高中數(shù)學(xué)必修二 19-20 第6章 6.2.4向量的數(shù)量積

1、 6.2.4向量的數(shù)量積學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.平面向量的數(shù)量積(重點(diǎn))2.投影向量的概念(難點(diǎn))3.向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)的乘法的區(qū)別(易混點(diǎn))1.通過平面向量的物理背景給出向量數(shù)量積的概念和幾何意義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.通過向量數(shù)量積的運(yùn)算學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).1兩向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq o(OA,sup14()a，eq o(OB,sup14()b，則AOB(0)叫做向量a與b的夾角(2)特例：當(dāng)0時(shí)，向量a，b同向當(dāng)時(shí)，向量a，b反向當(dāng)eq f(,2)時(shí)，向量a，b垂直，記作ab.2平面向量

2、數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，把數(shù)量|a|b|cos 叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos .特別地，零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.思考：向量的數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？提示數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)，線性運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量3投影向量設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，eq o(AB,sup14()a，eq o(CD,sup14()b，過eq o(AB,sup14()的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq o(CD,sup14()所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq o(A1B1,sup14()，這種變換為向量a向向量b投影，eq o(A

3、1B1,sup14()叫做向量a在向量b上的投影向量4向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是，e是與b方向相同的單位向量，則(1)aeea|a|cos .(2)abab0.(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，ab|a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab|a|b|.特別地，aa|a|2或|a|eq r(aa).(4)|ab|a|b|.5向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.思考：a(bc)(ab)c成立嗎？提示(ab)ca(bc)，因?yàn)閍b，bc是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(ab)c與向量c共線，a(bc)與向量a共線因此，(ab)ca(bc)在一般情

4、況下不成立1已知單位向量a，b，夾角為60，則ab()A.eq f(1,2)B.eq f(r(,3),2)C1Deq f(1,2)Aab11cos 60eq f(1,2).2已知向量a，b滿足|a|1，|b|4，且ab2，則a與b的夾角為()A.eq f(,6) B.eq f(,4) C.eq f(,3) D.eq f(,2)C由條件可知，cos eq f(ab,|a|b|)eq f(2,14)eq f(1,2)，又0，eq f(,3).3已知向量a，b滿足|a|2，|b|eq r(3)，且a與b的夾角為60，那么ab等于_eq r(3)ab|a|b|cos 602eq r(3)eq f(1,

5、2)eq r(3).4已知|b|3，a在b方向上的投影是eq f(2,3)，則ab為_2設(shè)a與b的夾角為，則a在b方向上的投影|a|cos eq f(2,3)，所以ab|b|a|cos 3eq f(2,3)2.向量數(shù)量積的計(jì)算及投影【例1】(1)已知單位向量e1，e2的夾角為eq f(,3)，a2e1e2，則a在e1上的投影是_(2)已知向量a與b滿足|a|10，|b|3，且向量a與b的夾角為120.求：(ab)(ab)；(2ab)(ab)思路探究根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及投影的定義解答(1)eq f(3,2)設(shè)a與e1的夾角為，則a在e1上的投影為|a|cos eq f(ae1,|e1

6、|)ae1(2e1e2)e12eeq oal(2,1)e1e2211coseq f(,3)eq f(3,2).(2)解(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2100991.因?yàn)閨a|10，|b|3，且向量a與b的夾角為120，所以ab103cos 12015，所以(2ab)(ab)2a2abb2200159206.求平面向量數(shù)量積的步驟(1)求a與b的夾角，0，；(2)分別求|a|和|b|；(3)求數(shù)量積，即ab|a|b|cos ，要特別注意書寫時(shí)a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“”連接，而不能用“”連接，也不能省去求投影的兩種方法：(1)b在a方向上的投影為|b|cos (為a，b的夾角)，a在b方向上

7、的投影為|a|cos .(2)b在a方向上的投影為eq f(ab,|a|)，a在b方向上的投影為eq f(ab,|b|).1(1)已知|a|2，|b|3，a與b的夾角為60，求：ab；(2ab)(a3b)(2)設(shè)正三角形ABC的邊長為eq r(,2)，eq o(AB,sup14()c，eq o(BC,sup14()a，eq o(CA,sup14()b，求abbcca.解(1)ab|a|b|cos 23cos 603.(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25ab3|b|2222533324.(2)|a|b|c|eq r(,2)，且a與b，b與c，c與a的夾角均為120，abbccaeq

8、 r(,2)eq r(,2)cos 12033.與向量模有關(guān)的問題【例2】(1)已知向量a，b的夾角為60，|a|2，|b|1，則|a2b|_.(2)已知向量a與b夾角為45，且|a|1，|2ab|eq r(10)，求|b|.思路探究靈活應(yīng)用a2|a|2求向量的模(1)2eq r(3)|a2b|2(a2b)2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)222222eq f(1,2)2244412，所以|a2b|eq r(12)2eq r(3).(2)解因?yàn)閨2ab|eq r(10)，所以(2ab)210，所以4a24abb210.又因?yàn)橄蛄縜與b的夾角為45且|a|1，所以41241|b|e

9、q f(r(2),2)|b|210，整理得|b|22eq r(2)|b|60，解得|b|eq r(2)或|b|3eq r(2)(舍去)求向量的模的常見思路及方法(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2|a|2，勿忘記開方(2)aaa2|a|2或|a|eq r(a2)，此性質(zhì)可用來求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化(3)一些常見的等式應(yīng)熟記，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等2若向量a，b的夾角為120，|a|1，|a2b|eq r(7)，則|b|()A.eq f(1,2)B.eq f(r(7),2)C1D2C設(shè)向量a，b的夾角為，因?yàn)?/p>

