線性代數(shù)國(guó)際商學(xué)院主席團(tuán)課件5

1、第五章矩陣的特征值與特征向量引言特征值與特征向量是線性代數(shù)乃至若干分支的基本而重要的概念。其在經(jīng)濟(jì)理論與實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用。例如化矩陣為對(duì)角陣等。第五章矩陣的特征值與特征向量 5.1 5.2 5.3方陣的特征值和特征向量相似矩陣與矩陣可對(duì)角化條件實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化5.1方陣的特征值和特征向量教學(xué)綱目一、特征值與特征向量的定義二、特征值與特征向量的計(jì)算方法三、特征值和特征向量的性質(zhì)四、矩陣的特征值與特征多項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系教學(xué)要求1、理解與掌握特征值與特征向量的定義;2、掌握特征值與特征向量的計(jì)算方法;3、理解與掌握相關(guān)矩陣間特征值和特征向量的關(guān)系;4、理解與掌握矩陣特征值與特征多項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系。

2、引言設(shè)A是方陣，可以求Am嗎？如果有可逆矩陣P，使P-1AP=B，并且Bm容易計(jì)算，則Am=(PBP-1)m=(PBP-1)(PBP-1)(PBP-1)=PBmP-1，于是Am也就比較容易計(jì)算了。為了尋求簡(jiǎn)單的矩陣B(Bm容易計(jì)算)，就需要研究形如P-1AP的矩陣。然而如果P-1AP=kE，則A=P(kE)P-1=kE。說(shuō)明數(shù)量矩陣只與自己有這種關(guān)系P-1(kE)AP=kE。下面再可考慮的簡(jiǎn)單矩陣就是對(duì)角矩陣了。對(duì)于數(shù)域K上的n階矩陣A，如果存在可逆矩陣P，使P-1AP=diag(1, , n)AP=P，令P=1, 2, n 1A( , , )=( , , )=( , , )1n1n1n(A1

3、, A2, An)=(11, 22, nn)，n Kn中有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量1, 2, n，使得A1=11, A2=22, An=nn，其中1, 2, nK。一、特征值與特征向量的定義與性質(zhì)定義1 設(shè)A是數(shù)域F上的n階方陣，如果對(duì)于數(shù)域F的數(shù)0，存在非零n維列向量，使得A=0，則稱0是方陣A的一個(gè)特征值(eigenvalue)，為方陣A的屬于特征值0的一個(gè)特征向量(eigenvector)。 ac bc a例如A ba ，滿足 cb ac 11bc a ba 1 (a b c) 1, cb 11 1所以(a+b+c)為A一個(gè)特征值，1為相應(yīng)的特征向量。1 由定義，(1)若是方陣A的屬于特征值

4、的特征向量，k為任意非零常數(shù)，則k也為A的屬于特征值的特征向量。【證】由題設(shè), O, A=,故對(duì)kR,k0,kO，于是 A(k)=k(A)=k()=(k)表明非零向量k也為A的屬于特征值的特征向量。【注】矩陣的屬于同一特征值的特征向量有無(wú)窮多個(gè)。(2)若1, 2是方陣A的屬于特征值的特征向量，且1+2O，則1+2也為A的屬于特征值的特征向量。2O, A1=1，A2=2，【證】由題設(shè), 1O,A(1+2)=(A1)+(A2)=(1+2)。于是【注】A的屬于特征值的特征向量1, 2, , m的非零線性組合k11+k22+kmm也是A的屬于特征值的特征向量。(3) 一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值?！?/p>

5、證】設(shè)O滿足 ，A=1，A=2，則(1-2)=O，又 O，則1=2。(4)設(shè)1與2為A的分別屬于不同特征值1, 2的特征向量，則1+2不是A的特征向量?！咀C】假設(shè)1+2是A的特征向量，其對(duì)應(yīng)的特征值為，則有A(1+2)=(1+2)，又A1=11, A2=22，A(1+2)=A1+A2=11+22，11+22=(1+2)，(1-)1+(2-)2=O,所以即因?yàn)?2，所以1-與2-不同時(shí)為零，從而1與2線性相關(guān)，因此若1=k2，則1=k2也是2對(duì)應(yīng)的特征向量,或者若2=l1，則2=l1也是1對(duì)應(yīng)的特征向量,！【注】矩陣的屬于不同特征值的特征向量的非零線性組合不再是A的特征向量。二、特征值與特征向量

