2016春季初二自招經(jīng)典進(jìn)度二14.相似三角形1教師

1、第十四講相似三角形的判定（1）【定義】相似形：形狀相同的兩個(gè)圖形試舉例說(shuō)明【定義】相似三角形：三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形兩個(gè)三角形相似，用符號(hào)”表示符號(hào)”讀作”相似于”【相似三角形的性質(zhì)】 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比，一般用 k 表示（當(dāng) k=1 時(shí)，這兩個(gè)相似三角形就成為全等三角形可見(jiàn)全等三角形是相似三角形的特例）【相似的傳遞性】 如果兩個(gè)三角形分別與同一個(gè)三角形相似，那么這兩個(gè)三角形也相似【相似三角形的預(yù)備定理】平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似（需證明）【相似三角形的判定方法

2、 1】 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似（需證明）1 / 12【例題1】如圖， ABC ADE ，若ADE B ，則C ；DEABCEDBC【例題2】如圖，在ABC 中，D 是 AC 上一點(diǎn)，ABD=C，AB=10，AD=8，BC=15，求證：ABDACB；求證：AB2=ADAC；求 BD、CD 的長(zhǎng)解：（1）在ABD 和ACB 中AABDACABD ACBABD ACB（2）ADABABAC即 AB2AD ACABD ACB（3） ADABBDAB8AC10BCBD即=10AC15 ACCD12.5 ， BD124.52 / 12【例題3】如圖，ABC 是等邊三角形，P 是邊 BC 上任意一點(diǎn)（

3、不與點(diǎn) B、C 重合），聯(lián)結(jié) AP，線段 AP的垂直平分線交 AB、AC 于點(diǎn) E、F，聯(lián)結(jié) PE、PF.求證：（1）EBPPCF；（2） BE CF證：（1） EF 垂直平分 AP EA EP, FA FP ，又 EFEFBP PC EFA EFP ，EPFEAF在等邊ABC 中， BAC B C 600 EPFB又EPF1B122 ，B C ，EBP PCF又BEBP（2）EBP PCF ，CPCF即 BE CFBP PC【例題4】如圖，在ABC 中，AB=AC，A 是鈍角，EAF=B，求證： AB2BF CE 證： EAFBA EAF又B 21B211BAFBCEFABAC ，BC在AB

4、F 和ECA 中BC2BAFABF ECA ABBFCE ABACACACBF CEAB AB2BF CE3 / 12【例題5】如圖，ABBD，CDBD，AB=6，CD=16，BD=20，一動(dòng)點(diǎn) P 從 B 向 D 運(yùn)動(dòng)，問(wèn)當(dāng) P 離 B多遠(yuǎn)時(shí)，PAB 與PCD 是相似三角形？試求出所有符合條件的 P 點(diǎn)的位置BD,CDBDB D解： AB設(shè) BPx,則PD20 x當(dāng) AB BPAB BP 時(shí)PDCDCDPDPAB 與PCD 相似，6x 或 6x20 x161620 x (60 x 8,12, 6011當(dāng)PB8,12, 60PABPCD11【例題6】如圖，在正方形 ABCD 中，E 是 BC

5、的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在 CD 上，且CF1 CD ，聯(lián)結(jié) AE、EF、4AF求證：（1）ABEECF；（2）ABEAEF1證：設(shè)CF 1CF CDCD 44E 是 BC 的中點(diǎn) BE12ECBC24BC90在正方形 ABCD中 ABCDABBE22ECCFB ABCBE在ABEECF中，ABEECFECCF4 / 12【例題7】如圖，在ABC 中，高 BD 與 CE 相交于點(diǎn) H，聯(lián)結(jié) DEA（1） 求證：ADEABC；（2） 若A=60，BC=6cm，求 DE 的長(zhǎng)ED（3） 圖有幾對(duì)相似三角形？H證：（1）BDAC,CEABBCADBAEC90在ADBAEC中A ADBADBAAEC AECA

6、D ADABAEAEACABACADEABCAAAD AEABACADEABC（2）ADEABC DEAEBC CEAEACAB, A 601DE1AC DE23cm62（3）共 8 對(duì)BEHBDACDHCEAADEABC，DHECHB5 / 12【例題8】已知：如圖，ABC 和ADE 有公共頂點(diǎn) A， AB ，BCACADDEAE求證：ABAC=BDCE證：在ABCADE中ABADBCAC ABCADEDEAE12BACDAEABDACE中1=2 ABDACE在ABACADAEAB : ACBD : CE5 ， AB3 ，DCFADB ，CF 交 BD 于點(diǎn) E ，【例題9】如圖，平行四邊形

