09-10高數(shù)a2期末卷及答案

1、2009-2010 學(xué)年第 2 學(xué)期期末一選擇題(每題 3 分，共 21 分)試卷1下列方程中為柱面方程的是(A) x2 2 y2 2z2 1)。(B) z x2 y2(C) x2 y2 z(D) z2 2 y 2 11 1 y212二次積分 dyf ( x, y)dx 可化為（）。1 1 y202cos2cos(A)d F (r, )drF (r, )dr(B)d2000022cos2cos 0 0dF (r, )dr(D)dF (r, )dr(C)2其中F (r, ) rf (r cos , r sin ) 。3設(shè) 是三坐標(biāo)面及 x 2 y z 1 所圍的有界閉區(qū)域，則 f ( x, y,

2、 z)dv ()。1 x11111 x 2 ydxdy(A)dxdyf ( x, y, z) dz(B)f ( x, y, z) dz220000001 y1 x 2 y11 x 2 y11(C)dxdydx dy(D)2f ( x, y, z) dzf ( x, y, z) dz0000004下列級數(shù)收斂的是（）。1112 1n2 1nn1(C) cosn1(D) sinn12 10100 )(A)(B)(n1n(n 1)n5若級數(shù) a xn 在 x 3 處收斂，則 a( x 1)n 在 x 3 處（）。nnn0n0斂散性與an 有關(guān)(A) 發(fā)散(B) 條件收斂(C)絕對收斂(D)6.下列命

3、題正確的是()。1u(A) 若 un 發(fā)散,若 un 發(fā)散，則| un | 必發(fā)散則收斂(B)n1n1n1n1nu 1 ,則 u若lim u 0 ,則 u 收斂若lim n1(C)收斂(D)nnnnunn1n1n x 0, 且f ( x 2 ) f ( x) ，則 f ( x) 的7.設(shè) f級數(shù)在x 點(diǎn) x 處收斂于（(A) 1 ）。(B) 1 (C) 1第 1 頁 共 6 頁(D) 0二填空題(每題 3 分，共 21 分)1 xoz 面上的曲線 z2 2 x 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周，所生成的曲面方程為。1 x2012交換二次積分順序， dxf ( x, y)dy =。03設(shè) L : x2 y2

4、1 ( y 0) ，則 x2 ds 。L4若( x3 ay2 )dx (sin y 4 xy)dy 在整個 xoy 面內(nèi)為某一函數(shù)的全微分，則a =。5若(2an 1) 收斂， 則 lim an =。nn1xnn06. 級數(shù)收斂域?yàn)椋?其和函數(shù)為。n27. 設(shè) f ( x) 是以2 為周期的函數(shù)，且 f ) ，則其級數(shù)中系數(shù)b3 =。三計(jì)算題(1 5 題每題 6 分；6、7 每題 7 分，共 44 分 )求曲面 x2 2 y2 z2 12 平行于平面 x 2 y 3z 0 的切平面方程。計(jì)算 I (2x2 y)d， 其中 D 由曲線 y 3，y x 及 y 3 x 所圍的閉區(qū)域。D3. 計(jì)算曲

5、線積分 (2 xy y sin x )x2 y 1)dy ，L其中 L 是曲線 y 1 x2 上從點(diǎn)O(0, 0) 到 B(2, 2 ) 的一段弧。24.計(jì)算曲面積分 z2dS ，其中 ： z x2 y2 (0 z 2) 。( x 1)n5求冪級數(shù)n1的收斂半徑和收斂域。n 3n展開為 x 1 的冪級數(shù)。x 26將 f7判別級數(shù)(1)n ( n 1 n ) 的斂散性，如果收斂，請說明是條件收斂， 還是n1絕對收斂。、應(yīng)用題 (本題 8 分)求由曲面 z 5 x2 y2 及2z x2 y2所圍的體積。五、證明題 (本題 6 分) 若級數(shù)| un | 收斂，證明：級數(shù) un 收斂。n1第 2 頁

6、共 4 頁n1四2009-2010 學(xué)年第二學(xué)期高數(shù) A 期終卷參考一、選擇題(每小題 3 分，共 21 分)1、（D）2、（B）3、（B）4、（D） 5、（C）6、（B） 7、（A）二、填空題(每小題 3 分，共 21 分)3、 ；11 y1、 z2 y2 2 x ；2、 dyf ( x, y)dx ；2004、2 ；5、 1 ；22 x7、 26、(2, 2) ；23三試解下列各題(1-5 每題 6 分，6、7 每題 7 分；共 44 分)1設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 x0 , y0 , z0 ，則曲面在該點(diǎn)的法向量n ( x0 , 2 y0 , z0 ) ，x02 y0z0 1, 2, 3 ，由題意知

7、 n / /n1 ，故 t ，已知平面的法向量n1123解得t 1 或t 1 ， 從而所求切點(diǎn)為(1,1, 3) 或 (1, 1, 3) ，所以所求平面的方程為 x 2 y 3z 12 0 或 x 2 y 3z 12 0 。3 262原式dy(2 x y)dx (y3 y2 )dy 723y2 y33270013 x33或 原式dx(2 x y)dy dx(2 x y)dy220 x1x)dx 1 22 72333 記 P 2 xy2 y sin x ,Q cos x 2 x2 y 1 ，Q P 4 xy sin x ，故曲線積分在整個平面內(nèi)與路徑無關(guān)，為折線段： O(0, 0) A(2, 0

8、) B(2, 2 ) ，得xy選積分22原式= dx (cos 2 8 y 1)dy （4 分） 2 cos 2 16 。200（或直接化為定積分計(jì)算）4. 在 xoy 平面內(nèi)的投影為：D： x2 y2 4xy， z ，z xyx2 y2x2 y222 z2ds 2 ( x2 y2 )dxdy r dr 8 2 。32d00Dt nan15. 令t x 1 原級數(shù)變?yōu)椋?lim | n1 | lim，收斂半徑 R 3n1 n 3nan 3(n 1)3nn 3 ，即 2 x 4 時，原級數(shù)收斂，當(dāng)t11n當(dāng) x 2 時，原級數(shù)為(1)收斂；當(dāng) x 4 時，原級數(shù)為n1n發(fā)散；nn1即原級數(shù)的收斂

9、域?yàn)?, 4)第 3 頁 共 4 頁11 x 1) ，6.由于1x 1) 1 11而 f ，2(1 x 1)3 1 ( x 1)2x 2，11 1x 32(1 x 1)2 n0n02(1)n1f ( x) 1 ( x 1)n ， (0 x 2) 。所以2n13 n01117.| un | (n 1 n ) n1, 因?yàn)?，n 1 n 1 n2 n 1nn1n11又級數(shù)n1| un | 發(fā)散，n1發(fā)散，由比較審斂法 ，級數(shù)n 11,原級數(shù)為 (1) ann記 an,n 1 nn1且an 滿足條件： an an1 ， lim an 0 ， 由定理知，n級數(shù) (1)n a 收斂，即原級數(shù)收斂，且是條件收斂的。nn1應(yīng)用題(本題 8 分) z 5 x2 y25z （舍去），z 1在 xoy 面上的投影為 D : x2 y2 4由解得4 2z x2 y2 28V = (5 x2 y2 1122x y )dxdy d(5 rr )rdr2222232800D125 r 2222或V= dxdydz 0 drdrdz 0 d(5 r 2 r )rdr 2130