變分原理的直接方法

1、第7章變分問題的直接方法為了書寫方便,我們在這里先引入內(nèi)積空間和線性算子兩個概念。內(nèi)積空間H是復(fù)線性空間，H上定義一個兩元函數(shù)兀尹：H,HTC,x,尹H滿足對稱性，=尹兀ax+bx,y=ax,y+bx,ya,bC,x,xH,雙線性，1212，12正定性，x,x-0,而且只有當(dāng)x=0時等號才成立那么我們稱該兩元函數(shù)定義了線性空間H上的一個內(nèi)積。定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。=Jb=Xxyiii=1例7.2:H是定義在a,b上連續(xù)函數(shù)所組成的線性空間Ca,b，(x),(x)H，那么下面定義的就是內(nèi)積a通常，在連續(xù)函數(shù)空間中按如下來定義內(nèi)積=Jbw(x)(x)卩(x)dxa其中w(x)0是個權(quán)函

2、數(shù)。線性算子A是定義在內(nèi)積空間H上的一個線性映射A:peH如H；如果存在另一線性映射A*，使得H八AA叩，則A*稱為A的伴映射。當(dāng)H是函數(shù)空間時，A稱為(線性)算子，A*稱為共軛算子；特別當(dāng)A*=A，A稱為對稱算子。如果當(dāng)對稱算子A滿足A0，并且等號僅當(dāng)=0時成立，則A稱為對稱正定算子。7.1里茲方法(Ritz)由線性對稱正定算子A及函數(shù)f所確定的一個線性泛函為n(u)=-2f,u該泛函的變分為n，2Au,u2=2Auf,u泛函極值問題(也就是變分問題)其所對應(yīng)的Euler方程為Au-f=0(Au=f)(712)不失一般性,我們假設(shè)泛函的邊界條件是齊次的，否則我們總是可以通過函數(shù)變換來實(shí)現(xiàn)齊次

3、的邊界條件:u，u+u0u其中0非齊次的邊界條件，那么u滿足齊次的邊界條件。現(xiàn)選定一組滿足泛函齊次邊界條件的函數(shù)序列uiu2un,那么由該函數(shù)序列所張成的子空間為U，span(u,uu)，u|u，工au,aeR12nIiiiIIi，1丿該子空間上的每個函數(shù)都滿足齊次邊界條件.里茲法的核心思想就是用上述函數(shù)序列所張成的一個線性空間U，篤un)來近似地替代原泛函的定義域空間，然后在線性空間U中找到一個使得泛函口最小的一個u,u,.,u函數(shù)，該函數(shù)就是原問題的一個近似解。顯然滿足齊次邊界條件的函數(shù)序列12n不是u,u,.,u唯一的，如果我們選擇了比較合適的函數(shù)序列12n，而且該序列的個數(shù)足夠多時(當(dāng)

4、然函數(shù)序列的個數(shù)越多,其張成的子空間就越逼近原來的定義域空間)，那么里茲法所得到的近似解就能很好地逼近原問題的解。具體地講，由Su2un線性組合成的一個函數(shù)為nu，厶auiii，1a,a,.,a其中系數(shù)1*2,n為待定的常數(shù)，對應(yīng)的泛函為n(u)，2，2TOC o 1-5 h ziiiiiii，1i，1i，1由于A是線性正定對稱算子，那么n(u)=2iiiiiii，1i，1i，1aa2乙ijijii2工fajiii，1i，1j，1i，1，工工Aaaiji，1j，1f,ii式中A，,ijijaa.aaa.a這是一個關(guān)于a12n的一個二次型。選擇的a12an要使得該函數(shù)取到最小值，也1就是說，0,

5、s，1,2,.,nz-丿丿丿as從而有Aa-f，0,s，1,2,.nisisi，1a,a,.,a這是關(guān)于一個線性代數(shù)方程組。解此代數(shù)方程組后得到12n，由此得到原泛函極值問題(或者微分方程邊值問題)的近似解為nu，auiii，1如果用向量的形式來表示p，(u,u，,u)T,a=(a,a，,a)T12n12n那么u，atpn(a)，n(u)=-2，aTKa-2qtF其中K，K,K，ijijijF,(f,f，,f,f=12niiK是nxn的矩陣，F(xiàn)是nx1向量。要使口(“)取到最小值，必須口(a),0a這也就是說Ka，F(xiàn)該方程的解為a，K-1F由于A是對稱正定算子，可以證明K是對稱正定矩陣，上述解

