五年級奧數(shù)-質(zhì)數(shù)和合數(shù)(教師版)

1、第十三講 質(zhì)數(shù)和合數(shù)1、自然數(shù)按因數(shù)的個數(shù)來分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1、0 四類 .（1）質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）：只有 1 和它本身兩個因數(shù)。（2）合數(shù)：除了 1 和它本身還有別的因數(shù)（至少有三個因數(shù)：1、它本身、別的因數(shù)）。（3）1： 只有 1 個因數(shù)?！?1”既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。注： 最小的質(zhì)數(shù)是 2，最小的合數(shù)是 4，連續(xù)的兩個質(zhì)數(shù)是 2、3。每個合數(shù)都可以由幾個質(zhì)數(shù)相乘得到，質(zhì)數(shù)相乘一定得合數(shù)。20 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：有 8 個（ 2、 3、5、7、 11、13、17、 19）100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有 25 個： 2、 3、5、7、11、13、17、 19、23、29、31、37、41、 43、47、53、

2、 59、61、67、71、73、79、83、89、972、100 以內(nèi)找質(zhì)數(shù)、合數(shù)的技巧： 看是否是 2、3、5、 7、11、 13的倍數(shù)，是的就是合數(shù)，不是的就是質(zhì)數(shù)。 關(guān)系： 奇數(shù)奇數(shù) =奇數(shù)質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù) =合數(shù)3、常見最大、最小 TOC o 1-5 h z A 的最小因數(shù)是： 1；最小的奇數(shù)是：1；A 的最大因數(shù)是：本身；最小的偶數(shù)是：0；A 的最小倍數(shù)是：本身；最小的質(zhì)數(shù)是：2；最小的自然數(shù)是： 0；最小的合數(shù)是：4；4、分解質(zhì)因數(shù)： 把一個合數(shù)分解成多個質(zhì)數(shù)相乘的形式。樹狀圖 例：分析：先把 36 寫成兩個因數(shù)相乘的形式， 如果兩個因數(shù)都是質(zhì)數(shù)就不再進行分解了； 如 果兩個因數(shù)中海油合數(shù)

3、，那我們繼續(xù)分解，一直分解到全部因數(shù)都是質(zhì)數(shù)為止。把 36 分解 質(zhì)因數(shù)是： 36=2 2335、用短除法分解質(zhì)因數(shù) （一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式）。 例：分析： 看上面兩個例子， 分別是用短除法對 18,30 分解質(zhì)因數(shù)， 左邊的數(shù)字表示 “商”， 豎折下面的表示余數(shù)，要注意步驟。具體步驟是：6、互質(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有兩個質(zhì)數(shù)的互質(zhì)數(shù)：兩個合數(shù)的互質(zhì)數(shù)：一質(zhì)一合的互質(zhì)數(shù)：7、兩數(shù)互質(zhì)的特殊情況：1 的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。5和78和97和81 和任何自然數(shù)互質(zhì)；相鄰兩個自然數(shù)互質(zhì)；2 和所有奇數(shù)互質(zhì)； 質(zhì)數(shù)與比它小的合數(shù)互質(zhì)；兩個質(zhì)數(shù)一定互質(zhì)；教學(xué)重點：質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念。教學(xué)難點：正確判斷一個

4、常見數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。兩個自然數(shù)的和與差的積是 41，那么這兩個自然數(shù)的積是 .答案 ：420解析：首先注意到 41是質(zhì)數(shù) ,兩個自然數(shù)的和與差的積是 41,可見它們的差是 1,這是 兩個連續(xù)的自然數(shù) ,大數(shù)是 21,小數(shù)是 20, 所以這兩個自然數(shù)的積是 20 21=420.在下式樣中分別填入三個質(zhì)數(shù) , 使等式成立 . + =50答案 ：2、5、43解析：接近 50 的質(zhì)數(shù)有 43,再將 7分拆成質(zhì)數(shù) 2與質(zhì)數(shù) 5的和.即 2+5+43=50另外 , 還有2+19+29=50 2+11+37=50注 填法不是唯一的 .如也可以寫成 41+2+7=50三個連續(xù)自然數(shù)的積是 1716, 這三個

