計算方法教案

1、計算方法教案第一章緒論（1）誤差）選用教材：高等教育出版社計算機數(shù)值方法（第三版）施吉林等編著主講老師：張利萍基本內(nèi)容提要1.誤差的來源2.浮點數(shù)、誤差、誤差限和有效數(shù)字3.相對誤差和相對誤差限4.誤差的傳播5.在近似計算中需要注意的一些問題二教學(xué)目的和要求熟練掌握絕對誤差、絕對誤差限、相對誤差、相對誤差限和有效數(shù)字的概念及其相互關(guān)系；了解誤差的來源以及誤差傳播的情況，掌握在基本算術(shù)運算中誤差傳播后對運算結(jié)果誤差限的計算方法和函數(shù)求值中的誤差估計；理解并掌握幾種減少誤差避免錯誤結(jié)果應(yīng)采取的措施，了解選用數(shù)值穩(wěn)定的算法的重要性。三教學(xué)重點1.絕對誤差、絕對誤差限、相對誤差、相對誤差限和有效數(shù)字的

2、概念及其相互關(guān)系，誤差傳播，減少誤差避免錯誤結(jié)果應(yīng)采取的措施。四教學(xué)難點1.誤差傳播；2.數(shù)值穩(wěn)定算法的選用。五課程類型新知識理論課；六教學(xué)方法結(jié)合課堂提問，以講授為主七教學(xué)過程如下：Introduction計算方法課程介紹計算方法是用數(shù)值的方法研究研究科學(xué)與工程中的計算問題；它的內(nèi)容主要包括：近似值的計算和誤差估計兩個方面；主要工具：計算機；地位：這門課已成為工科各專業(yè)，特別是計算機科學(xué)與技術(shù)、土木工程、機械、數(shù)學(xué)等專業(yè)的必修基礎(chǔ)課。2.發(fā)展狀況幾十年來，計算方法效率的提高是與計算機速度的提高幾乎同步地、同比例地前進的。這里簡述一下國家重點基礎(chǔ)研究計劃項目(簡稱973項目)“大規(guī)?？茖W(xué)計算研

3、究”(1999-2004)的主要內(nèi)容，可以幫助同學(xué)們了解我國科學(xué)計算界所關(guān)心的問題。此項目由石鐘慈院士等人為首組織，集中了我國計算數(shù)學(xué)、計算物理、計算力學(xué)、計算機、以及材料、環(huán)境能源等領(lǐng)域60多名專家，跨學(xué)科，跨部門通力合作研究以下幾個方面的主要內(nèi)容：2)1)復(fù)雜流體的高精度計算，含天氣預(yù)報數(shù)值模擬研究；新材料的物理性質(zhì)機理多尺度計算研究，含超導(dǎo)、超硬度合金等問題的計算研究；3）地質(zhì)油藏模擬與波動問題及其反問題計算研究；（4）基礎(chǔ)計算方法的理論創(chuàng)新與發(fā)展；（5）大規(guī)模計算軟件系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論和實施計算規(guī)模是解決百萬級節(jié)點問題（即求解百萬至千萬個未知數(shù)的方程組）。項目的目標是在幾個重大科技難題的計

4、算研究中取得突破性進展，并在國際科學(xué)計算的學(xué)科前沿取得重要的一席之地。我國計算科學(xué)主要專家簡介周毓麟馮康（1920-1993）院士，早年學(xué)習(xí)物理，后去蘇聯(lián)研究拓撲學(xué)和函數(shù)論，有深厚的數(shù)學(xué)和物理功底。1957年受命組建國家計算中心，為推動我國計算科學(xué)進入國際前列，培養(yǎng)一批批優(yōu)秀人才，做出了不朽的貢獻。馮院士一生中作出兩項國際公認的重大創(chuàng)造，早在20世紀60年代，獨立提出變分差分格式（即有限元），用于計算水壩很成功，1964年在國際上首次證明有限元的收斂性（中文發(fā)表），比M.Zlamal早四年，接著10年文化大革命，馮康的工作幾乎被淹沒，到70年代末才被國際公認為有限元理論的開拓者。1984年又開