6、必定存在。所以說，通過里茲法，我們可以把一個泛函的極值問題轉(zhuǎn)化成一個函數(shù)的極值問題，求解該函數(shù)極值問題所對應(yīng)的代數(shù)方程組，就可以得到原問題的近似解。里茲法的關(guān)鍵在于函數(shù)序列的選擇,如果選擇合適的函數(shù)序列是該算法最核心之處。Jy，n(兀2y2+xy)dx,y(0)，y(1)，0例7.3求變分問題0的近似解。取(x),a1x(1-x)那么(x),a1(1-2x)Ja，f1a2(x2-4x3+4x4)+a(x2-x3)dx011J，0令da1得到a（兀2一4x+4x4）+（x2一x3）dx，001由此可以求得a，一5116一階近似解為y(X)，一5X(1一X)16更進(jìn)一步，可以取近似解為y(x)，a

7、x(1一x)i1i，1例7.4設(shè)Jy(X)，n(y2y22xy)dx,y(0)，y(1)，00求變分問題的近似解。該變分問題的精確解為y（x）,sinx一x(x)，現(xiàn)取sinlax(1一x)ki，11，如果n，1,也就是說y(x)，a1x(1x),上面求法一樣,到a1=158,也就是說一階近似解為y(x)，5x(1x)18TOC o 1-5 h zJJc，0如果n,2,鞏x),x(1一x)(a1+a2x),代入泛函表達(dá)式，并令6a1aa2，得到3a+3a，1101202123a+13a，1102105220由此可以求得a，71,a，71369241也就是說兩階近似解為y(x)，x(1一x)(7

8、1+7x)36941與精確解相比，兩階近似解誤差已經(jīng)非常小。例7.5長度為1，抗彎剛度為EI的簡支梁，受均布載荷q的作用。圖7.1例7.5圖取位移(撓度)的試函數(shù)為x,x,2x,3x,+a+a+a1丿21丿31丿41丿4w(x)=a1為了滿足兩端位移的簡支邊界條件，取a=-(a+a+a)1234x,2x,3x,4那么w(x)=-(a+a+a234梁內(nèi)的應(yīng)變能為d2w,2,dx作用在梁上的外力勢能為U=-1qwdx20把撓度的試函數(shù)表達(dá)式代入總勢能表達(dá)式中U=U+U12U=11EI12o26a+a1221231丿12x,2,+a2dx=-一2f,u得到一個關(guān)于ai(J)a2(I役(Xn)的新泛函

9、*(a(x),a(x).,a(x)1n2nkn于是問題就變?yōu)榍蠛瘮?shù)iSn)ak(J)，使得新泛函能取到極小值。這是關(guān)于多個一元函數(shù)的變分問題，相應(yīng)的Euler方程一般為常微分方程組(而原來變分問題得到的Euler方程一般為偏微分方程)，求解該常微分方程的邊值問題就得到了原變分問題的近似解。和里茲法相比，康托羅維奇法稍顯麻煩，因?yàn)槔锲澐ㄗ罱K得到的是代數(shù)方程，而康托羅維奇法最終得到的是常微分方程組。但是由于里茲法中的試函數(shù)一般都不滿Euler方程，而康托羅維奇法中有一部分函數(shù)是通過求Euler方程的邊值問題得到，所以康托羅維奇法的精度一般要比里茲法來得高。在實(shí)x際應(yīng)用中，一般把變化比較復(fù)雜而較難選

10、擇試函數(shù)的那個變量選作為n。和里茲法一樣，要提高康托羅維奇法的精度，一般要增加試函數(shù)中的項(xiàng)數(shù)，但是相應(yīng)的Euler方程個數(shù)也會有所增加(微分方程組的維數(shù)升高)，在實(shí)際計(jì)算中有很多麻煩。另外一種較為合理的方法是變量輪換法，也就是說交替輪換ak(xn)中的變量來提高計(jì)算精度。例7.6矩形截面的柱體扭轉(zhuǎn)問題用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)變余能泛函為取一階近似解為中(x,y)=(b2，y2)u(x)這里v(y)=(2,y2)滿足y=-b邊界上的邊界條件中(xy)=0新的泛函為*(u)=Ja16b5u+$b3u2一16b3uh一a1533該泛函的Euler方程為u(x)，命u(x)=，忌相應(yīng)的邊界條件為u(a)=0

11、從而得到一階近似解為中(x,y)=(b2，y2)u(x)這里u(x)=ch-ikachkx,1,k=1也可以直接用里茲法進(jìn)行求解,取中(x,y)=(b2一y2)(a2一x2)Axmynmn對于矩形截面,取一項(xiàng)中(x,y)=(b2一y2)(a2一x2)A00代入到ababIax丿IT丿-4Pdxdy丄0dA00得到相應(yīng)的解。7.3伽遼金法(Galerkin)伽遼金法的基礎(chǔ)是虛功原理(虛位移原理)：一個平衡力系在任何虛位移中，外力的虛功等于虛應(yīng)變能“-t”dQ=“pT”udB+“ft”udQ其中f為體積力，p為表面力，為與外力系所平衡的可能應(yīng)力?！眜為虛位移,虛位移對應(yīng)的虛應(yīng)變。如果在前面的恒等式