7、 ABCD 中， AD交 AD 于點(diǎn) F ，若CF 2.5 ，則 BE 的長(zhǎng)為；【例題10】已知：ABC 中，BAC90 ， AD BC 于 D, E 為 AC 中點(diǎn)， ED 的延長(zhǎng)線交 AB 的延長(zhǎng)線于 F ，求證： FD2FB AF ； AB AFAC DF ；6 / 12【例題11】如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，AEBC 于 E，AFCD 于 F求證：EAFABCBC, AF CD ,證： AE1290在平行四邊 ABCD中ABEADFBD ABAEABAD ,ABBCADBCADAFAEBAFAFAEAF90 ，EAF903+ B90 EAFAB CD13BEAF B在EAFA

8、BC中EAF ABC ，ABBCAEAF【例題12】已知：如圖，在ABC 中，BAC=90，ADBC 于點(diǎn) D，ABE 與ACF 是等邊三角形求證：EBDFAD；求證：DEFABC90 1（1）證：BAC5902ADBC 2590 1ABEACF是三3= 4=60BE BA, AC AF即 EBDFAD3 214AB DB EBDB在ADB和1= 2ADC CDA中CADAAFDA, 在EBD和 FAD中EBDFAD,BDA 90EBDEBFADADBCDADBAFDA6 7, FD FA6 8 7 8 90ABEDEBEDFBAC（2）證： EBDFAD,90FAAC , EBFDFDACF

9、DEDABACABEDF BAC在DEFABCDEFABCFDEDACAB7 / 12【例題13】如圖，M、N 分別為正方形 ABCD 的邊 AB、BC 上一點(diǎn)，BM=BN，BGMC 于 G求證：BNGCDG證：在正方形 ABCD 中ABC DCB 90BC CDBGMC BGC490在BCCGBGC MGB BMBGBCCDCD, BMCGBNBN在 BN1=2BGGCDCGBNBGBNGCDG8 / 12254【作業(yè)1】已知：ABCA1B1C1，它們的相似比為 ，A1B1C1A2B2C2，它們的相似比為，356則ABCA2B2C2，其相似比為【作業(yè)2】如圖，在ABC 中，AD、BE 分別是

10、 BC、AC 邊上的中線，ADBE 于 F，ABE=C，AC=12cm（1）求 AB 的長(zhǎng)；（2）求 BC 的長(zhǎng)解：（1）在ABE 和ACB 中ABE CAEABABE ， AB AE ACAC2ACB ，BAE CABAB即 AB2 612AB 6 2cmAD、B 分別是 BC、AC 邊上的中線， F 是ABC 的重心（2） AF 2FD, BF 2FE ，設(shè) FD x, FE y ，則 AF 2x, BF 2y(2x)2 y2 62 x2 (2 y)2 54 ， BD 3 6 ， BC 6 6cm(2x)2 (2 y)2 (6 2)2【作業(yè)3】如圖，在ABC 中，AB=AC，D 是 BC

11、上一點(diǎn)，且ADE=BAFDE（1）求證：ABDDCE；（2）點(diǎn) F 在 AD 上，且， 求證：EFCDAECD1+ADE 2 BADE B ， 1 2（1）證：又AB AB CABD DCEAD A CDEAD（2）證： ABD DCEDE CDABAFDEADAFADAFAFAE， AB A，即，即證又AECDABAEACAEADAC9 / 12【備用】【作業(yè)1】已知：如圖，平行四邊形 ABCD 中，DBC=45，DEBC 于 E，BFCD 于 F，DE、BF 相交于 H，BF、AD 的延長(zhǎng)線相交于 G(1)證明： BEH DEC ；(2)求證：AB2=GAHE2 C證：(1)1+ C901

12、239DBC DBEBDEDEBE453BEH4DECBH CD ABAB CD ， BF CDABG90在 ABGHEBABG31GG 1ABGHEBAGAB(2)HEABHBABAGHBHEHEABAB2GA10 / 12【備用題】1.相似三角形的幾種類(lèi)型11 / 12如圖 1-11 所示，在ABC 中，A 90 ，分別以 AB 、AC 為邊向外作正方形 ABCD 、ACFG .設(shè)CD 交 AB 于點(diǎn) N ， BF 交 AC 于點(diǎn) M ，求證： AM AN .2.證明：因?yàn)樗倪呅?ABDE 、 ACFG 都是正方形， BAC 90 ，所以 CF AB ， AC BD ，AB BD ， AC CF .C FC MAM CM所 以 C F M ABM ，即， 由 合 比 性 質(zhì) 得A BA MABCFAMAM CMAB ACAB ACACANAC，同理，則 AM ， AN .ABAB