5、創(chuàng)了Hamilton系統(tǒng)的辛幾何算法。1923-）院士，著名的拓撲學(xué)、偏微分方程與計算科學(xué)家。1945年畢業(yè)于大同大學(xué)數(shù)學(xué)系，后在北京大學(xué)任教，1953年留學(xué)莫斯科大學(xué)研究偏微分方程，是我國最早用先驗估計和拓撲方法研究偏微分方程的專家。1957年回國在北大任教，1960年調(diào)國防科工委從事核武器與數(shù)值模擬的研究，為“兩彈一星”的成功做出了默默的貢獻，這20年的工作鮮為人知，仍公開發(fā)表百余篇論文，他對差分法首次建立離散Sobolev空間的嵌入理論，并用于偏微分方程的研究，建立了全新體系。石鐘慈（1933-）院士，早年在浙江大學(xué)和復(fù)旦大學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，后留學(xué)蘇聯(lián)學(xué)習(xí)計算數(shù)學(xué)，在中國科學(xué)院成為馮康的得

6、力助手、合作者和接班人。與馮康合作研究彈性組合結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)理論，獲得國家自然科學(xué)獎。20世紀80年代初，是我國最早赴德國洪堡基金會研究的學(xué)者之一。在對四階板問題的非協(xié)調(diào)元的研究中，首次提出了非協(xié)調(diào)元收斂的F-E-M檢驗準則，成為以后一系列研究的基石，也培養(yǎng)了一批批優(yōu)秀的人才。今年來對瀑布式網(wǎng)格法研究中，證明了最佳收斂性，并引發(fā)了一系列工作。1993年馮康院士去世后，石鐘慈院士成為我國計算數(shù)學(xué)的領(lǐng)頭人，為繼續(xù)推動我國科學(xué)計算進入世界強國做出了貢獻。我國計算數(shù)學(xué)界的院士還有林群和催俊芝。河南省計算數(shù)學(xué)發(fā)展狀況介紹河南大學(xué)計算數(shù)學(xué)發(fā)展狀況介紹課堂紀律要求，作業(yè)收交安排和答疑辦法。第一章誤差1.1誤差的

7、來源用數(shù)學(xué)作為工具解決實際問題過程：實際問題f數(shù)學(xué)模型f數(shù)值計算方法f程序設(shè)計f上機計算結(jié)果。從上述過程看，影響計算精度的誤差可分為兩類：一類是“過失誤差”，人為造成的，可以避免；另一類是“非過失誤差”，無法避免。按來源的不同，分為下面幾種：模型誤差：數(shù)學(xué)模型與實際問題之間出現(xiàn)的不可避免的誤差。將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型時，對被描述的實際問題進行了抽象和簡化，忽略了一些次要因素，數(shù)學(xué)模型只是客觀世界的一種近似描述，之間存在一定的差別。屬于“非過失誤差”。例如，用1s=gt22描述自由落體規(guī)律，就是一個數(shù)學(xué)模型，此模型建立時忽略了空氣阻力等因素。如果用s(t)表示真正的運動規(guī)律，則

8、模型誤差為/、1s(t)-gt2。觀測誤差：建立模型和數(shù)值計算過程中，通常用到一些觀測數(shù)據(jù)，由于儀器設(shè)備精度的限制，觀測值和實際值之間的誤差稱為觀測誤差，也叫數(shù)據(jù)誤差。截斷誤差：在計算中常遇到只有通過無限過程才能得到的結(jié)果，但在實際計算中只能用有限過程來計算，于是產(chǎn)生了有限過程代替無限過程的誤差，這種誤差稱為截斷誤差，也叫方法誤差。本課程主要研究該誤差。例如，指數(shù)函數(shù)在x=0點有Taylor展式ex=1+x+2+（Ix|1）2!n!實際計算時只能取前面的有限項（例如n項）刃xkk=0無截斷誤差=藝匕-藝巴。k=0k!k=0k!舍入誤差：數(shù)值計算過程中遇到的數(shù)據(jù)可能位數(shù)很多，也可能是無窮小數(shù)，但

