高中數(shù)學(xué)選擇性必修三 8.3 分類變量與列聯(lián)表 導(dǎo)學(xué)案

1、8.3 分類變量與列聯(lián)表 1.通過對典型案例的探究,了解獨立性檢驗(只要求22列聯(lián)表)的基本思想、方法及初步應(yīng)用.2.通過對數(shù)據(jù)的收集、整理和分析,增強學(xué)生的社會實踐能力,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.重點：了解獨立性檢驗(只要求22列聯(lián)表)的應(yīng)用. 難點：獨立性檢驗(只要求22列聯(lián)表)的基本思想、方法1. 分類變量為了表述方便,我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實數(shù)表示,例如,學(xué)生所在的班級可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示,等等.2. 22列聯(lián)表表是關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的22列聯(lián)表:最后一行的

2、前兩個數(shù)分別是事件Y=0和Y=1的頻數(shù);最后一列的前兩個數(shù)分別是事件X=0和X=1的頻數(shù);中間的四個數(shù)a,b,c,d是事件X=x,Y=y(x, y=0,1)的頻數(shù);右下角格中的數(shù)n是樣本容量。XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d3.兩個分類變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的定性分析的方法：(1)頻率分析法：通過對樣本的每個分類變量的不同類別事件發(fā)生的頻率大小進行比較來分析分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系.如可以通過列聯(lián)表中aa+b與cc+d值的大小粗略地判斷分類變量x和Y之間有無關(guān)系.一般其值相差越大,分類變量有關(guān)系的可能性越大.(2)圖形分析法：與表格相比，圖形更

3、能直觀地反映出兩個分類變 量間是否互相影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)用高度相同的兩個條形圖表示出來，其中兩列的數(shù)據(jù)分別對應(yīng)不同的顏色，這就是等高堆積條形圖.等高堆積條形圖可以展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，能夠直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響.4.獨立性檢驗公式及定義： 提出零假設(shè)(原假設(shè))H0:分類變量X和Y獨立，假定我們通過簡單隨機抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，在列聯(lián)表中，如果零假設(shè)H0成立，則應(yīng)滿足aa+bcc+d，即ad-bc0.因此|adbc|越小,說明兩個分類變量之間關(guān)系越弱;|adbc|越大，說明兩個分類變量之間關(guān)系越強.為了使不同樣本容量

4、的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準,基于上述分析,我們構(gòu)造一個隨機變量2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d5.臨界值的定義：對于任何小概率值，可以找到相應(yīng)的正實數(shù)x，使得P(2x)=成立，我們稱x為的臨界值，這個臨界值可作為判斷2大小的標準，概率值越小，臨界值x越大.基于小概率值的檢驗規(guī)則：當2x時，我們就推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當23.841,所以有的把握判定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān)系.4.在500人身上試驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒作用，把他們一年中的感冒記錄與另

5、外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示。問：該種血清能否起到預(yù)防感冒的作用？未感冒感冒合計使用血清258242500未使用血清216284500合計47452610005.隨著工業(yè)化以及城市車輛的增加,城市的空氣污染越來越嚴重,空氣質(zhì)量指數(shù)API一直居高不下,對人體的呼吸系統(tǒng)造成了嚴重的影響.現(xiàn)調(diào)查了某市500名居民的工作場所和呼吸系統(tǒng)健康情況,得到22列聯(lián)表如下:室外工作室內(nèi)工作總計有呼吸系統(tǒng)疾病150無呼吸系統(tǒng)疾病100總計200(1)補全22列聯(lián)表;(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為感染呼吸系統(tǒng)疾病與工作場所有關(guān)?(3)現(xiàn)采用分層抽樣從室內(nèi)工作的居民中抽取一

6、個容量為6的樣本,將該樣本看成一個總體,從中隨機地抽取兩人,求兩人都有呼吸系統(tǒng)疾病的概率.參考答案：知識梳理學(xué)習(xí)過程問題探究問題1. 這是一個簡單的統(tǒng)計問題,最直接的解答方法是,比較經(jīng)常鍛煉的學(xué)生在女生和男生中的比率,為了方便,我們設(shè)f0=經(jīng)常鍛煉的女生數(shù)女生總數(shù), f1=經(jīng)常鍛煉的男生數(shù)男生總數(shù)那么,只要求出f0和f1的值,通過比較這兩個值的大小,就可以知道女生和男生在鍛煉的經(jīng)常性方面是否有差異,由所給的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到f0=3315230.633, f1=4736010.787.由f1-f0 0.787-0.633=0.154可知,男生經(jīng)常鍛煉的比率比女生高出15.4個百分點.所以該校的女

