大學(xué)《大學(xué)物理》第5章 電流和磁場(chǎng)

1、第5章 電流和磁場(chǎng)第 5 章 電流和磁場(chǎng)一、電流及電流強(qiáng)度二、磁場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度三、比奧-薩伐爾定律四、安培環(huán)路定理五、利用安培環(huán)路定理求磁場(chǎng)的分布電流電流 電荷的定向運(yùn)動(dòng)。一、電流和電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度大?。?jiǎn)挝粫r(shí)間通過導(dǎo)體某一橫截面的 電量。 方向：正電荷運(yùn)動(dòng)的方向單位：安培（ A ） ，是基本單位。二、磁場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度 1. 磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)電荷在其周圍空間除了產(chǎn)生電場(chǎng)，還產(chǎn)生了磁場(chǎng)。磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)電荷運(yùn)動(dòng)電荷單位 2. 磁感應(yīng)強(qiáng)度特斯拉 簡(jiǎn)稱為特（T）是描述磁場(chǎng)中各點(diǎn)磁場(chǎng)的強(qiáng)弱和方向的物理量，是矢量點(diǎn)函數(shù)。高斯（G） 1G = 10-4T 3. 運(yùn)動(dòng)電荷受的力電場(chǎng)力洛侖茲力（實(shí)驗(yàn)規(guī)律） 二、磁場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)

2、度4. 磁通量磁感應(yīng)線（B 線）磁通量等于通過該面積的磁感應(yīng)線的總根數(shù)。磁通量單位 韋伯 簡(jiǎn)稱為韋（Wb） 1 Wb = 1Tm2 故 磁感應(yīng)強(qiáng)度單位也可寫成 1T = 1 Wb /m2三、比奧-薩伐爾定律 1. 比奧-薩伐爾定律1820年10月載流導(dǎo)線上任一電流元在真空中某點(diǎn) P 處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度稱為真空中的磁導(dǎo)率真空中的磁導(dǎo)率H/m大?。悍较颍喝鐖D所示既垂直電流元 又垂直矢徑一、比奧-薩伐爾定律電流元的磁場(chǎng)的磁感線是圓心在電流元軸線上的同心圓。疊加原理: POPI 電流元的磁感應(yīng)線在垂直于電流元的平面內(nèi)磁感應(yīng)線繞向與電流流向成右手螺旋關(guān)系是圓心在電流元軸線上的一系列同心圓練習(xí)：已知在原點(diǎn)O

3、有一電流元求：該電流元在P點(diǎn)（a,0,0），Q點(diǎn)（0,a,0）S點(diǎn)（a,a,0），T點(diǎn)（0, 0, a）產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 2. 磁通連續(xù)定理磁場(chǎng)的磁感線都是閉合的曲線。任何磁場(chǎng)中通過任意封閉曲面的磁通量總等于零。不存在磁單極子或“磁荷” 。B = dB = 04Idl sin r2ParIdl21dBol例1 長(zhǎng)直電流的磁場(chǎng)任取一電流元Idl，它 在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)大小為方向如圖 dB =04Idl sin r2把直電流分為無數(shù)電流元本例中，所有電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向相同，于是P點(diǎn)B的大小為 1 = 0 ；2 = ，有利用r=a/sin；l=-a cot；dl=a d/sin2，可得B =

4、0I4a(cos1 - cos2)特例：（1）對(duì)無限長(zhǎng)直電流， ParIdl21dBolB = dB = 04Idl sin r2（3）場(chǎng)點(diǎn)在直電流延長(zhǎng)線上（2）半無限長(zhǎng)載流導(dǎo)線無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng):(因?yàn)?)半無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng):直導(dǎo)線延長(zhǎng)線上一點(diǎn)的磁場(chǎng):(因?yàn)樵?中 )一段載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng):(因?yàn)?)例2 圓電流軸線上任一點(diǎn)的磁場(chǎng)xyzoIR P.x 圓電流的電流強(qiáng)度為I 半徑為R ,建如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)圓電流在yz平面內(nèi),場(chǎng)點(diǎn)P坐標(biāo)為x 解：第一步：在圓電流上任取一電流元 由畢薩定律 知其在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度IxyzoR P.x組成的平面第二步：分析各量關(guān)系 明確的方向和大小由