9、在計算時只能對有限位數(shù)進行運算，往往要進行四舍五入，這樣產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。例如，V2,3,“等，在計算時只能取有限位數(shù)進行運算，要進行四舍五入。少量舍入誤差微不足道，但在計算機上完成百千萬次運算后，舍入誤差的積累有時是很大的。前兩種誤差是客觀存在的，后面兩種是計算方法所引起的，本課程所研究的內(nèi)容只涉及后兩種誤差。1.2浮點數(shù)、誤差、誤差限和有限數(shù)字一浮點數(shù)浮點數(shù)：（1）浮點數(shù)屬于有理數(shù)集的某特定子集，為該特定子集中數(shù)的數(shù)字表示；（2）浮點數(shù)可以用來近似表示任意一個實數(shù)，這種表示方法類似于基數(shù)為10的科學(xué)計數(shù)法；（3）如何一個浮點數(shù)x均可表示為x=3x0j=0.aa心x0j,LWJWU12

10、t其中，卩叫做這個數(shù)X的基（10進制中0=10，二進制中0=2），J是階，取整數(shù)，3是尾數(shù)，由t位小數(shù)構(gòu)成，t又稱精度，0WaW01（i=1,2,丫）。i所謂浮點數(shù)就是小數(shù)點在邏輯上是不固定的，而定點數(shù)只能表示小數(shù)點固定的數(shù)值，具用浮點數(shù)或定點數(shù)表示某哪一種數(shù)要看用戶賦予了這個數(shù)的意義是什么。浮點計算是指浮點數(shù)參與的運算，這種運算通常伴隨著無法精確表示而進行的近似或舍入。浮點數(shù)的規(guī)格化（normalize）浮點數(shù)在計算機中的表示是基于科學(xué)計數(shù)法（ScientificNotation）.例如，32676用科學(xué)計數(shù)法可寫成：3.2676x104，3.2676稱為尾數(shù)（Mantissam史ntise

11、、,或者叫Significand）.4稱為指數(shù)（Exponent）,10為基數(shù)（Radix）.浮點數(shù)在計算機中的表示于此類似，只不過基數(shù)是2而不是10.例如:17=17.0 x100=0.17xl02,類似地17二（10001）x2o二（0.10001）x25，22可以看出，每個浮點數(shù)的表示都不唯一，這樣給計算機處理數(shù)據(jù)增加了復(fù)雜性。為了解決這個問題，規(guī)定尾數(shù)部分的最高位必須是1，也就是說尾數(shù)必須以0.1開頭，只對指數(shù)做相應(yīng)的調(diào)整，這稱為正規(guī)化，也叫規(guī)格化。注：二進制：除2取余！例如，100用二進制表示（%表示求余數(shù)，/表示整數(shù)除法，忽略余數(shù)）：100%2=0二進制最后一位，100/2=50;

12、50%2=0二進制倒數(shù)第二位,50/2=25;25%2=1二進制倒數(shù)第三位，25/2=12;（忽略余數(shù)）12%2=0二進制倒數(shù)第四位，12/2=6;6%2=0二進制倒數(shù)第五位，6/2=3;3%2=1二進制倒數(shù)第六位，3/2=1;1%2=1二進制倒數(shù)第七位，結(jié)束。100用二進制表示為1100100=1x22+1x25+1x26。二誤差、誤差限和有效數(shù)字1.誤差：數(shù)X的一個近似值x*與準確值x的差稱為誤差。用e*來表示，即e*=x*-x,誤差可證可負，近似值大于準確值，誤差為正，叫“強近似”；近似值小于準確值，誤差為負，叫“弱近似”。2誤差限：誤差絕對值的上限。用e*表示，即Ie*1=1x*-xl

13、8*nx*-8*xx*+8*因此，可以用誤差限表示近似值x*的精確度x=x*+8*例用有毫米刻度的尺子測量桌子長度，x*=1235mm，是實際長度的一個近似值，由米尺的精度知，誤差不會超過半個毫米，則有Ix*-xI=I1235-xI-2即1234.5x1235.5，寫成x=(1235土0.5)mm.對于一個近似值，除了用誤差表示精確程度外，還希望這個近似值本身就能表示出它的準確程度。于是引入有效數(shù)字的概念。引例，x=*3=1.732050808，下面通過四舍五入取近似值：取3位：x*=1.738*(x)0.005；取5位：x*二1.7321(x)0.00005,這種近似值取法的特點是它們的誤差

