廣東省揭陽(yáng)市2011―2012學(xué)年度高三數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題 理

1、PAGE PAGE - 11 -絕密啟用前 廣東省揭陽(yáng)市20112012學(xué)年度高三學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)理試題數(shù)學(xué)試題(理科)本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分考試用時(shí)l20分鐘注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無(wú)效4考

2、生必須保持答題卡的整潔,考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回參考公式：錐體的體積公式,其中是錐體的底面積，為錐體的高一.選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1集合，則 A B C D2已知傾斜角為的直線與直線平行，則的值為 A. B. C. D. 3已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)（為常數(shù)），則的值為A. 4 B. C.6 D. 4雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到它的漸近線的距離為A. 1 B. C. D.25“”是 “函數(shù)有零點(diǎn)”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件6如圖，已知ABCDEF是邊長(zhǎng)為1的正六

3、邊形，則的值為（第6題圖）A. B. C. D. 7已知向量，且，若變量x,y滿足約束條件 ，則z的最大值為A.1 B.2 C.3 D.48已知函數(shù),則不等式的解集為A. B. C. D.二.填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（913題）9. 設(shè) 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) 的值為 . 10設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則= .11近年來(lái)，隨著以煤炭為主的能源消耗大幅攀升、機(jī)動(dòng)車保有量急劇增加，我國(guó)許多大城市灰霾現(xiàn)象頻發(fā)，造成灰霾天氣的“元兇”之一（第11題圖）是空氣中的pm2.5（直徑小于等于24小時(shí)平均濃度(毫克/立方米)2.5微米的顆粒物）.右

4、圖是某市某月（按30天計(jì)）根據(jù)對(duì)“pm2.5” 24小時(shí)平均濃度值測(cè)試的結(jié)果畫(huà)成的頻率分布直方圖，若規(guī)定空氣中“pm2.5”24小時(shí)平均濃度值不超過(guò)0.075毫克/立方米為達(dá)標(biāo)，那么該市當(dāng)月有 天“pm2.5”含量不達(dá)標(biāo) 12甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)，則甲、乙所選的課程中至少有1門(mén)相同的選法共有 種（用數(shù)字作答） 13某幾何體的三視圖如圖示，已知其主視圖的周長(zhǎng)為6，則該幾何體體積的最大值為 （第13題圖）（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）14(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 直線被圓 所截得的弦長(zhǎng)為 . 15(幾何證明選講選做題)如圖，從圓外一點(diǎn)P引圓的切線PC和割線PBA，

5、已知PC=2PB，,則的長(zhǎng)為 （第15題圖）三解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)(1) 求函數(shù)的最小正周期；(2) 求函數(shù)的最大值和最小值；(3) 若，求的值17. （本小題滿分12分）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)依次為，其中為標(biāo)準(zhǔn)，為標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)越大表明產(chǎn)品的質(zhì)量越好，已知某廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)該產(chǎn)品，且該廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn). （1）從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4

6、4 7 5 6 7該行業(yè)規(guī)定產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的為一等品，等級(jí)系數(shù)的為二等品，等級(jí)系數(shù)的為三等品，試分別估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）已知該廠生產(chǎn)一件該產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）與產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的關(guān)系式為：，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為，用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望18. （本小題滿分14分）已知函數(shù)是的一個(gè)極值點(diǎn).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍. 19（本小題滿分14分）如圖邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，將BEF剪去，將AED、DCF分別沿DE、DF折起，使A、C

7、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P得一三棱錐如圖示.（1）求證：;（2）求三棱錐的體積； （3）求DE與平面PDF所成角的正弦值 第19題圖20（本小題滿分14分）已知定點(diǎn)A（-3,0），MN分別為x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)（M、N不重合），且,點(diǎn)P在直線MN上，.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線上任一點(diǎn)，試探究在軌跡C上是否存在點(diǎn)T？使得點(diǎn)T到點(diǎn)Q的距離最小，若存在，求出該最小距離和點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由21（本小題滿分14分）已知，（，為常數(shù)）（1）若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）在（1）條件下，求證：；（3）若，試問(wèn)代數(shù)式的值在哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間？并加以證明揭陽(yáng)市20112012學(xué)年度高中

8、三年級(jí)學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題(理科)參考答案及評(píng)分說(shuō)明一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則二、對(duì)計(jì)算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度可視影響的程度決定給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)一選擇題：BCBA ACCD解析：1,，故選B.2依題意知：，從而,選C.3由是定義在上的奇函數(shù)得，,選B.4雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，可得焦點(diǎn)到它的

9、漸近線的距離為，選A.5若，則函數(shù)必有零點(diǎn)，反之函數(shù)有零點(diǎn)，未必為2.故選A.6由余弦定理得,選C.7 ，點(diǎn)的可行域如圖示，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)（1,1）時(shí)，z取得最大值，選C.8在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)和的圖象如圖，利用數(shù)形結(jié)合易得答案選D.二填空題：9. 1；10. 36；11. 27；12. 30；13. 14. ；15. .解析：10易得.11該市當(dāng)月“pm2.5”含量不達(dá)標(biāo)有（天）;12間接法.（種）；直接法：分成兩類：有一門(mén)相同的有種，兩門(mén)相同的有種，至少一門(mén)相同有（種）13由三視圖知，該幾何體為圓柱，設(shè)其底面的半徑為，高為，則，（當(dāng)時(shí)“=”成立）或=，令得，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，有最大值，1

10、4把直線和圓的參數(shù)方程化為普通方程得，于是弦心距弦長(zhǎng).15 三解題題：16解：（1）2分函數(shù)的最小正周期3分（2）函數(shù)的最大值和最小值分別為5分（3）由得，6分7分9分，12分17解：（1）由樣本數(shù)據(jù)知，30件產(chǎn)品中等級(jí)系數(shù)有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件3分樣本中一等品的頻率為，故估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率為4分二等品的頻率為，故估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的二等品率為；5分三等品的頻率為，故估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的三等品的頻率為6分1240.50.30.2（2）的可能取值為：1,2,4用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，由（1）可得,-8分可得的分布列如右：10分其數(shù)學(xué)期

11、望(元) 12分18解：（1）且是的一個(gè)極值點(diǎn)，2分4分由得或，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；6分由得，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，8分（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，=，10分時(shí)，恒成立等價(jià)于12分即。14分19（1）證明：依題意知圖折前,2分 平面3分又平面 4分(2)解法1：依題意知圖中AE=CF= PE= PF=，在BEF中,5分在中，7分8分【(2)解法2：依題意知圖中AE=CF= PE= PF=，在BEF中,5分取EF的中點(diǎn)M，連結(jié)PM則,6分7分8分】 (3) 由（2）知 又 平面10分為DE與平面PDF所成的角，11分在中，,12分14分20.解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為，（）點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，由得，（）2分由得 3分代入（）得5分動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為（）6分（2）曲線即，是以B（4,0）為圓心，以1為半徑的圓,設(shè) T為軌跡C上任意一點(diǎn)，連結(jié)TB, 則8分當(dāng)最小時(shí)，最小.9分點(diǎn)T在軌跡C上，設(shè)點(diǎn)（）11分當(dāng)，即時(shí)，有最小值，12分當(dāng)時(shí)，在軌跡C上是存在點(diǎn)T，其坐標(biāo)為，使得最小，.