5、自然數(shù)是 答案 ：11,12,13解析：將 1716 分解質(zhì)因數(shù)得 1716=2 2 3 11 13=11 (2 2 3) 13 由此可以看出這三個數(shù)是 11,12,13.找出 1992 所有的不同質(zhì)因數(shù) , 它們的和是 .答案：88解析：先把 1992 分解質(zhì)因數(shù) , 然后把不同質(zhì)數(shù)相加 , 求出它們的和 . 1992=2 2 2 3 83所以 1992 所有不同的質(zhì)因數(shù)有 :2,3,83. 它們的和是 2+3+83=88. TOC o 1-5 h z 把 7、14、20、21、28、30 分成兩組，每三個數(shù)相乘，使兩組數(shù)的乘積相等.解析：先把 14,20,21,28,30 分解質(zhì)因數(shù) ,看

6、這六個數(shù)中共有哪幾個質(zhì)因數(shù) , 再分?jǐn)傇趦?組中 , 使兩組數(shù)乘積相等 .14=7 2 20=22 521=3 7 28=22 730=2 3 5 7 從上面五個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)來看 ,連7在內(nèi)共有質(zhì)因數(shù)四個 7,六個2,二個 3,二個5,因此 每組數(shù)中一定要含三個 2, 一個 3, 一個 5, 二個 7.六個數(shù)可分成如下兩組 ( 分法是唯一的 ):第一組 : 7 、 28、和 30 第二組： 14、21 和 20且 7 28 30=14 21 20=5880 滿足要求 .注 解答此題的關(guān)鍵是審題 , 抓住題目中的關(guān)鍵性詞語：“使兩組數(shù)的乘積相等”. 實質(zhì)上是要求兩組里所含質(zhì)因數(shù)相同 , 相同的質(zhì)

7、因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)也相同 .先把 14,20,21,28,30 分解質(zhì)因數(shù) ,看這六個數(shù)中共有哪幾個質(zhì)因數(shù) , 再分?jǐn)傇趦山M中 使兩組數(shù)乘積相等 .14=7 2 20=22 521=3 7 28=22 730=2 3 5 7從上面五個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)來看 ,連7在內(nèi)共有質(zhì)因數(shù)四個 7,六個2,二個 3,二個5,因此 每組數(shù)中一定要含三個 2, 一個 3, 一個 5, 二個 7.六個數(shù)可分成如下兩組 （ 分法是唯一的 ）:第一組 : 7 、 28、和 30 第二組： 14、21 和 20 且 7 28 30=14 21 20=5880 滿足要求 .注 解答此題的關(guān)鍵是審題 , 抓住題目中的關(guān)鍵性詞語：“

8、使兩組數(shù)的乘積相等”. 實質(zhì)上是要求兩組里所含質(zhì)因數(shù)相同 , 相同的質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)也相同 .學(xué)生 1430 人參加團體操 , 分成人數(shù)相等的若干隊 , 每隊人數(shù)在 100至 200之間, 問哪 幾種分法 ?解析：把 1430 分解質(zhì)因數(shù)得 1430=2 5 11 13根據(jù)題目的要求 , 應(yīng)在 2、5、11 及 13 中選用若干個數(shù)，使它們的乘積在 100 到 200 之 間，于是得三種答案：（1）2 5 11=110；（2）2 5 13=130；（3）11 13=143.所以,有三種分法 :一種是分為 13隊,每隊 110人；二是分為 11隊，每隊 130人；三是 分為 10 隊，每隊 14

