試問(wèn)剩余類加法是不是這些子集的二元代數(shù)運(yùn)算？解：剩余類加法對(duì)W1，W2是二元代數(shù)運(yùn)算，而W3不是。 第12頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日 2. S=2n | nN，加法是S上的二元代數(shù)運(yùn)算嗎？乘法呢？解：加法不是S上的二元代數(shù)運(yùn)算，乘法是。 第13頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日3. 自然數(shù)集N 上的二元代數(shù)運(yùn)算 * 定義為x * y = xy，* 是否滿足結(jié)合律？是否滿足交換律？解: (a*b)*c= (ab)c= abc a*(b*c)= a*b=ab, b*a=

10、ba所以，都不滿足。 第14頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日 4. 設(shè) * 是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，且滿足結(jié)合律,設(shè)x,y是S中任意元素，如果x * y = y * x，則x = y。試證明 * 滿足等冪律。證明：由于對(duì)S中任意的x，y和z，有x*(y*z)=(x*y)*z，故x*(x*x)=(x*x)*x，于是有x*x=x。 第15頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日 5. 設(shè) + 和 * 是集合S上的兩個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，對(duì)于S中任意元素x和y，x + y = x。證明 * 對(duì)于 + 滿足分配律。證明：設(shè)x，y和z是S中任意三個(gè)元素，則x*(y

11、+z)=x*y=x*y+x*z，且(y+z)*x=y*x=y*x+z*x，故* 對(duì)于 + 滿足分配律。第16頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日6.2 群 的 定 義6.2.1 半 群 定義6.2.1 設(shè)G是一個(gè)非空集合，若為G上的二元代數(shù)運(yùn)算，且滿足結(jié)合律，則稱該代數(shù)系統(tǒng)（G， ）為半群。 例6.2.1 設(shè)S是一個(gè)非空集合，（S） 是S的冪集，和是（S）上的交運(yùn)算和并運(yùn)算，則（S），）為半群，（S），）為半群。 例6.2.2 設(shè)Z為整數(shù)集,+、-、是數(shù)的加法、減法和乘法,則(Z,+)、(Z,)都是半群；（Z， -）不是半群，因?yàn)闇p法不滿足結(jié)合律。第17頁(yè)，共40頁(yè)，20

12、22年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日例6.2.3 設(shè)N為自然數(shù)集，規(guī)定N上的運(yùn)算“”如下：a b = a + b + ab，其中+、是數(shù)的加法和乘法,a，b是N中任意元素。顯然,為N上的二元代數(shù)運(yùn)算。對(duì)N中任意三個(gè)元素a,b,c,有：(ab)c=(a+b+ab)c =(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+bc+ac+abc，a(bc)=a(b+c+bc）=a+（b+c+ bc）+a（b+c+ bc）= a + b + c + ab + bc + ac + abc，故，（ab）c = a（bc），滿足結(jié)合律，因此，（N， ）為半群。第18頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月2

13、0日，13點(diǎn)32分，星期日例6.2.4 設(shè)S是一個(gè)非空集合，規(guī)定S上的運(yùn)算如下： ab=b，其中a，b是S中任意元素。顯然為S上的二元代數(shù)運(yùn)算。對(duì)S中任意三個(gè)元素a，b，c，有：（ ab）c =bc=c， a（bc）=ac =c， 故，（ab）c = a （bc），滿足結(jié)合律，因此，（S，）為半群。第19頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日6.2.2 群定義6.2.2 設(shè)（G,）為半群，如果滿足下面條件： (1) G中有一個(gè)元素1，適合對(duì)于G中任意元素a，都有1a = a1 = a; (2) 對(duì)于G中任意a，都可找到G中一個(gè)元素a-1，滿足aa-1 = a-1a = 1，

14、則稱（G， ）為群。元素1稱為G的單位元素，a-1稱為a的逆元素。如果群G包含的元素個(gè)數(shù)有限，則稱G為有限群，否則稱G為無(wú)限群。 下面用|G|表示有限群G所包含的元素個(gè)數(shù)。 第20頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日 例6.2.6 設(shè)Q為所有有理數(shù)組成的集合，R為所有實(shí)數(shù)組成的集合，C為所有復(fù)數(shù)組成的集合，Q*為所有非零有理數(shù)組成的集合,R*為所有非零實(shí)數(shù)組成的集合，C*為所有非零復(fù)數(shù)組成的集合，+、是數(shù)的加法和乘法，則（Q，+）、（R，+）、（C，+）都是群；(Q,)、（R， ）、（C，）都不是群，因?yàn)?無(wú)逆元素； (Q*,)、（R*， ）、（C*，）都是群。第21頁(yè)，