5、此可知且垂直組成的平面內(nèi), 在IxyzoR P.x組成的平面相互垂直 所以與第三步：根據(jù)坐標(biāo),寫分量式IR P.x組成的平面xyzoqcosBByzdd=載流圓線圈軸上磁場(chǎng)成對(duì)抵消dBxIdlIrPRox由對(duì)稱性可知,每一對(duì)對(duì)稱的電流元在P點(diǎn)的磁場(chǎng)垂直分量相互抵消 第四步：考慮所有電流元在P點(diǎn)的貢獻(xiàn)IR P.x組成的平面xyzo第四步：考慮所有電流元在P點(diǎn)的貢獻(xiàn)結(jié)論：在P點(diǎn)的磁感強(qiáng)度()23222032022RxIRrIRBBx+=mm（1）在圓心處討論：（2）在遠(yuǎn)離線圈處載流線圈的磁矩引入方向：沿軸向與電流成右手螺旋關(guān)系例3. 載流直螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng) 設(shè)螺線管的半徑為R，電流為I，每單位長(zhǎng)度

6、有線圈n匝。RRR討論： 實(shí)際上，LR時(shí)，螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng)近似均勻，大小為（1）螺線管無限長(zhǎng)（2）半無限長(zhǎng)螺線管的端點(diǎn)圓心處練習(xí)：如下列各圖示，求圓心O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。OIOIOIOI二、安培環(huán)路定律 1. 定律表述在恒定電流的磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任何閉合路徑一周的線積分（即環(huán)路積分），等于閉合路徑內(nèi)所包圍并穿過的電流的代數(shù)和的 0倍，而與路徑的形狀大小無關(guān)。 空間所有恒定電流共同產(chǎn)生的在磁場(chǎng)中任取的一閉合線，任意規(guī)定一個(gè)繞行方向注意L 上的任一線元與L套連的閉合恒定電流，與L繞行方向成右螺時(shí)取正，反之取負(fù)。二、安培環(huán)路定理 2. 特例驗(yàn)證 如圖，真空中有一載流無限長(zhǎng)直導(dǎo)線，在垂直于電流 I

7、的平面上任取閉合路徑 L 為積分路徑，磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)流為當(dāng)電流反方向流動(dòng)時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度反向，閉合路徑 L 的繞行方向與電流不構(gòu)成右螺，有若I 在L外（L未包圍I）對(duì)非平面閉合路徑，r 和 dr 可以正交分解為平行于電流 I 分量和垂直于電流 I 的分量。其他情況如圖，在一圓形電流I所在的平面內(nèi)，選取一個(gè)同心圓形閉合回路L，則由安培環(huán)路定理可知 (A) ，且環(huán)路上任意一點(diǎn)B = 0 (C) ，且環(huán)路上任意一點(diǎn)B0 (D) ，且環(huán)路上任意一點(diǎn)B =常量 (B) ，且環(huán)路上任意一點(diǎn)B0 答案：如圖，平行的無限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線A和B，電流強(qiáng)度為I，垂直紙面向外，兩根載流導(dǎo)線之間相距為a，則 中點(diǎn)（p點(diǎn)）的

8、磁感應(yīng)強(qiáng)度 ，磁感應(yīng)強(qiáng)度 沿圖中環(huán)路l的線積分課堂練習(xí)3. 注意事項(xiàng)只有環(huán)路內(nèi)的電流對(duì)環(huán)流有貢獻(xiàn)。閉合路徑 L 上每一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是所有電流（包括閉合曲線外的）共同產(chǎn)生的。安培環(huán)路定理是描述磁場(chǎng)特性的重要規(guī)律。磁場(chǎng)中的環(huán)流一般不等于零，說明磁場(chǎng)屬于非保守場(chǎng)（稱為渦旋場(chǎng)）。定理僅適用于穩(wěn)恒電流的穩(wěn)恒磁場(chǎng)。三、利用安培環(huán)路定理求磁場(chǎng)的分布1. 利用安培環(huán)路定理求磁場(chǎng)的步驟依據(jù)電流的對(duì)稱性分析磁場(chǎng)分布的對(duì)稱性；依據(jù)磁場(chǎng)分布的對(duì)稱性選取合適的閉合路徑（又稱為安培環(huán)路），確保能使 B 以標(biāo)量的形式從積分號(hào)內(nèi)提出來。安培環(huán)路定理的應(yīng)用舉例例：求載流無限長(zhǎng)圓柱面內(nèi)外的磁場(chǎng)。設(shè)圓柱面半徑為R，通有恒定電流I