9、3人.A在 1100 里最小的質(zhì)數(shù)與最大的質(zhì)數(shù)的和是 .答案： 99 解析：100,98 是偶數(shù) ,99 是 3倍數(shù),從而知 97是 1100中最大的質(zhì)數(shù) ,又最小的質(zhì)數(shù)是 2, 所以最小的質(zhì)數(shù)與最大的質(zhì)數(shù)的和是 99.小明寫了四個小于 10的自然數(shù) ,它們的積是 360. 已知這四個數(shù)中只有一個是合數(shù) 這四個數(shù)是 、 和.答案： 3,3,5,8解析： 根據(jù)這四個數(shù)中只有一個是合數(shù) , 可知其他三個數(shù)是質(zhì)數(shù) , 將 360 分解質(zhì)因數(shù) 得:360=2 2 2 5 3 3所以,這四個數(shù)是 3,3,5 和 8.把 232323 的全部質(zhì)因數(shù)的和表示為 AB , 那么 A B AB=.答案： 199

10、2解析： 依題意 ,將 232323 分解質(zhì)因數(shù)得 232323=2310101=233 7 13 37從而, 全部不同質(zhì)因數(shù)之和AB =23+3+7+13+37=83所以,A B AB =8 3 83=1992.有三個學(xué)生 ,他們的年齡一個比一個大 3歲,他們?nèi)齻€人年齡數(shù)的乘積是 1620, 這三 個學(xué)生年齡的和是 .答案： 36 歲解析： 根據(jù)三個學(xué)生的年齡乘積是 1620 的條件，先把 1620 分解質(zhì)因數(shù)，然后再根據(jù) 他們的年齡一個比一個大 3 歲的條件進行組合 .1620=22 3 3 3 3 5=912 15所以, 他們年齡的和是 9+12+15=36（歲）兩個數(shù)的和是 107,它

11、們的乘積是 1992, 這兩個數(shù)分別是 和.答案： 83,24解析： 先把 1992 分解質(zhì)因數(shù) , 再根據(jù)兩個數(shù)的和是 107 進行組合1992=2 2 2 3 83 =24 8324+83=107所以,這兩個數(shù)分別是 83和 24.B6. 如果兩個數(shù)之和是 64,兩數(shù)的積可以整除 4875, 那么這兩數(shù)之差是 答案： 14解析：根據(jù)兩數(shù)之積能整除4875,把 4875分解質(zhì)因數(shù) ,再根據(jù)兩數(shù)之和為 64 進行組合4875=355513=(313) (55) 5=(3925) 5由此推得這兩數(shù)為 39 和 25. 它們的差是 39-25=14.某一個數(shù) , 與它自己相加、相減、相乘、相除，得

12、到的和、差、積、商之和為 256. 這個數(shù)是 .答案： 15解析： 解法一因為相同兩數(shù)相加之和為原數(shù)的 2倍,相減之差為零 , 相乘之積為原數(shù)乘以原數(shù) ,相除之 商為 1. 所以原數(shù)的 2 倍加上原數(shù)乘以原數(shù)應(yīng)是 256-1=255. 把 255 分解質(zhì)因數(shù)得 :255=35 17=35 (15+2)=15 2+15 15 所以, 這個數(shù)是 15.解法二 依題意 ,原數(shù)的 2 倍+0+原數(shù) 原數(shù)+1=256,即 原數(shù)的 2 倍+原數(shù) 原數(shù) =256-1原數(shù)的 2 倍+原數(shù) 原數(shù) =255把 255 分解質(zhì)因數(shù)得255=3 5 17 =15(15+2)=152+15 15所以, 這個數(shù)是 15.

13、有 10 個數(shù) :21、22、34、39、44、45、65、76、133 和 153. 把它們編成兩組 ,每組 5 個數(shù),要求這組 5個數(shù)的乘積等于那組 5個數(shù)的乘積 .第一組數(shù) ；第二組數(shù)是答案： 21、22、65、76、153；34、39、44、45、133.解析：先把10 個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù), 然后根據(jù)兩組中所包含質(zhì)因數(shù)必須相等把這10 個數(shù)分成兩組21=3722=21134=21739=31344=22 11 45=33565=51376=22 19133=719153=33 17由此可見 ,這 10個數(shù)中質(zhì)因數(shù)共有6個2,6個3,2 個5,2個7,2 個11,2個13,2個17,2個