7、生和男生在體育鍛等的經(jīng)常性方面有差異,而且男生更經(jīng)常鍛煉. 用n表示該校全體學(xué)生構(gòu)成的集合,這是我們所關(guān)心的對象的總體,考慮以n為樣本空間的古典概型,并定義一對分類變量X和Y如下:對于中的每一名學(xué)生,分別令X=0,該生為女生1,該生為男生，y=0,該生不經(jīng)常鍛煉1,該生經(jīng)常鍛煉,“性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響”可以描述為P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1);“性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響”可以描述為P(Y=1|X=0)P(Y=1|X=1). 我們希望通過比較條件概率P(Y=1|X=0)和P(Y=1|X=1)回答上面的問題.按照條件本概率的直觀解釋,如果從該校女生和男生中各隨機選取一名學(xué)

8、生,那么該女生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率是P(Y=1|X=0),而該男生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率是P(Y=1|X=1).為了清楚起見,我們用表格整理數(shù)據(jù)性別鍛煉合計不經(jīng)常（Y=0）經(jīng)常（Y=1）女生（X=0）192331523男生（X=1）128473601合計3208041124 我們用X=0,Y=1表示事件X=0和Y=1的積事件,用X=1,Y=1表示事件X=1和Y=1的積事件,根據(jù)古典概型和條件概率的計算公式,我們有P(Y=1|X=0)=n(X=0,Y=1)n(X=0)=3315230.633P(Y=1|X=1)=n(X=1,Y=1)n(X=1)=4736010.787由P(Y=1|X=1)P(

9、Y=1|X=0)可以作出判斷,在該校的學(xué)生中,性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響,即該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異,而且男生更經(jīng)常鍛煉。 在實踐中,由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高,人們經(jīng)常按研究問題的需要,將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計,并做成表格加以保存,我們將下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為22列聯(lián)表(contingency table).22列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù),以右表為例,它包含了X和Y的如下信息:最后一行的前兩個數(shù)分別是事件Y=0和Y=1中樣本點的個數(shù);最后一列的前兩個數(shù)分別是事件X=0和X=1中樣本點的個數(shù);中間的四個格中的數(shù)是表格的核心部分,給出了事件X=x,Y=y(x,

10、y=0,1)中樣本點的個數(shù);右下角格中的數(shù)是樣本空間中樣本點的總數(shù)。性別鍛煉合計不經(jīng)常（Y=0）經(jīng)常（Y=1）女生（X=0）192331523男生（X=1）128473601合計3208041124二、典例解析例1.解:用表示兩所學(xué)校的全體學(xué)生構(gòu)成的集合.考慮以為樣本空間的古典概型.對于中每一名學(xué)生,定義分類變量X和Y如下:X=0,該生來自甲校1,該生來自乙校，y=0,該生數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀1,該生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀,學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計711788我們將所給數(shù)據(jù)整理成表（單位：人） 表是關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的22列

11、聯(lián)表:最后一行的前兩個數(shù)分別是事件(Y=0)和(Y=1)的頻數(shù);最后一列的前兩個數(shù)分別是事件(X=0)和(X=1)的頻數(shù);中間的四個格中的數(shù)是事件(X=x,Y=y)(x,y=0,1)的頻數(shù);甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率分別為33430.7674和1043 0.2326;乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率分別為3845 0.8444和745 0.1556我們可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計算結(jié)果,如圖所示 左邊的藍色和紅色條的高度分別是甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率;右邊的藍色和紅色條的高度分別是乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率,通過比較發(fā)

12、現(xiàn),兩個學(xué)校學(xué)生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率存在差異,甲校的頻率明顯高于乙校的頻率,依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理,我們可以推斷P(Y=1|X=0)P(Y=1|X=1).也就是說,如果從甲校和乙校各隨機選取一名學(xué)生,那么甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率大于乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率,因此,可以認為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異,甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高。學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計711788問題2.有可能； “兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這個結(jié)論是根據(jù)兩個頻率間存在差異推斷出來的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機抽取