14、都不超過末位數(shù)字的半個單位，即1.731*x10-2,1.732111x10-4.3有效數(shù)字：如果近似值x*的誤差限是某位上的半個單位時，稱近似值“準確”到這一位，且該位直到x*的第一位非零數(shù)字一共有n位，則稱x*有n位有效數(shù)字。n位x*=*J誤差限不超過該位的半個單位從左向又看第一個非零數(shù)注意：在同一問題中，參加運算的數(shù)都應(yīng)該有相同位數(shù)的有效數(shù)字。例，x=兀=3.14159265.，按四舍五入的原貝U取1位：x*=3,e*-0.14；11取3位:x*=3.14,e*-0.0016/33取5位：x*=3.1416,e*q+0.000007；55有效數(shù)字和誤差限之間的關(guān)系在有效數(shù)字的定義中給出了

15、有效數(shù)字和誤差限之間的關(guān)系。一般地，設(shè)有一個數(shù)x，其近似值x*的表示成規(guī)格化浮點數(shù)為：x*=0.aaax10m，12n其中，a,a,a都是0，1，2，,9中的一個數(shù)字，且a豐0，n是12n1正整數(shù)，m為整數(shù)。那么x*的誤差限為I8*(X)KX10m-n2稱X*具有n位有效數(shù)字，或稱它精確到10m_n。上式表達了有效數(shù)字和絕對誤差限之間的關(guān)系，可以看出：有效數(shù)字的位數(shù)越多，其絕對誤差限也就越小。例若x*=3587.64是x的具有6位有效數(shù)字的近似值；(2)若x*=0.0023156是x的具有5位有效數(shù)字的近似值;分別求其誤差限。解：（1）x*=0.358764x104XIX104-6=22x10

16、-2（2）x*=0.23156x10-2，所以m二2，有Ix*-xIX10-2-5=2A1。-7當然，也可以由有效數(shù)字的定義直接讀出兩數(shù)的誤差限分別為：0.005和0.00000005.1.3相對(relative)誤差和相對誤差限1.相對誤差：誤差與精確值的比值，即e*x*-x。e*=。rxx注：實際應(yīng)用中，真值x無法知道，通常取e*=工=乂二。rx*x*2相對誤差限：相對誤差絕對值的上界，記為：8*=二(8*為x*rIx*I的誤差限)。注：為了區(qū)別相對誤差與前面所講的誤差，把前面講的誤差稱為絕對誤差。例光速c=(2.997925土0.000001)xlOlCtm/s,近似值c*=2.997

17、925x1Oiocm/s,計算c*的誤差、誤差限、相對誤差和相對誤差限。解:誤差：e*=c*c=0.000001x1010,誤差限：e*1=卜10117=卜104Ne*r相對誤差：e*e*=rc*0.0000012.997925x1010相對誤差限：s*0.00005*=rIc*l2.997925x10103.相對誤差限與有效數(shù)字位數(shù)的關(guān)系(1)x*有n位有效數(shù)字H*=丄x10(n1)r2a1分析：設(shè)x*=0.aaax10m12n為10進制規(guī)格化浮點數(shù)，則有ax10m-1|x*1l(a+1)x10m-11ns*rx10(n1)2a11*=r2a1x10(n1)x10m-n匚ax10m-11即，

18、相對誤差限可以取為：該式表達了有效數(shù)字位數(shù)n與相對誤差限之間的關(guān)系。反過來，有下面的結(jié)論：(2)*1x10(n1)nX*至少有n位有效數(shù)字。r2(a+1)1證明：因為1x*-x曰x*l：(冒1)X10m-1X20X10-(n-1)1=X10m-n2由誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系知道結(jié)論成立例，用x*表示e具有3位有效數(shù)字的近似值，求相對誤差限。解：12a1X10-(n-1)=1X10-(3-1)=X1022x24Summary絕對誤差（e：）、絕對誤差限（8：）、相對誤差（e：）及相對誤差限（8：）rr與有效數(shù)字之間的關(guān)系（1）近似值x：的規(guī)格化浮點數(shù)表示形式為:x*=0.aax10m，12na豐0