14、 19.所以,每組數(shù)中應(yīng)包含 3個 2,3 個3,5、7、11、13、17和 19各一個 .于是,可以這樣 分組:第一組數(shù)是 :21 、 22、65、76、153；第二組數(shù)是 :34 、 39、44、45、133.注若將分為兩組拓廣分為三組 , 則得到一個類似的問題 (1990 年寧波市江北區(qū)小學(xué)五 年級數(shù)學(xué)競賽試題 ):把 20,26,33,35,39,42,44,55,91等九個數(shù)分成三組 , 使每組的數(shù)的乘積相等 .答案是如下分法即可 :第一組： 20， 33， 91；第二組： 44， 35， 39；第三組： 26， 42， 55.有個兩位數(shù) , 在它的十位數(shù)字與個位數(shù)字之間寫一個零,得

15、到的三位數(shù)能被原兩位數(shù)整除 .答案： 12解析： 設(shè)這樣的兩位數(shù)的十位數(shù)字為A，個位數(shù)字為 B，由題意依據(jù)數(shù)的組成知識，可知 100A+B能被 10A+B 整除 .因為 100A+B=90A+(10 A+B), 由數(shù)的整除性質(zhì)可知 90A能被 10A+B整除. 這樣只要把 90A 分解組合 , 就可以推出符合條件的兩位數(shù) .A12345678990A10 915 618 520 930 940 945 850 960 970 980 990 9AB10,1518203040,455060708090290A=2 32 5 A所以, 符合條件的兩位數(shù)共 12個.主人對客人說：“院子里有三個小孩，

16、他們的年齡之積等于72 ，年齡之和恰好是我家的樓號，樓號你是知道的，你能求出這些孩子的年齡嗎？”客人想了一下說： “我還不 能確定答案?！彼酒饋?，走到窗前，看了看樓下的孩子說： “有兩個很小的孩子，我知道 他們的年齡了。”主人家的樓號是 , 孩子的年齡是 .答案： 14；3歲，3 歲，8歲解析：因為三個孩子年齡的積是 72，所以，我們把 72 分解為三個因數(shù) (不一定是質(zhì)因 數(shù))的積，因為小孩的年齡一般是指不超過 15 歲，所以所有不同的乘積式是72=16 12=1 8 9=23 12=2 4 9=26 6=3 3 8=346三個因數(shù)的和分別為： 19、18、17、15、14、14、13.

17、其中只有兩個和是相等的 , 都等 于 14.14 就是主人家的樓號 . 如果樓號不是 14, 客人馬上可以作出判斷 . 反之客人無法作出判 斷,說明樓號正是 14.亦即三個孩子年齡的和為 14.此時三個孩子的年齡有兩種可能 :2 歲、6 歲、 6歲；或 3歲、3歲、 8歲.當(dāng)他看到有兩個孩子很小時 ,就可以斷定這三個孩子的年齡 分別是 3歲、 3歲、 8歲.主人家的樓號是 14 號.C11甲、乙、丙三位同學(xué)討論關(guān)于兩個質(zhì)數(shù)之和的問題。甲說：“兩個質(zhì)數(shù)之和一定 是質(zhì)數(shù)” .乙說：“兩個質(zhì)數(shù)之和一定不是質(zhì)數(shù)” . 丙說：“兩個質(zhì)數(shù)之和不一定是質(zhì)數(shù)” . 他們當(dāng)中 , 誰說得對 ?解析：因為兩個質(zhì)數(shù)

18、之和可能是質(zhì)數(shù)如 2+3=5, 也可能是合數(shù)如 3+5=8, 因此甲和乙的說 法是錯誤的 , 只有丙說得對 .下面有 3 張卡片 3 2 1，從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排起來，得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù) . 把所得數(shù)中的質(zhì)數(shù)寫出來 .解析： 從三張卡片中任抽一張 ,有三種可能 , 即一位數(shù)有三個 ,分別為 1、 2、 3，其中只 有 2、 3 是質(zhì)數(shù) .從三張卡片中任抽二張 , 組成的兩位數(shù)共六個 . 但個位數(shù)字是 2 的兩位數(shù)和個位與十位 上數(shù)字之和是 3 的倍數(shù)的兩位數(shù) , 都不是質(zhì)數(shù) .所以 ,兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)只有 13,23,31.因為 1+2+3=6,6 能被 3整除 ,