13、的這個樣本中，兩個頻率間確實存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率實際上是沒有差別的.對于隨機樣本而言，因為頻率具有隨機性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯誤，而且在樣本容量較小時，犯錯誤的可能性會較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時也希望能對出現(xiàn)錯誤推斷的概率有一定的控制或估算.考慮以為樣本空間的古典概型,設(shè)X和Y為定義在上,取值于0,1的成對分類變量,我們希望判斷事件X=1和Y=1之間是否有關(guān)聯(lián)。注意到X=0和X=1, Y=0和Y=1都是互對立事件,與前面的討論類似,我們需要判斷下面的假定關(guān)系H0:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)是否成立,通常稱H0為零假

14、設(shè)或原假設(shè)(null hypothesis).P(Y=1|X=0)表示從X=0中隨機選取一個樣本點,該樣本點屬于X=0,Y=1的概率;P(Y=1|X=1)表示從X=1中隨機選取一個樣本點,該樣本點屬于X=1,Y=1的概率。由條件概率的定義可知,零假設(shè)H0等價于P(X=0,Y=1)P(X=0)= P(X=1,Y=1)P(X=1)或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0). 考慮以為樣本空間的古典概型,設(shè)X和Y為定義在上,取值于0,1的成對分類變量,我們希望判斷事件X=1和Y=1之間是否有關(guān)聯(lián)。注意到X=0和X=1, Y=0和Y=1都是互對立事件,與前面的討論類似,我們需

15、要判斷下面的假定關(guān)系H0:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)是否成立,通常稱H0為零假設(shè)或原假設(shè)(null hypothesis).P(Y=1|X=0)表示從X=0中隨機選取一個樣本點,該樣本點屬于X=0,Y=1的概率;P(Y=1|X=1)表示從X=1中隨機選取一個樣本點,該樣本點屬于X=1,Y=1的概率。由條件概率的定義可知,零假設(shè)H0等價于P(X=0,Y=1)P(X=0)= P(X=1,Y=1)P(X=1)或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0). 注意到(X=0)和(X=1)為對立事件,于是P(X=0)=1-P(X=1).再由概率的性質(zhì),我們有P(X=

16、0,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=1).由此推得式等價于P(X=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1).因此,零假設(shè)H0等價于X=1與Y=1獨立。根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的概率知識,下面的四條性質(zhì)彼此等價: X=0與Y=0獨立;X=0與Y=1獨立;X=1與Y=0獨立;X=1與Y=1獨立。以上性質(zhì)成立,我們就稱分類變量X和Y獨立,這相當于下面四個等式成立;P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0); P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1);P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0); P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1). 我們可以用概率語言,將零假設(shè)改述為H0:分類變量

17、X和Y獨立.假定我們通過簡單隨機抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表,如下表所示。 表是關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的22列聯(lián)表:最后一行的前兩個數(shù)分別是事件Y=0和Y=1的頻數(shù);最后一列的前兩個數(shù)分別是事件X=0和X=1的頻數(shù);中間的四個數(shù)a,b,c,d是事件X=x,Y=y(x, y=0,1)的頻數(shù);右下角格中的數(shù)n是樣本容量。XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d問題3:在零假設(shè)H0成立的條件下,根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理,由中的第一個等式,我們可以用概率P(X=0)和P(Y=0)對應(yīng)的頻率的乘積(a+b)(a+c)n2估計概率P(X=0,Y=0)

18、,而把(a+b)(a+c)n2視為事件X=0.Y=0發(fā)生的頻數(shù)的期望值(或預(yù)期值).這樣,該頻數(shù)的觀測值a和期望值(a+b)(a+c)n應(yīng)該比較接近.綜合中的四個式子,如果零假設(shè)H0成立,下面四個量的取值都不應(yīng)該太大:|a-(a+b)(a+c)n|, |b-(a+b)(b+d)n|, |c-(c+d)(a+c)n|, |d-(c+d)(b+d)n| 反之,當這些量的取值較大時,就可以推斷H0不成立。 分別考慮中的四個差的絕對值很困難,我們需要找到一個既合理又能夠計算分布的統(tǒng)計量,來推斷H0是否成立. 一般來說,若頻數(shù)的期望值較大,則中相應(yīng)的差的絕對值也會較大;而若頻數(shù)的期望值較小,則中相應(yīng)的差