9、。RIBrLP對(duì)稱性分析將圓柱面分為無限多窄條，每個(gè)窄條可看作是載有電流dI的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線任取一對(duì)相對(duì)于圖中r對(duì)稱的窄條LrPdI1俯視圖dB1dB2dBdI2R它們?cè)趫D中P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)分別為其合磁場(chǎng)dB垂直于r方向(且在垂直于軸線的平面內(nèi))，P點(diǎn)的磁場(chǎng)就是所有這樣一對(duì)對(duì)的窄條形成的，所以P點(diǎn)的磁場(chǎng)B一定也垂直于r方向如圖。 由于圓柱面上電流分布的軸對(duì)稱性，可知柱面外任一點(diǎn)的B 均垂直于相應(yīng)的r方向；且距離軸線同遠(yuǎn)的場(chǎng)點(diǎn)，其B的大小相同。LrP俯視圖BRdl選合適的環(huán)路：由上分析知，應(yīng)選在垂直于軸線的平面內(nèi)的過P點(diǎn)的以r為半徑的圓形環(huán)路L正方向如圖。計(jì)算LrP俯視圖BRdl2. 安培環(huán)路定理的

10、應(yīng)用舉例 例.無限長(zhǎng)載流圓柱形導(dǎo)體的磁場(chǎng)分布。設(shè)圓柱半徑為R，橫截面上均勻地通有總電流I，沿軸線流動(dòng)。求磁場(chǎng)分布。解：由對(duì)稱性分析，圓柱體內(nèi)外空間的磁感應(yīng)線是一系列同軸圓周線。在平行與軸線的直線上各點(diǎn)的 B 相同。（1）r R （2）r R ,同理討論若電流為面分布，即電流 I 均勻分布在圓柱面上，則由安培環(huán)路定理得空間的磁場(chǎng)分布為：例2. 載流螺繞環(huán)的磁場(chǎng)分布。環(huán)形螺線管稱為螺繞環(huán)。設(shè)螺繞環(huán)軸線半徑為R，環(huán)上均勻密繞 N 匝線圈，通有電流 I。求環(huán)內(nèi)外磁場(chǎng)分布。解：（1）環(huán)管內(nèi)環(huán)內(nèi)的 B 線為一系列與環(huán)同心的圓周線，在環(huán)內(nèi)任取一點(diǎn) P，取過 P 點(diǎn)作以O(shè)點(diǎn)為圓心，半徑為 r 的圓周為積分回路L。環(huán)管截面半徑 R 時(shí),其中 為螺繞環(huán)單位長(zhǎng)度上的匝數(shù)。（2）環(huán)管外L例3.無限大均勻平面電流的磁場(chǎng)分布。Pabcl解：由平面對(duì)稱性知道無限大平面兩側(cè)為均勻磁場(chǎng),方向相反(右手定則)，令j 代表面電流密度矢量的大小，為通過垂直電流方向的單位長(zhǎng)度上的電流。取回路 Pabc，使 aP 與 bc 以平面對(duì)稱，長(zhǎng)為 l，則取一閉合積分回路L，使三根載流導(dǎo)線穿過它所圍成的面?，F(xiàn)改變?nèi)鶎?dǎo)線之間的相互間隔，但不越出積分回路，則 （填“不變或變” ）；L上各點(diǎn)的 （填“不變或變” ）。答案：不變、變。課堂練習(xí)練習(xí)題1.一根很長(zhǎng)的圓柱均勻載有10 A電流，在其內(nèi)部作一平