19、所以由 1、2、3按任意次序排起來所得的三位數(shù)，都不是 質(zhì)數(shù).故滿足要求的質(zhì)數(shù)有 2、3、13、23、31這五個 .注 這里采用邊列舉、邊排除的策略求解. 在抽二張卡片時 , 也可將得到六個兩位數(shù)全部列舉出來 :12,13,21,23,31,32. 再將三個合數(shù) 12,21,32 排除即可 .在 100 以內(nèi)與 77 互質(zhì)的所有奇數(shù)之和是多少 ? 解析： 100 以內(nèi)所有奇數(shù)之和是1+3+5+ +99=2500，從中減去 100 以內(nèi)奇數(shù)中 7 的倍數(shù)與 11 的倍數(shù)之和7(1+3+ +13)+11 (1+3+ +9)=618 ，最后再加上一個 7 11=77(因為上面減去了兩次 77)，所以

20、最終答數(shù)為2500-618+77=1959.注上面解題過程中 100以內(nèi)奇數(shù)里減去兩個不同質(zhì)數(shù)7與 11的倍數(shù) ,再加上一個公倍數(shù) 7 11,這里限定在 100以內(nèi),如果不是 100以內(nèi),而是 1000以內(nèi)或更大的數(shù)時 ,減去的 倍數(shù)就更多些而返回加上的公倍數(shù)有 7 11 的 1 倍 ,3 倍, 也更多些，這實質(zhì)上是“包含與 排除”的思路 .在射箭運動中 , 每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“ 0”（脫靶），或者是不超過 10 的自 然數(shù).甲、乙兩名運動員各射了 5 箭，每人 5 箭得到環(huán)數(shù)的積都是 1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比 乙少 4 環(huán). 求甲、乙的總環(huán)數(shù) .解析：依題意知 ,每射一箭的環(huán)數(shù) ,只

21、能是下列 11 個數(shù)中的一個 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.而甲、乙 5箭總環(huán)數(shù)的積 1764 0,這說明在甲、乙 5箭得到的環(huán)數(shù)里沒有 0和 10.而 1764=1 2 2 3 3 7 7 是由 5 箭的環(huán)數(shù)乘出來的， 于是推知每人有兩箭中的環(huán)數(shù) 都是 7，從而可知另外 3 箭的環(huán)數(shù)是 5 個數(shù)1 ，2， 2，3，3 經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆纸M之后相乘而得到的 ,可能的情形有 5 種：（1）1，4，9；（2）1，6，6；（3）2，2，9；（4）2，3，6；（5）3，3，4因此，兩人 5 箭的環(huán)數(shù)有5 種可能：7，7，1，4，9和是28；7，7，1，6，6和是27；7，7，2，2，9和是2

22、7；7，7，2，3，6和是25；7，7，3，3，4和是24。甲、乙的總環(huán)數(shù)相差 4, 甲的總環(huán)數(shù)少 .甲的總環(huán)數(shù)是 24, 乙的總環(huán)數(shù)是 28.四只同樣的瓶子內(nèi)分別裝有一定數(shù)量的油 , 每瓶和其他各瓶分別合稱一次 , 記錄千克數(shù)如下 :8、9、10、11、12、13. 已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質(zhì)數(shù),求最重的兩瓶內(nèi)有多少油 ?解析：由于每只瓶都稱了三次 ,因此記錄數(shù)之和是 4瓶油（連瓶）重量之和的 3倍,即 4 瓶油 （加瓶 ）共重（8+9+10+11+12+13） 3=21（千克 ）而油重之和及瓶重之和均為質(zhì)數(shù) , 所以它們必為一奇一偶 , 而質(zhì)數(shù)中是偶數(shù)的質(zhì)數(shù)只有 2, 故