19、的絕對值也會較小.為了合理地平衡這種影響,我們將四個差的絕對值取平方后分別除以相應(yīng)的期望值再求和,得到如下的統(tǒng)計量:2=(a-(a+b)(a+c)n)2(a+b)(a+c)n+(b-(a+b)(b+d)n)2(a+b)(b+d)n+(c-(c+d)(a+c)n)2(c+d)(a+c)n+(d-(c+d)(b+d)n)2(c+d)(b+d)n 該表達式可化簡為：2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d). 統(tǒng)計學(xué)家建議,用隨機變量2取值的大小作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù),當它比較大時推斷H0不成立,否則認為H0成立.問題4:那么,究竟2大到什么程度,可以推斷H0不成立呢?

20、或者說,怎樣確定判斷2大小的標準呢? 根據(jù)小概率事件在一次試驗中不大可能發(fā)生的規(guī)律, 可以通過確定一個與H0相矛盾的小概率事件來實現(xiàn),在假定H0的條件下,對于有放回簡單隨機抽樣,當樣本容量n充分大時,統(tǒng)計學(xué)家得到了2的近似分布,忽略2的實際分布與該近似分布的誤差后,對于任何小概率值,可以找到相應(yīng)的正實數(shù)x,使得下面關(guān)系成立:P(2x)= 我們稱x為的臨界值,這個臨界值就可作為判斷2大小的標準,概率值越小,臨界值x越大,當總體很大時,抽樣有、無放回對2的分布影響較小.因此,在應(yīng)用中往往不嚴格要求抽樣必須是有放回的. 由式可知,只要把概率值取得充分小,在假設(shè)H0成立的情況下,事件2不大可能發(fā)生的.

21、根據(jù)這個規(guī)律,如果該事件發(fā)生,我們就可以推斷H0不成立.不過這個推斷有可能犯錯誤,但犯錯誤的概率不會超過.例2： 解：零假設(shè)為H0：分類變量X與Y相互獨立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率無差異.因為學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計711788所以2=88(337-1038)2711743450.8372.706=x0.1根據(jù)小概率值=0.1的2獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認為H0成立，即認為兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有差異。問題5.例1只是根據(jù)一個樣本的兩個頻率間存在差異得出兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異的結(jié)論,并沒

22、有考慮由樣本隨機性可能導(dǎo)致的錯誤,所以那里的推斷依據(jù)不太充分,在本例中,我們用2獨立性檢驗對零假設(shè)H0進行了檢驗,通過計算,發(fā)現(xiàn)20.837小于=0.1所對應(yīng)的臨界值2.706,因此認為沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,所以接受H0,推斷出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)優(yōu)秀率沒有顯著差異的結(jié)論, 這個檢驗結(jié)果意味著,抽樣數(shù)據(jù)中兩個頻率的差異很有可能是由樣本隨機性導(dǎo)致的,因此,只根據(jù)頻率的差異得出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異的結(jié)論是不可靠的。 由此可見,相對于簡單比較兩個頻率的推斷,用2獨立性檢驗得到的結(jié)果更理性、更全面,理論依據(jù)也更充分。當我們接受零假設(shè)H0時,也可能犯錯誤。我們不知道犯這類錯誤的概率p的大小,但

23、是知道,若越大,則p越小例3.解：零假設(shè)為H0：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異.將所給數(shù)據(jù)進行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，療法療效合計未治愈治愈甲155267乙66369合計21115136根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到2=136（1563-526）26769211154.88110.858根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計算不吸煙者中不患肺癌和患肺癌的頻率分別為吸煙者中不患肺癌和患肺癌的評率分別為,由可見，在被調(diào)查者中，吸煙者患肺癌的頻率是不吸煙者患肺癌頻率的4倍以上。于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認為吸煙者患肺癌的概率明顯大于不吸煙者患肺癌概率，即吸煙更容易引發(fā)肺癌。跟蹤訓(xùn)練1. 解：a21，b23，c6，d29，n79，2n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).eq f(7921292362,44352752)8.106，且P(27.879)0.005，即我們得到的2的觀測值8.10