等腰三角形分類討論綜合

1、等腰三角形分類談論綜合等腰三角形分類談論綜合等腰三角形分類談論綜合等腰三角形分類談論綜合1.理解等腰三角形的性質和判判定理；2.能用等腰三角形的判判定理進行相關計算和證明；3.初步領悟等腰三角形中的分類談論思想；4.領悟在函數動點中搜尋某些特其他點形成的等腰三角形；5.培養(yǎng)學生進行獨立思慮，提高獨立解決問題的能力。知識結構【備注】：1.此部分知識點梳理，依照第1個圖先提問引導學生回顧學過的等腰三角形的性質，能夠在黑板上舉例讓學生畫圖；2再依照第2個圖引導學生總結出題目中經常出現的一些等腰三角形的題型；3.和學生一起解析二次函數背景低等腰三角形的基本考點，為后邊的例題講解做好鋪墊。建議時間5分鐘

2、左右。一等腰三角形的性質：二等腰三角形常有題型分類：三函數背景下的等腰三角形的考點解析：1.求解相應函數的解析式；2.依照函數解析式求解某些特別點的坐標；3.依照點的地址進行等腰三角形的談論：分“指定腰長”和“不指定腰長”兩大類；4.依照點的地址和形成的等腰三角形立等式求解。【備注】：以下每題教法建議，請老師依照學生實質情況參照；在講解時：不宜采用灌輸的方法，應采用啟示、引誘的策略，并在讀題時引導學生發(fā)現一些題目中的條件（相等的量、不變的量、隱蔽的量等等），使學生在復雜的背景下自己發(fā)現、領悟題目的意思；能夠依照各題的“參照教法”引導學生漸漸解題，并采用講練結合；注意邊講解邊讓學生計算，加強師生

3、之間的互動性，讓學生參加到例題的解析中來；例題講解，能夠依照“教法指導”中的問題引導學生解析題目，邊講邊讓學生書寫，每個問題后邊有答案提示；引導的技巧：直接提示，問題式引導，類比式引導等等；部分例題能夠先讓學生自己試一試，此后再結合學生做的情況講評；每個題目的講解時間依照實質情況辦理，建議每題7分鐘，選講例題在時間足夠的情況下講解。例1.如圖，在RtABC中，BAC=90，AB=3，AC=4，AD是BC邊上的高，點E、F別是AB邊和AC邊上的動點，且EDF=90（1）求DEDF的值；分2）設直線DF與直線AB訂交于點G，EFG可否成為等腰三角形？若能，請直接寫出線段BE的長；若不能夠，請說明原

4、由。（）AAEAFBDCBDCBDC例1題圖備用圖1備用圖2【參照教法】：一你來找一下題目中由哪些不變的量也許是比較特其他條件，試一試看：1.ABC中B、C的三角比可否能求解？你求求看。提示：43cosB，cosC；55題目中有很多垂直，會獲取很多角度角相等的，你找找。提示：BDAC、BADC、ADEFDC、BDEADF。題目中可否有相似三角形？找找看。提示：AEDDFC、BDEADF等。二求DE:DF，選擇那些條件能夠求解？你求一下吧！提示：用AEDDFC，在結合C的三角比可求得。三當EFG為等腰三角形時：1.會得出什么特別條件不？提示：兩邊相等，也許是兩角相等；2.需不需要分類談論？提示：

5、題目中沒有指定腰，應該需要；3.如需要分哪幾種？提示：依照點G的不同樣地址分兩大類談論：當點G在射線AB上時，如圖1。因為FEGCABAFE90o因此FEG為鈍角，則EFG為等腰三角形時，EGEF；當點G在射線BA上時，如圖2。因為FEGCABAEF90o因此EFG為鈍角，則EFG為等腰三角形時，FGEF；3.怎么計算，你能自己先求解一下看看嗎？4.經過本題的解析求解過程，你同等腰三角形談論題型有點思路了沒？【滿分解答】：（1）BAC=90B+C90，AD是BC邊上的高DAC+C=90B=DAC又EDF=90BDE+EDA=ADF+EDA=90BDE=ADFBEDAFDDEBDDFADBDco

6、tBAB3DEDF=3ADAC44（2）若EFG為等腰三角形，依照點G的不同樣地址分兩大類談論：GAEAFFBDCEBGDC（圖1）（圖2）當點G在射線AB上時，如圖1。因為FEGCABAFE90o因此FEG為鈍角，則EFG為等腰三角形時，EGEFEGEF，EDDFD為GF中點則，在直角AGF中，GF2AD24，G=EFGC5又cosG=cosC，則DGAGAC4EGGFBC5可求得AG96,EG3。因此：BE542525另解：由EFG為等腰三角形可得AEDGBD，因此BDDE，再過點D作BE垂線，利用三角比可求得BE54。25當點G在射線BA上時，如圖2。因為FEGCABAEF90o因此EF