19、；1（2）x：有n位有效數(shù)字；le：l=lx：xl8:X10m-n；24)lx：-xl1le：l=8:X10-(n-1)；rlx：lr2a1(5)le：l=8:-X10-(n-1)(-x：至少有n位有效數(shù)字);rlx：lr2(0+1)1n則（1）卜（2）J。（4）（5）.non（5）V注：對具體問題而言，可能還可以寫出更加具體更加精確的誤差限和相對誤差限，例如：兀=3.1415929.，右取近似值x*=0.314x10i,按上述統(tǒng)一的方法取誤差限為：*1x10-2，其實我們可以看出來：2IX*x10.2x10-2，即8*0.2x10-2比0.5x10-2更精確。即是說，在不同情況下，誤差限或相

20、對誤差限可以取得不同的結(jié)果，但統(tǒng)一取法有時便于問題的討論。1.4誤差的傳播1.誤差的傳播：參與運算的數(shù)據(jù)往往都帶有誤差，這些數(shù)據(jù)的誤差在多次的運算中使計算結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差，這就是誤差的傳播問題。下面考慮用近似數(shù)代替準確數(shù)作基本算術(shù)運算，研究運算結(jié)果的誤差限以及函數(shù)求值的誤差估計問題。注：X*的絕對誤差常用X的微分來近似地表示，即dx沁e*=x*一x仝Ax可看作x*是x獲得了一個該變量得到的，即x+Ax=x*,由微分定義知dx沁(x)-Ax=Ax=e*?；具\算結(jié)果的誤差限結(jié)論1設(shè)x*和y*分別是x和y的近似值，即dxx*-x,dy沁y*-y,則直接運用微分運算法則，有(1)d(x土y)=dx

21、土dy；(2)d(xy)=ydx+xdy；(3)d(x；y)=(-xdy+ydx)/y2,y豐0.例.設(shè)a=1.21x3.65+9.81，其中每個數(shù)據(jù)的絕對誤差限為0.005，求a的絕對誤差限。解：da=d(1.21x3.65)+d9.81=3.65xd1.21+1.21xd3.65+d9.81所以，有Idal1.21x0.005+3.65x0.005+0.005沁0.02930.03結(jié)論2若把dx和dy分別看做x*和y*的相對誤差限，即rrdxdx=I1=1d(Inx)I,(x的相對誤差近似地等于Inx的微分)rxdy=I1=1d(Iny)Iry不妨認為分母都是正的)，則有rrd(x+y)q

22、max(dx,dy)，x,y冋號；rd(x-y)q(IxIdx+IyIdy)/1x-yI，x,y冋號;rrr3）4）證明：d(xy)qdx+dy，y豐0-rrr(1)d(x+y)Qd(x+y)=dx+dy=亠竺+亠dyrx+yx+yx+yxx+yy=-dx+丄dyx+yrx+yr若x與x同號，則上式右端dx和dy的系數(shù)亠和亠都在0和1之12rrx+yx+y間，且它們的和等于1，所以有d(x+y)maxdx，dy+rx+yrrmaxdx，dyx+yrr綜上知有二maxdx，dyrrd(x+y)qmax(dx,dy)rrr(2)d(xy)qd(xy)=竺二生=亠rxyxyxydxydyxxyy故（

23、2）成立。(3)d(xy)dln(xy)dlnx+dlny|dlnx1+1dlny|=dx+dyrrr故(3)成立.(4)d(x：y)dIn(蘭)|=|dlnxdlny|=|dxdy|dx+dyryrrrr故（4）成立。例上例中a的相對誤差限da沁max(d(1.21x3.65),d9.81)沁max(d1.21+d3.65,d9.81)rrrrrr二max(dl.21,1.21+d3.65/3.65,d9.81/9.81)=max(0.005/1.21+0.005/3.65,0.005/9.81)沁max(0.0055,0.005)=0.0055.函數(shù)求值的誤差估計由于x不精確，計算f(x)