12、(421)中取-=-，u=”u，得到“t”dQ=“E(n)t”udB+“_E(V)t”udQ(7.3.1)”為與從而有“E(V),ft”udQ+“p一E(n)t”udB=0B如果選擇的位移試函數(shù)不僅滿足位移邊界條件，同時還滿足力的邊界條件E(n)-=pB上2上Bi上(7.3.2)即那么就有“E(V)-+ft”udQ=0(7.3.3)和里茲法一樣，我們?nèi)∥灰频脑囁愫瘮?shù)為u=auiii=1那么虛位移為u=,auiii=1a因?yàn)閕是獨(dú)立的變分，因而有E(V)g+ftudQ=0(7.3.4)iQ這里Q是用位移來表示的應(yīng)力。更一般地講，如果微分方程為L(u)=f取試算函數(shù)為nu=auiii=1u其中/滿

13、足所有的邊界條件。那么伽遼金法的積分為(L(U)-f)udx=0,i=1,2,.,ni與里茲法不同的是，在伽遼金法中位移試算函數(shù)除了要滿足位移邊界條件外，一般還需要滿足應(yīng)力邊界條件(也就是說要滿足所有邊界條件)。如果試算函數(shù)不滿足應(yīng)力邊界條件，那么近似計(jì)算的結(jié)果可能不是很理想，甚至可能完全是錯誤的。有時我們也可以根據(jù)問題的需要，在伽遼金積分式中添加一個權(quán)函數(shù)W(x)0以保證收斂速度(L(U)-f)Wudx=0,i=1,2,.,ni該方法也稱為加權(quán)殘值法。例7.7yy=2x,y(0)=y=0取試函數(shù)為y(x)=(1-x)xk,k=1,2,k兩階近似為(x)=a(1-x)x+a(1-x)x212那

14、么(x)+(x)-2x=(一2+x-x2)a+(2-6x+x2一x3)a-2x12代入到伽遼金方程組中+x-x2)a+(2-6x+x2-x3)a-2x4(l-x)dx=012+x-x2)a+(2-6x+x2-x3)a-2(1-x)dx=0012積分并求解得到a=142,a=141369241于是近似解為y(x)=-出(1-x)x-廿(1-x)x236941例7.8長度為1，抗彎剛度為EI的懸臂梁，受均布載荷q的作用。圖7.2例7.8圖梁的平衡方程為EIw一1q(l一x)2=02或者EId4Wdx4取試算函數(shù)為w(x)1.Kx=a1一sin2/那么該試函數(shù)滿足右端的邊界條件(M=Q=)EIw(l

15、)=0,EIw(/)=0把位移的表達(dá)式積分，再根據(jù)左邊的邊界條件(W=W=)得到w(x)=a/21、2.兀x2l1x2sin一x22l冗這樣的試函數(shù)可以滿足所有的力和位移邊界條件。把它代入到伽遼金積分式中EIw一iq(l一x)2w(x)dx=0從中可以求得a，從而得到相應(yīng)的近似解。7.4有限元法前面講到，基于最小勢能原理的里茲法要求試算函數(shù)在整個區(qū)域內(nèi)滿足位移邊界條件,這對于一些形狀比較復(fù)雜或者邊界條件比較復(fù)雜的問題就很難處理，有限元法正好能彌補(bǔ)里茲法的這種缺陷。下面我們用最小勢能原理所對應(yīng)的位移有限元方法加以說明。假如我們在整個區(qū)域內(nèi)取一些點(diǎn)(稱為節(jié)點(diǎn))，用這些節(jié)點(diǎn)把整個區(qū)域劃分成一個個子區(qū)

16、域(稱為單元)，單元和單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接。圖7.3單元和節(jié)點(diǎn)假設(shè)這些節(jié)點(diǎn)的位移已經(jīng)知道，我們記為d，它是所有節(jié)點(diǎn)位移分量所組成的一個向量。每個單元(子區(qū)域內(nèi))包含其中某幾個節(jié)點(diǎn)，單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)的位移向量為de，顯然它是總體位移向量d的一部分。在單元內(nèi)我們對單元的位移we進(jìn)行插值，也就是說單元內(nèi)的位移we可以表示為weNede(7.4.1)其中Ne稱為單元形函數(shù)矩陣，它需要滿足一些特別的性質(zhì)(見有限元的相關(guān)著作)。當(dāng)然，這樣得到的位移在單元內(nèi)是連續(xù)的。因此整個區(qū)域內(nèi)的位移W也可以表示為總體節(jié)點(diǎn)位移d的一個插值，也就是說(7.4.2)wNd其中N為形函數(shù)矩陣。對應(yīng)的應(yīng)變?yōu)镋T()w=ET()N,d根

