立體幾何五 夾角的計(jì)算

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用一：兩直線的夾角：1當(dāng)兩條直線i與i共面時(shí)，我們把兩條直線交角中，范圍在r0,乞內(nèi)的角叫i2r2_作兩直線的夾角.當(dāng)直線l與l是異面直線時(shí)，在直線l上任取一點(diǎn)A作ABl,1212我們把直線l和直線AB的夾角叫作異面直線l與l的夾角.112異面直線的夾角的范圍是f0,壬2-2.直線夾角的向量計(jì)算方法：已知空間兩條直線a，b，且A，C是直線a上不同的兩點(diǎn)，B，D是直線b上不同的兩點(diǎn)，設(shè)直線a，b的夾角0由向量AC,BD確定，滿足COS9_IAC-BDI_IACI-1BDI要點(diǎn)詮釋：空間兩直線所成的角可以通過(guò)這兩直線的方向向量的夾角來(lái)求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾

2、角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角.例1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面二二是矩形，亠丄底面肪二.三是二的中點(diǎn)，已知um,二亠：,求異面直線二與二所成的角的大小.【變式2】如圖，直三棱柱ABC-ABC中，AA_AB_2,AC_BC,D為BBiii11的中點(diǎn)，若異面直線AB與CD的夾角為-：:,求AC的長(zhǎng).1要點(diǎn)二：平面間的夾角1.平面間的夾角的定義：平面兀與兀相交于直線l，12點(diǎn)R為直線l上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)R,在平面兀上作直線l丄11l，在平面兀上作直線l丄l，則lDl=R。我們把直線2212l和l的夾角叫做平面兀與兀的夾角.12122.平面間夾角的向量計(jì)算方法:設(shè)平面兀與兀的

3、法向量分別為n和n，平面兀與兀的夾角為0，則121212cos0=|cosfn，nhJh兩平面的夾角范圍是0,11J叩4L2-3.“平面間的夾角”不同于“二面角”(1)二面角的有關(guān)概念半平面：一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫半平面.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角.如圖，可記作二面角a-a-p或a-AB-p.(2)區(qū)別:平面間的夾角二面角構(gòu)成面-線-面半平面線半平面范圍0,_2o,表示法語(yǔ)言敘述語(yǔ)言敘述或符號(hào)表示 B例2.如圖，在五面體ABCDEF中,FA丄平面ABCD，ADBCFE，AB丄AD，1AF=AB=BC=FE=AD，求平面ACD和

4、平面CDE的夾角的余弦值.2D變式：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD丄底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EF丄PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證：PB丄平面EFD；(2)求平面二與平面:的夾角的大小.三：直線和平面的夾角斜線與平面的夾角：平面的一條斜線與它在該平面內(nèi)的射影的夾角叫作該直線與此平面的夾角.如圖，l是平面的一條斜線，斜足為0，OA是l在平面a內(nèi)的射影，ZPOA就是直線l與平面a的夾角.直線和平面所成角的范圍是o,-_._2_最小角定理：斜線和射影所成的角，是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角；線面角的向量計(jì)算方法設(shè)直線l的方向向量為a，平面a

5、的法向量為u，直線與平面所成的角為0,a與u的角為申，則有sin0=lcos申1=上丄lal-1ul例3.如圖，在正四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，求直線CE與平面BCD成的角. 1變式：四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，ZABC=45,AB=2,BC=22，側(cè)面SBC丄底面ABCD.SA=SB=:3.證明SA丄BC；求直線SD與平面SAB所成角的正弦值.變式：如圖，四棱錐P-ABCD中，AB=AP，PA丄底面ABCD,四邊形ABCD中，AB丄AD，AB+AD=4，CD=2，ZCDA=45。若直線PB與平面PCD所成的角為30。，求線段AB的長(zhǎng).習(xí)題1:如圖，在AABC中，ZABC=60。,ABAC=90,AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使ZBDC=900.設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求AE與DB夾角的余弦值.習(xí)題2：如圖，