24、時會產(chǎn)生誤差。有下面的結(jié)論結(jié)論：假定f在包含x和X*的區(qū)間上足夠光滑，用f(x*)去近似f(x)，則f(x)的相對誤差限有下面的關(guān)系df(x)=(r分析：由Taylor公式可得紂(x)=f(x*)-f(x)=f(x)(x*-x)+2(x*-x)2其中g(shù)在x和x*之間。若f(x)與f(x)相比不太大，則忽略高階項得Af(x)qdf(x)=f(x)dx二業(yè)2=(4x止f(x)f(x)xdf(x)=(r注:上式中系數(shù)f(x)x表示x的相對誤差經(jīng)過傳播后增大或者縮f(x)小的因子。多元函數(shù)值的誤差科硏多元函數(shù)的Taylor公式得到。這里我們以二元函數(shù)為例，給出誤差估計的一般公式。對于二元函數(shù)y=f(x

25、,x)，設(shè)x*,x*,y*分別是x,x,y的近似值，且121212y*=f(x*,x*)，將函數(shù)在(x,x)處作Taylor展開，得1212f(x*,x*)二f(x,x)+學(xué)(x*-x)+-(x*-x)1212Qx11dx22121Q2fQ2fQ2f+-F(x*-x)2+2(x*-x)(x*-x)+L(x*-x)22!Qx211QxQx1122Qx221122+所以，忽略高階項后有e*(f)訥=f(x：，x2)f(x1,x2)Qxe*(x)+1(x2)12這里，兩個系數(shù)f和f分別是x*和兀*的絕對誤差增長的因子，表示絕對誤差經(jīng)傳播后增大或縮小的倍數(shù)。e*(f)Qfe*(x*)Qfe*(x*)e

26、*(f)=i+2-ry*Qxy*Qxy*12x*Qfx*Qf=ffe*(x*)+-2fe*(x*)y*Qxr1y*Qxr212兩個系數(shù)叮堂和借f分別是x*和x*對y*的相對誤差增長的因子，y*Qxy*Qx1212表示相對誤差經(jīng)傳播后增大或縮小的倍數(shù)。上述討論結(jié)果可以推廣到一般的n元函數(shù)y=f(x,x，x)TOC o 1-5 h z12n將f(x,x,x)在點(x,x,x)處作Tay|or展開，并略去高階項，即12n12n可得函數(shù)的近似值y*=f(x*,x*,x*)的絕對誤差和相對誤差的估計12n式：Qfe*(y)-e*(x*)，TOC o 1-5 h zQxii=1ie*(y)=if-e*(x

27、*)ry*Qxrii=1i系數(shù)分別表示自變量的誤差經(jīng)傳播變化的倍數(shù)。1.5在近似計算中要注意的一些現(xiàn)象一避免兩個相近的數(shù)相減1例:x二0.3721478693,y=0.3720230572,x*=0.37215,y*二0.37202；則有：x-y=0.0001248121,x*-y*二0.00013那么相對誤差為i(x*-y*)-(x一y)曰000013一o.。0012481211.4%.0.0001248121這個相對誤差是很大的。2原因分析：如果x和y很接近，它們的差u二x-y就很小，因而u的相對誤差就很大。另一方面，從相對誤差的公式來看：18*x10-(n-1)r2a1x*和y*的前面幾

28、位有效數(shù)字相同，相減后有效數(shù)字位數(shù)會大大減少，致使相對誤差增大。解決辦法：(1)取近似值時，多保留幾位有效數(shù)字(上例適用)；(2)有時可以通過變換計算公式，以防止這種現(xiàn)象出現(xiàn)；看下面例子：1例:當X接近于零時，要計算1cosx，應(yīng)先變換為sinx;sinx1+cosx當x充分大時，要計算農(nóng)rr-禍，應(yīng)先變換為1.1+X+X二兩個相差很大的數(shù)進行運算時，要防止小的那個數(shù)被“吃掉”大數(shù)“吃掉”小數(shù)有些情況是允許的，但有些情況下會造成謬誤。為說明這一點，下面舉個例子例：計算方程X2(109+1)x+109二0的根.分析：用因式分解法，得(x109)(X1)二0，兩根為:X二109,X二1.12如果只