6、的計(jì)算方法設(shè)A是數(shù)域F上的n階方陣，如果0是方陣A的一個(gè)特征值，為方陣A的屬于特征值0的特征向量，則A=0,(O)，(0E-A)=O,方程組(0EA)X=O的非零解，0E-A=0。因 O，即是則系數(shù)行列式反之，若數(shù)1，使1E-A=0，則(1E-A)X=O，有非零解，設(shè)為一非零解，則(1E-A)=O，線性方程組A=1，即說(shuō)明1為A的特征值，為A屬于特征值1的特征向量。定理5.1 設(shè)A是n階矩陣，則0是A的特征值，是A的屬于特征值0的特征向量的充分必要條件是0是方程|E-A|=0的根，線性方程組(0E-A)X=O的非零解。是【注】定理5.1提供了求特征值與特征向量的方法。一般地，設(shè)是一個(gè)未知量，A

7、為n階方陣，則稱E-A為A的特征矩陣(eigenmatrix)， a11a12 a22an 2a1n a2na21an1(E - A) 。 ann |E-A|為A的特征多項(xiàng)式(eigenpolynomial)， a11 a21an1a12 a22an2a1n a2n annE - A =(-a11)(-a22)(-ann)-a12a21(-a33)(-ann)+【注】A的特征多項(xiàng)式E-A是關(guān)于的n次多項(xiàng)式。E-A=0為A的特征方程。 a11 a21an1a12 a22an 2a1n a2n annE - A 0，其根為矩陣A的全部特征值，即E-A=n-(a11+a22+ann)n-1+=0。定

8、理5.1設(shè)A是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，則(1)0是A的一個(gè)特征值當(dāng)且僅當(dāng)0是A的特征多項(xiàng)式E-A在數(shù)域K中的根；(2)是A的屬于0的一個(gè)特征向量當(dāng)且僅當(dāng)是性方程組(0E-A)X=O的一個(gè)非零解。線 110 求矩陣 A 40 的特征值與特征向量。30例12 1【解】矩陣A的特征多項(xiàng)式為 (1) 411 3000 2 ( 2)( 1)2，E - A 所以A的全部特征值為1=2,2=3=1。對(duì)應(yīng)特征值1=2,線性方程組 (2E-A)X=O，解對(duì)系數(shù)矩陣施以初等行變換，11 0 30 10 0102E A 40 00 , 10 00 0 得基礎(chǔ)解系 =20A，所以屬于特征值的全部11 1 0k10，(k1

9、為任意非零常數(shù)).1特征向量為k1 1對(duì)應(yīng)特征值2=3=1,線性方程組 (E-A)X=O,解對(duì)系數(shù)矩陣施以初等行變換，12 0 20 11 010E-A 40 02 , 11 00 1 -2 ,得基礎(chǔ)解系所以A的屬于特征值 = =1的223 1 1 k2 2全部特征向量為k，(k 為任意非零常數(shù))。2221【注】(1)對(duì)應(yīng)特征值為2=3=1,其線性無(wú)關(guān)的特征向量?jī)H1個(gè)，A的對(duì)應(yīng)特征值2=3=1的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)小于其重?cái)?shù)個(gè)。(2)顯然屬于不同特征值的特征向量1, 2是線性無(wú)關(guān)的，數(shù)小于其重?cái)?shù)個(gè): 1 0 0 , 2 .12 1 1 求數(shù)域K上矩陣A的特征值和特征向量的步驟:計(jì)算A的特征

10、多項(xiàng)式 |E-A|；令|E-A|=0, 求出A在數(shù)域K中的全部特征值1, ,m，(3) 對(duì)于A的每一個(gè)特征值i，求解(iE-A)X=O,得一基礎(chǔ)解系1, 2, n-r，則A的屬于特征值i的全部特征向量為k11+k22+kn-rn-r,其中k1, k2, kn-r是數(shù)域K上的不全為零任意常數(shù)。線性方程組 211210，設(shè)A 0例2 43求A的特征值與特征向量；求可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角矩陣?！窘狻?1)矩陣A的特征多項(xiàng)式為 2041 211 0 3 ( 1) 22，E A 得A的全部特征值為1=-1, 2=3=2，對(duì)應(yīng)特征值1=-1,線性方程組(-E-A)X=O，解對(duì)系數(shù)矩陣施以行變換,