23、有1（1）油重之和為 19 千克, 瓶重之和為 2千克 , 每只瓶重 1 千克, 最重的兩瓶內(nèi)的油為2113- 2=12（千克 ）.219（2）油重之和為 2千克,瓶重之和為 19 千克,每只瓶重 千克,最重的兩瓶內(nèi)的油為419 713- 19 2=7 （ 千克）, 這與油重之和為 2千克矛盾 , 不合要求 , 刪去 .42,912在一位的自然數(shù)中，既是奇數(shù)又是合數(shù)的有 ；既不是合數(shù)又不是質(zhì)數(shù)的有；既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的有 .答案： 9 ，1， 2解析： 在一位自然數(shù)中 , 奇數(shù)有 :1,3,5,7,9, 其中僅有 9 為合數(shù) , 故第一個空填 9. 在一位自然數(shù)中 , 質(zhì)數(shù)有 2、3、5、 7，

24、合數(shù)有 4、6、8、9，所以既不是合數(shù)又不是質(zhì) 數(shù)的為 1. TOC o 1-5 h z 又在一位自然數(shù)中 , 偶數(shù)有 2、4、 6、8，所以既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)為2.最小的質(zhì)數(shù)與最接近 100 的質(zhì)數(shù)的乘積是 .答案： 202解析： 最小的質(zhì)數(shù)是 2, 最接近 100的質(zhì)數(shù)是 101, 它們的乘積是 2 101=202.如果自然數(shù)有四個不同的質(zhì)因數(shù) , 那么這樣的自然數(shù)中最小的是 .答案： 210解析： 最小的四個質(zhì)數(shù)是 2,3,5,7, 所以有四個不同質(zhì)因數(shù)的最小自然數(shù)是2 3 5 7=2109216 可寫成兩個自然數(shù)的積，這兩個自然數(shù)的和最小可以達(dá)到 .答案： 192解析： 先把 921

25、6 分解質(zhì)因數(shù) , 然后再用“試驗法”解答9216=22 2 3 310 個=96 96欲使這兩個自然數(shù)的和最小 ,可使兩數(shù)相等 , 所以這兩個質(zhì)因數(shù)的和最小為 96+96=192.從一塊正方形的木板上鋸下寬為 3分米的一個木條以后 , 剩下的面積是 108平方分米 . 木條的面積是 平方分米 .答案： 36解析： 如下圖所示 ,要求木條的面積 ,必須知道正方形木板的邊長 .把 108 分解質(zhì)因數(shù) .108( cm2)平方分米3 108=2 =12 由此可見分米23339加 3正好等于 12, 所以正方形木板邊長是 12分米 .所以, 木條面積是 3=36( 平方分米 )一、填空1最小的質(zhì)數(shù)是

26、 ( 答案： 2，4， 1。220 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有(答案： 2、3、 5、7、)，最小的合數(shù)是 ()。11、13。)，最小的奇數(shù)是 ( )。、判斷 TOC o 1-5 h z 348 的全部因數(shù)是 2、3、4、6、8、12、16、24 和 48，共有 9 個，所以是合數(shù)。 ()答案： 錯誤4任何一個自然數(shù)最少有兩個因數(shù)。( )答案： 錯誤)如果將它們分成兩組 , 每組五5一個數(shù)如果能被 11 整除，則這個數(shù)一定合數(shù)。 ( 答案： 錯誤 6一個自然數(shù)越大，它的因數(shù)個數(shù)就越多。(答案： 錯誤 三、解析題7. 今有 10 個質(zhì)數(shù) :17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.個數(shù),并且每組的五個數(shù)之和相等 , 那么把含有 101的這組數(shù)從小到大排列 , 第二個數(shù)應(yīng)是 答案： 31解析： 這 10 個質(zhì)數(shù)之和是 598, 分成兩組后 , 每組