29、能用將數(shù)表達到小數(shù)點后8位的計算機，按二次方程求根的公式編制程序進行計算，則有b-b2一4acx二1,22a其中，-b=109+1=0.1x1010+0.0000000001x1010，由于只能表達到小數(shù)點后8位，故0.0000000001x1010將不起作用(即被吃掉)。因b2一4ac沁b2,b24acMbI解得X=1091X=0.2為避免上面的現(xiàn)象出現(xiàn)，算法上做些處理，取bsign(b)b24ac2a在計算X時利用根與系數(shù)的關(guān)系式XXc，得這樣可以算出aXX=1091X=1.2三要注意計算步驟的簡化，減少運算次數(shù)計算公式?jīng)Q定計算步驟，計算步驟直接影響計算的速度和誤差的積累。下面以計算多項式

30、的值為例來說明簡化計算公式的重要性。例:計算多項式p(x)二axn+axn-1+a的值。nn-10分析：若直接計算，計算ax這一項需進行k次乘法運算，共需kk1n(n+1)次乘法運算和n次加法運算，若將公式改寫成嵌套形式：P(x)=(ax+a)x+a)x+a)x+ann-1n-210則只要計算n次乘法運算和n次加法運算。四要避免做被除數(shù)的絕對值遠遠大于除數(shù)絕對值的除法1.直觀認識：用絕對值很小的數(shù)去除絕對值很大的數(shù)，得到的結(jié)果更大，可能上溢，也會增大原有誤差，或者使之后的運算有更大的舍入誤差，將產(chǎn)生錯誤結(jié)果。2算式分析：|忡5中|令+留2212可以看出，如果Ix|很小，則Id()1將很大TOC

31、 o 1-5 h z2rx23.例子說明：求解二元一次方程組丿O0001x+x=1(1)12x+x=2(2)12分析:-(1)x-，得0.00019998-9999x=-9998nx=229999帶入方程組可解得x=竺0.19999而在尾數(shù)是3位十進制浮點數(shù)字系統(tǒng)中運算，結(jié)果將是：-10000 x=-10000,2進一步解得：x=1,x=0(不滿足(2)式)。21出現(xiàn)錯誤的原因：用0.0001作除數(shù)增大了參與運算的數(shù)，也就增大了舍入誤差的量級，從而淹沒了真解。令-(2)X0.0001,仍在上述浮點系統(tǒng)中運算，得x=1(這時舍入2誤差10_4大小)/進而求得x=1，這很理想。1五選用數(shù)值穩(wěn)定的計

32、算公式1.例子說明：計算I=e-1f1xnexdx,n=1,2，n0分析：由分部積分可以得到I的遞推公式：nI=f1xnex-1dx=f1xndex-1=xnex-111-f1ex-1dxn=1-nf1xn-1ex-1dxn00000=1一nI,n=1,2,.n-1I=e一訂1exdx=1-e-10.6321=I*1000（注：這里取k=7,用4位小數(shù)計算，由Taylor公式:e-1沁1+(-1)+(-1)2/2!+(-1)k/(k!)沁0.3679)用遞推公式可以逐個算出近似值I*,但當計算到i*時有：i*=-0.728,n88但從I=e-1f1xnexdx知I都應(yīng)該為正，I*20288上面的計算中，誤差是積累增加的，計算過程中舍入誤差不斷增長的計算公式稱為數(shù)值不穩(wěn)定的。改進方法：選用舍入誤差不增長的計算公式，也就是數(shù)值穩(wěn)定的計算公式，直接從積分可以退出e-11，I，n+1nn+1(證：I1+nIn(n+1)I1nIe-111xndx=)n0n+1取n二9，有110e-i10粗略估計可取I沁丄(丄+蘭)=0.0684.TOC o 1-5 h z921010又知I=1(1-1),n=9,8