11、13111 1 1010E A 00 00 , 44 00 1得基礎(chǔ)解系0的屬于特征值 =-1，所以A的11 1 1 0 全部特征向量為 k k，(k 為任意非零常數(shù))。1 111 1 對(duì)應(yīng)特征值2=3=2, 解方程組(2E-A)X=O, 對(duì)系數(shù)矩陣1 0111 001 4 4施以行變換2E A 00 00 , 41 00 得基礎(chǔ)解系為： 1 0 , 0 123 1 4 所以A的屬于特征值2=3=2的全部特征向量為 0 1 1 k0(k2, k3為任意常數(shù)且不全為零。)k k k2 322331 4【注】(1)可知對(duì)應(yīng)于特征值2=3=2的特征向量2, 3是 線性無(wú)關(guān)的，即A的對(duì)應(yīng)重?cái)?shù)為2的特征

12、值的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于其重?cái)?shù)個(gè)。(2)可以證明特征向量1, 2, 3是線性無(wú)關(guān)的，即A有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量: 1 0 1 0 ， 1 , 0 .123 1 1 4 【解】(2)因3階矩陣A有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即A1=11，A2=22，A3=33，令P=(1 2 3)，則P可逆， 1) ,A()=( )=(2123112233123 13 1AP=P ，即P1AP .223 3 【注】若A有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, 則A可化為對(duì)角陣。一般地，若n階矩陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即A1=11，A2=22，, An=nn，則令P=(1 2 n)，則P可逆， 1) ,A( )=(

13、 )=( 12n11nn12nn 1 1AP=P ， 即P1AP .nn 【注】若A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, 則A可化為對(duì)角陣。1,A 1例3 設(shè)11 如果把A看成實(shí)數(shù)域R上的矩陣，A有沒(méi)有特征值？如果把A看成復(fù)數(shù)域C上的矩陣，求A的全部特征值。【解】A的特征多項(xiàng)式為 E A 11 2 2 2, 11由于判別式=(-2)2-412=-40, 因此2-2+2沒(méi)有實(shí)根，從而實(shí)數(shù)域上的矩陣A沒(méi)有特征值。復(fù)數(shù)域C上矩陣A的全部特征值為1+i, 1-i。三、特征值與特征向量的性質(zhì)設(shè)為A的一個(gè)特征值, 為A的屬于的特征向量，則10 k(kK)是kA的一個(gè)特征值, 為特征向量?！咀C】 (kA)=k(A)=

14、(k)。20 m是Am(m為正整數(shù))的一個(gè)特征值, 為特征向量?！咀C】 Am =Am-1(A)=Am-1=Am-2(A)= m。30 若A可逆, -1是A-1的一個(gè)特征值，為特征向量。【證】因A可逆，則0，否則=OA-1 =-1。【注】可逆矩陣的特征值都是非零數(shù)。！于是40 若A可逆，-1|A|是A*的一個(gè)特征值，為特征向量?！咀C】因A可逆，所以A*=|A|A-1，于是A*=|A|A-1=|A|(A-1)=|A|-1。50 設(shè)(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0,A的多項(xiàng)式(A)為(A)=amAm+am-1Am-1+a1A+a0E則()是(A)的一個(gè)特征值，為特征向量。【證】(A)

15、=(amAm+am-1Am-1+a1A+a0E)=am(Am) +am-1(Am-1)+a1(A)+a0(E)=am(m) +am-1(m-1)+a1()+a0()=(amm +am-1m-1+a1+a0)=()。60 矩陣AT與A有相同的特征多項(xiàng)式和特征值。|E-AT|=|(E-A)T|=|(E-A)|。【注】A和AT的特征向量未必相同。例3 設(shè)4階方陣A滿足：3E+A=0, AAT=2E, A0，求A的一個(gè)特征值?！窘狻坑?E+A=0，即|-3E-A|=0，因此-3是A的一個(gè)特征值，則A的一個(gè)特征值為 A /-3。由AAT=2E知， |A|2=16，又A0，知|A|=-4，于是A的一個(gè)特征