10、|a2b|2|a|24|b|24|a|b|cos ，又120，|a|1，|a2b|7，所以714|b|22|b|，解得|b|eq f(3,2)(舍去)或|b|1.故選C.與向量垂直、夾角有關(guān)的問題探究問題1設(shè)a與b都是非零向量，若ab，則ab等于多少？反之成立嗎？提示abab0.2|ab|與|a|b|的大小關(guān)系如何？為什么？對于向量a，b，如何求它們的夾角？提示|ab|a|b|，設(shè)a與b的夾角為，則ab|a|b|cos .兩邊取絕對值得：|ab|a|b|cos |a|b|.當(dāng)且僅當(dāng)|cos |1，即cos 1，0或時(shí)，取“”，所以|ab|a|b|，cos eq f(ab,|a|b|).【例3】

11、(1)已知e1與e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量e1ke2與ke1e2的夾角為銳角，則k的取值范圍為_(2)已知非零向量a，b滿足a3b與7a5b互相垂直，a4b與7a2b互相垂直，求a與b的夾角思路探究(1)兩個(gè)向量夾角為銳角等價(jià)于這兩個(gè)向量數(shù)量積大于0且方向不相同(2)由互相垂直的兩個(gè)向量的數(shù)量積為0列方程，推出|a|與|b|的關(guān)系，再求a與b的夾角(1)(0,1)(1，)e1ke2與ke1e2的夾角為銳角，(e1ke2)(ke1e2)keeq oal(2,1)keeq oal(2,2)(k21)e1e22k0，k0.當(dāng)k1時(shí)，e1ke2ke1e2，它們的夾角為0，不符合題意，舍去綜上

12、，k的取值范圍為k0且k1.(2)解由已知條件得eq blcrc (avs4alco1(a3b7a5b0，,a4b7a2b0，)即eq blcrc (avs4alco1(7a216ab15b20，,7a230ab8b20， )得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos eq f(ab,|a|b|)eq f(f(1,2)b2,|b|2)eq f(1,2).0，eq f(,3).1將本例(1)中的條件“銳角”改為“鈍角”，其他條件不變，求k的取值范圍解e1ke2與ke1e2的夾角為鈍角，(e1ke2)(ke1e2)keeq oal(2,1)keeq oal(2,2)(k2

13、1)e1e22k0，k0.當(dāng)k1時(shí)，e1ke2與ke1e2方向相反，它們的夾角為，不符合題意，舍去綜上，k的取值范圍是k0且k1.2將本例(1)中的條件“銳角”改為“eq f(,3)”，求k的值解由已知得|e1ke2|eq r(eoal(2,1)2ke1e2k2eoal(2,2)eq r(1k2)，|ke1e2|eq r(k2eoal(2,1)2ke1e2eoal(2,2)eq r(k21)，(e1ke2)(ke1e2)keeq oal(2,1)keeq oal(2,2)(k21)e1e22k，則coseq f(,3)eq f(e1ke2ke1e2,|e1ke2|ke1e2|)eq f(2k,

14、1k2)，即eq f(2k,1k2)eq f(1,2)，整理得k24k10，解得keq f(4r(12),2)2eq r(3).1求向量夾角的方法(1)求出ab，|a|，|b|，代入公式cos eq f(ab,|a|b|)求解(2)用同一個(gè)量表示ab，|a|，|b|，代入公式求解(3)借助向量運(yùn)算的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求夾角2要注意夾角的范圍0，當(dāng)cos 0時(shí)，eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)；當(dāng)cos 0時(shí)，eq blc(rc(avs4alco1(f(,2)，)，當(dāng)cos 0時(shí)，eq f(,2).1兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，其值可以為正(當(dāng)a0，b0,

15、0eq f(,2)時(shí))，也可以為負(fù)(當(dāng)a0，b0，eq f(,2)時(shí))，還可以為0(當(dāng)a0或b0或eq f(,2)時(shí))2兩非零向量a，b，abab0，求向量模時(shí)要靈活運(yùn)用公式|a|eq r(,a2).3要注意區(qū)分向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的區(qū)別(1)在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若ab0，則a與b中至少有一個(gè)為0.而在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，不能從ab0推出a0或b0.實(shí)際上由ab0可推出以下四種結(jié)論：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab. (2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若a，bR，則|ab|a|b|，但對于向量a，b，卻有|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立這是因?yàn)閨ab|a|b|cos |，而|cos

16、|1.(3)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律：若bcca，c0，則有ba.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，若abac(a0)，則向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由abac(a0)不能得到bc.(4)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律，但向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量，而a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線.1判斷正誤(1)若ab0，則a0或b0.()(2)若a0，則0或a0.()(3)若a2b2，則ab或ab.()(4)若abac，則bc.()答案(1)(2)(3)(4)2(2018全國卷)已知向量a，b滿足|a|1，ab1，則a(2ab)()A4B3C2D0B因?yàn)閍(2ab)2a2ab2|a|2(1)213，所以選B.3已知|a|3，|b|5，且ab12，則向量a在向量b的方向上的投影為_eq f(12,5)設(shè)a與