15、共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日 例6.2.7 設(shè)S是一個(gè)非空集合， (S)是S的冪集,和是(S)上的交運(yùn)算和并運(yùn)算，則(1)半群(S),)不是群,雖然存在單位元素S,但不是任意元素都存在逆元素；(2)半群(S),)也不是群,雖然存在單位元素：空集，但不是任意元素都存在逆元素。例6.2.8 例6.2.3中半群（N， ）不是群，因?yàn)椴淮嬖趩挝辉?。假定有單位元素，設(shè)為e，則對(duì)N 中任意元素a，都應(yīng)有e a = a，即e + a + ea = a，因此，e=0，但0N。第22頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日例6.2.9 例6.2.4中半群(S,)也不

16、是群,因?yàn)椴淮嬖趩挝辉?。?.2.10 設(shè)A是實(shí)數(shù)域上所有n階非奇異矩陣的集合，*為矩陣的乘法，則不難驗(yàn)證（A，*）是群。例6.2.11 設(shè)S=0，1，2，m-1，規(guī)定S上的運(yùn)算如下： ab= ，其中a，b是S中任意元素，+、-為數(shù)的加與減。則（S，）是群，稱為模m的整數(shù)加法群。第23頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日6.2.3 群 的 性 質(zhì)定理6.2.1 設(shè)(G,)是一個(gè)群，則G中恰有一個(gè)元素1適合1a=a1=a,而且對(duì)于任意a恰有一個(gè)元素a-1適合aa-1=a-1a=1。證明：若1和1都是單位元素，則1=11=1，故1=1。若b和c都有a-1的性質(zhì),則b=b1=

17、b(ac)=（ba）c = 1c = c,故b = c. 這就是說(shuō)群的單位元素是唯一的，任意元素的逆也是唯一的。易見(jiàn)（a-1）-1=a。 第24頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日例如，S=0,1,2,3,4,運(yùn)算是模5加運(yùn)算，則單位元有且只有一個(gè)為0。0的唯一的逆元素是0；1的唯一的逆元素是4；2的唯一的逆元素是3；3的唯一的逆元素是2；4的唯一的逆元素是1。如果，S=0,1,2,3,運(yùn)算是模4加運(yùn)算,則單位元也有且只有一個(gè)為0。0的唯一的逆元素是0；1的唯一的逆元素是3；2的唯一的逆元素是2；3的唯一的逆元素是1。第25頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32

18、分，星期日定理6.2.2 群定義中的條件（1）和（2）可以減弱如下：（1） G中有一個(gè)元素左壹適合1a=a;（2） 對(duì)于任意a，有一個(gè)元素左逆a-1適合 a-1a=1。 證明：只要證明由（1）、（2）（和其余的條件聯(lián)合）可以推出(1)和(2)， 即只需證明a1 = a和aa-1 = 1。第26頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日先證aa-1=1。因?yàn)?a-1a)a-1=1a-1= a-1， 故(a-1a)a-1= a-1。由（2）， a-1也應(yīng)該有一個(gè)左逆適合ba-1=1。于是,一方面有： b（a-1a）a-1）)=ba-1=l，另一方面有： b(a-1a)a-1)=(b

19、a-1)(aa-1) =1（aa-1）= aa-1，因此，aa-1=1。再證a1=a。事實(shí)上，a1 = a（a-1a） = （aa-1）a = 1a = a。 自然，把（1）,（2） 中對(duì)于左邊的要求一律改成對(duì)于右邊的要求也是一樣。第27頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日定理6.2.3 群定義中的條件（1）和（2）等于下列可除條件：對(duì)于任意a，b，有使 a=b， 又有 y使 ay=b。證明：首先證明在任一群中可除條件成立。因?yàn)?，?ba-1，y=a-1b，即得a=b，ay=b，故，由(1)和(2)可以推出可除條件成立。再證明由可除條件也可以推出(1),(2)，因而可以推

20、出(1),(2)。事實(shí)上,取任意cG，命1為適合c=c的，則1c=c。今對(duì)于任意a,有y使cy=a,故1a=1(cy)=（1c）y=cy=a，即（1）成立。至于（2），只要令a-1為適合a=1的，則a-1a=1。 第28頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日定理6.2.4 設(shè)G是一個(gè)群，在一個(gè)乘積a1an中可以任意加括號(hào)而求其值。證明： 要證定理，只要證明任意加括號(hào)而得的積等于按次序由左而右加括號(hào)所得的積(a1a2)a3)an-1)an （1）（1）式對(duì)于n=1，2不成問(wèn)題；對(duì)于n=3,由結(jié)合律也不成問(wèn)題?，F(xiàn)在對(duì)n用歸納法,假定對(duì)少于n個(gè)因子的乘積（1）式成立，試證對(duì)n個(gè)因