16、值為 4/3 ?！咀ⅰ咳鬉的行列式A=0=0E-A=0，則A有特征值0。例4冪等矩陣的特征值只能是0 或 1。【證】設(shè)A2=A，是A的特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量，A= (O), A(A)=A()=(A)=2，即 A2=2,又 A2=A =,所以 2 =， (2-)=0，又O，所以2-=0,=0 或 =1。則【注】0, 1只是冪等矩陣特征值的取值范圍。例如 00 10 10 0 ， 00 ， 0 01 都是冪等矩陣，但其特征值卻分別為1=0, 2=0，1=1, 2=0，1=1, 2=1?！咀ⅰ繉?duì)角矩陣的全部特征值為主對(duì)角線的全部元素。設(shè)A= (O) ，則(A)=()，若(A)=O，則()=O，又O

17、,則 ()=0，即(A)=O ()=0.若A2-E=O(A為對(duì)合矩陣) ，即(A)=A2-E=O，故()=2-1=0 =1 或 =-1。又若Am=O(m為正整數(shù), A為冪零矩陣)，故()=m=0 =0?！咀ⅰ?jī)绲?對(duì)合/冪零矩陣的特征值分別為1或0/1或-1/0。四、矩陣的特征值與特征多項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系例設(shè)二階矩陣aa12A 11， a21a22 A的特征多項(xiàng)式為E A a11 a12 a22 a21 2 (a a) (aaaa)，112211221221即A的特征多項(xiàng)式為的二次多項(xiàng)式，設(shè)其為f ()，f()=|E-A|=2-(a11+a22)+(a11a22-a12a21)，設(shè)A在數(shù)域K上有兩

18、個(gè)特征值1, 2，則1+2=a11+a22,12=a11a22-a12a21=A。對(duì)于n級(jí)矩陣A，任取k個(gè)行和同序號(hào)的k個(gè)列，位于交叉位置的元素組成的k階子式稱為A的k階主子式，記作 A i1 , i2 , ik1kn。 i , i , i，其中 12k 命題1設(shè)A是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，則A的特征多項(xiàng)式E-A是的n次多項(xiàng)式，其中n的系數(shù)是1；n-1的系數(shù)等于-tr(A)(tr(A)是A主對(duì)角線上的元素和)；n-k的系數(shù)為A的所有k階主子式的和乘以(-1)k, 1kn。常數(shù)項(xiàng)為(-1)nA。下面僅對(duì)n=3的情形寫出證明, 至于一般情形, 證法同?！咀C】設(shè)A=(aij)是3級(jí)矩陣，則 a110 a

19、210 a310 a12 a220 a320 a130 a23 a33 E A ,依行列式的性質(zhì)3，上述行列式可拆成8個(gè)行列式的和：000000a13a23a33a12a22a32a11a21a310000000000 ,0 ,0 ,它們的值依次是3,-a332,-a222,-a112，00a12a22a32a13a23a33a11a21a31a13a23a33a11a21a31a12a22a32a11a21a31a12a22a32a13a23a33000,0 ,它們的值依次是(1)2 A 2, 3 ,(1)2 A1, 3 ,(1)2 A1, 2 ,(1)3A , 2, 31, 31, 2 因此3的系數(shù)是1；2的系數(shù)等于-tr(A)；1, 2 2, 31, 3(21)AAA;的系數(shù)等于1, 2 2, 31, 3常數(shù)項(xiàng)為(-1)3A。矩陣A=(aij)nn的特征多項(xiàng)式：f()=|E-A|=n-(a11+a22+ann)n-1+(-1)nA,代數(shù)學(xué)的基本定理：任何n次多項(xiàng)式有且僅有n個(gè)復(fù)根。如果A為n階實(shí)矩陣，則它有n個(gè)復(fù)特征值。在數(shù)域K中的特征值的個(gè)數(shù)m應(yīng)滿足：0mn。數(shù)域K上矩陣A的特征值與特征多項(xiàng)式的系數(shù)的關(guān)系？3階