17、據(jù)本構(gòu)關(guān)系可以得到應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為D(743)其中D為彈性矩陣，是對稱正定。整個區(qū)域的總勢能為niffftDsdV-fffutfdV-JJUTpdS-fffutG6(x-x)dV2iii這里，f,P,Gi分別為體積力，表面力和作用在位置巴的集中力，6(X_Xi)是脈沖函數(shù)。把位移表達(dá)式代入總勢能中可以得到(7.4.4)口idTKd-dTF2其中K1斤Et()NTDEt()NdV稱為總體剛度矩陣，它是對稱。而FJJJNTfdV+JJNtpdS+JJJNtG6(x-x)dViii稱為等效節(jié)點(diǎn)力。根據(jù)最小勢能原理，彈性力學(xué)的解應(yīng)使總勢能取極小值，現(xiàn)在總勢能是關(guān)于節(jié)點(diǎn)位移d的函數(shù)，因此有6口(6d)TK

18、d-(6d)tF0也就是說KdF(7.4.)這就是有限元的平衡方程。在代入邊界條件(也就是邊界上節(jié)點(diǎn)位移)后可以得到一個非奇異的線性代數(shù)方程組，求解該方程組后得到所有節(jié)點(diǎn)的位移，進(jìn)而求得每個單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力。當(dāng)然在實(shí)際求解的時候，往往是先在單元內(nèi)進(jìn)行插值wNede，再求得單元的剛度矩陣Ke和等效節(jié)點(diǎn)力向量Fe，然后再把單元剛度矩陣組裝成總體剛度矩陣K，把單元等效節(jié)點(diǎn)力向量Fe組裝成總體等效節(jié)點(diǎn)力向量F。因此說，有限元法可以看成是里茲法的一個推廣。里茲法在整個區(qū)域內(nèi)采用同一個插值函數(shù)，而有限元方法則把整個區(qū)域分成一個個子區(qū)域，然后在每個區(qū)域內(nèi)對位移分別進(jìn)行插值。由于有限元插值的區(qū)域較小(每個單

19、元)，因此插值函數(shù)的形式相對可以比較簡單，不需要很高的精度。以上我們討論的是根據(jù)最小勢能原理得到的位移有限元方法，同樣可以得到基于最小余能原理的應(yīng)力有限元法。在實(shí)際應(yīng)用中還可以得到基于廣義變分原理的混合有限元法，他們的特點(diǎn)是包含兩種或者兩種以上的場變量。同樣可以放松有限元在邊界上的連續(xù)條件，通過引進(jìn)交界面上的場變量來建立修正的廣義變分原理，得到相應(yīng)的雜交有限元(見7.6節(jié))。關(guān)于有限元方法的詳細(xì)討論可以參考相關(guān)的著作(如辛可維奇的有限元著作)。7.5有限元方法的收斂性先看一個簡單的例子。細(xì)繩在拉力N作用下的(小)撓度u可以用二階微分方程來描述d2uNp(x),u=0atx=0,l(7.5.1)

20、(7.5.2)(7.5.3)的近似解。dx2這里p(x)為橫向分布載荷。上述問題也可以化為下列泛函的極小問題來描述，(u)n1n(半)2p()udx02dx假定極小問題的解為ur，,(ur)min,(u)uH01H0是下列函數(shù)的集合：在0,1上存在平方可積的一階導(dǎo)數(shù)，且u(0)u(l)0在廣義解的意義下，(7.5.1)和(7.5.3)是等價的?，F(xiàn)在用有限元方法求(7.5.3)首先，我們指出，要使(752)有意義的一個充分條件是u在1上連續(xù)、且存在分段連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。符合這一條件的有限元，稱為協(xié)調(diào)元。將0,1分為n個線段x,x,i1,2,ni1i這里x0 x(n)1。每個線段上用線性插值函數(shù)xx

21、xx.u(x)_iu+u,i1,2,，n(7.5.4)xxi-1xxiii1ii1這樣得到的函數(shù)滿足上述的協(xié)調(diào)要求。u取上式中的/為(7.5.3)中極小問題的真解在節(jié)點(diǎn)上的值uur(x)ur,iiixxxxu(x)iUr+i1Ur,I=1,2,nXxi-1xx1ii1ii1u(Z)ur(x)u(x)Q(xx)(xx)=0(x-x)2,xxx2!i-1iii-1i-1i(7.5.5)代入(7.5.2),(u)=,(Ur)+0(d2),d=maxx-xii-1i(7.5.6)將(7.5.4)代入(7.5.3),則把一個泛函求極值問題化為函數(shù)求極值問題，記此時的解為U=Ue,ii兀-兀兀-兀.Ue(X)=iUe+i_Ue,I=1,2,