21、子的乘積（1）式也成立。 第29頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日a1an任意加括號(hào)而得到的乘積A，求證A等于(1)式。設(shè)在A中最后一次計(jì)算是前后兩部分B與C相乘： A = （B）（C）今C的因子個(gè)數(shù)小于n，故由歸納假設(shè),C等于按次序自左而右加括號(hào)所得的乘積（D）an。由結(jié)合律，A=(B)(C)=(B)(D)an)=(B)(D)an。但（B）（D）的因子個(gè)數(shù)小于n，故由歸納假設(shè)，（B）（D）等于按次序由左而右加括號(hào)所得的乘積(B)(D)=(a1a2)a3)an-2)an-1第30頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日因而A =(B)(D)an=(a1

22、a2)a3)an-2)an-1）an即A等于（1）式。 當(dāng)給出二元運(yùn)算后，若無(wú)結(jié)合律，則三個(gè)以上元素的運(yùn)算不一定有意義，本定理對(duì)有結(jié)合律的一切代數(shù)體系成立。現(xiàn)在a1an有意義，當(dāng)它們都相同時(shí)稱n個(gè)a連乘積為a的n次方，記為an，記為an。我們規(guī)定a0=1，a-n=（an）-1(= (a-1)n)象在普通代數(shù)中一樣，可以證明對(duì)于任意整數(shù)m，n，有第一指數(shù)律 aman=am+n，第二指數(shù)律 （am）n=amn。第31頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日定義6.2.3 若群(G,)的運(yùn)算適合交換律，則稱（G，）為Abel群或交換群.定理6.2.5 在一個(gè)Abel群（G，）中，一

23、個(gè)乘積可以任意顛倒因子的次序而求其值。證明：考慮一個(gè)乘積a1an。設(shè)是1，n上的一個(gè)一對(duì)一變換，欲證a（1） a（n）=a1an對(duì)n用歸納法，n=1時(shí)只有一個(gè)a1定理自然成立，假定n-1時(shí)定理已真，證明n時(shí)定理亦真。 第32頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日 設(shè)將a1an中各因子任意顛倒次序而得一式 P = a（1）a（n） 因子an必在P中某處出現(xiàn)，因而P可以寫成 P =（P）an（P） P或P中可能沒(méi)有元素，但照樣適用以下的論證，由交換律， P=P(anP)=P(Pan)=(PP)an， 現(xiàn)在PP中只有n-1個(gè)元素a1,an-1,只 不過(guò)次序有顛倒，故由歸納法假定，

24、 PP= a1an-1。 因此,P =（PP）an = a1an-1an，從 而歸納法完成，定理得證。 第33頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日在Abel群中，易見(jiàn)有第三指數(shù)律：（ab）m=ambm，m為任意整數(shù)。如果群G的運(yùn)算不寫作乘而寫作加+，則G叫做一個(gè)加法群，我們永遠(yuǎn)假定一個(gè)加法群是一個(gè)Abel群： a+b=b+a在乘法群中寫做1的現(xiàn)在寫做0： a+0=a在乘法群中寫做a-1而稱為a的逆的,現(xiàn)在寫做-a而稱為a的負(fù)： a+（-a）= 0n為任意整數(shù)時(shí)，在乘法群中寫作an而稱為a的n次方的，現(xiàn)在寫做na而稱為a的n倍。三個(gè)指數(shù)律現(xiàn)在成為下面的形式： （m+n）a

25、= ma+na， m（a+b）= ma+mb， m（na）=（mn）a。 第34頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日 作業(yè)：201頁(yè)，2。第35頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日習(xí)題6.21. 設(shè)（G,）是代數(shù)系統(tǒng),則（GG,*）是代數(shù)系統(tǒng)，這里GG的運(yùn)算“*”規(guī)定如下：（a，b）*（c，d）=（ac，bd），其中:a,b,c,d為G中任意元素。證明：當(dāng)（G,）是半群時(shí),（GG,*）是半群；當(dāng)（G,）有單位元素時(shí),（GG,*）有單位元素；當(dāng)（G,）是群時(shí),（GG，*）是群； 第36頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)32分，星期日證明：設(shè)（G,）是半群,a,b,c,d,e,f為G中任意元素,若有(a,b),(c,d),(e,f)屬于GG，則有(a,b)*(c,d)*(e,f)=(a,b)*(ce,df)=(a(ce),b(df)=(ac)e,(b