7、G為鈍角，則EFG為等腰三角形時，FGEFFGEF，AFAEA為EG中點AEG=G又B=FEDBDE=AEFADFADFGAEAG12AD35。因此：BE5543綜上可得，當EFG為等腰三角形時，BE或BE。255我來試一試！練習1.如圖1，在ABC中，ACB90，ACBC2，M是邊AC的中點，CHBM于H。（）（1）試求sinMCH的值；（2）求證：ABMCAH；（3）若D是邊AB上的點，且使AHD為等腰三角形，央求AD的長?！窘夥c撥】：1.搜尋題目中的特別條件和不變的量：M是邊AC的中點；CHBM；題目中的線段AB、BM、CH、MH、AH都可求解（讓學生自己計算）；2.證明角度相等，回顧

8、證明角度相等的方法后，知本題利用相似角簡單，但題目中很多線段的長度都求解，因此利用兩邊成比率證明AMHBMA即可得ABMCAH；3.當AHD為等腰三角形時，分三個情況談論：當ADDH時：因為邊長不能夠直接求出，則利用三角比求解，過點D作DEAH，因為MAHABM，則DAECBMMCH，因此cosDAEcosMCH；當ADAM時：可直接得AD的長；當因為AMDM時：因為邊長不能夠直接求出，則利用三角比求解，過點H作HQAD，MAHABM，則DAECBMMCH，因此cosDAEcosMCH。4.注意利用好等腰三角形的性質：底邊上三線合一；平時情況下用“畫底邊上的高+三角比求解”；5.注意便講解邊讓

9、學生計算求解，加強師生之間的互動性?！緷M分解答】：（1）在MBC中，MCB=90，BC=2，又M是邊AC的中點，1AM=MC=BC=1，2MB=12225，又CHBM于H，則MHC=90，MCH=MBC，sinMCH=CM5.BM5（2）在MHC中，MHCMsinMCH5.5AM2=MC2=MHMAMB，MB，即MAMH又AMH=BMA，AMHBMA，ABM=CAH.（3）由前兩問可得：AH210MCH25,cos5。當AHD為等腰三角形時，分5以下三個情況談論：當ADDH時：如圖1，過點D作DEAH，因為MAHABM，則DAECBMMCH，因此cosDAEcosMCH；因此：AECH，即10

10、:AD25:1，因此AD2；ADCM552當ADAM時：如圖2102，可直接得AD5；當AMDM時：如圖3，過點H作HQAD，因為MAHABM，則DAECBMMCH，因此cosDAEcosMCH因此：AQCH，即AQ:21025:1，因此AD2AQ82；AHCM555綜上可得，當AHD為等腰三角形時，AD的長為210、82、2。552CCMMHHEADBADB圖1圖2CMH圖3AQDB選講選練題例2.如圖，在ABC中，ABAC5,BC6，D、E分別是邊AB、AC上的兩個動點（D不與A、B重合），且保持DEBC，以DE為邊，在點A的異側作正方形當BDG是等腰三角形時，請直接寫出AD的長。（）DE

11、FG，ADEGFBC【參照教法】：一以提問式，和學生一起解析題目，先搜尋題目中的已知條件或特別條件：1.題目中有哪些已知量？提示：從邊、角歸類搜尋。邊：ABAC5,BC6，DEBC；角:BC；2.題中有什么特其他圖形沒？提示：ABC等腰、正方形DEFG。3.你能求解一下題目中的其他線段嗎？提示：設ADx，讓學生求解ABC底邊上的高，并用含x的代數式表示DE的長。二當BDG是等腰三角形時：需要談論嗎？提示：需要，分兩大情況談論；2.怎么談論？提示：當BDG是等腰三角形時，依照點G的地址分：點G在ABC內部和外面兩大類談論：（1）當點G在ABC內部時：因為DGB90o，因此該情況下只可能DGBG。

12、但該情況下不能夠直接求解出，則畫底邊上的高（點G作GHAB）。（如圖1）則：HDGQAB，因此cosHDGcosQAB；（2）當點G在ABC外面時：分以下情況談論當DBDG時：直接利用相等計算，即6x5x；5當DBDG時：（如圖2）設BC與DG交點為M，則可得：BMDG且點M為DG中點；因此：cosHDGcosQAB；當DGBG，不行立。3.怎么計算？你會求解嗎？提示：見上面求解，可讓學生自己計算。4.經過本題的解析求解后，你感覺等腰三角形的分類談論題目還難嗎？6.提示學生利用好三角比。【滿分解答】：過點A作AQBC，垂足為點Q。ABAC5,BC6，則BQ3、AQ4，cosQAB4；56x。設

13、ADx，則BD5x，DEDG當BDG是等腰三角形時，依照點5G的地址，分以下情況談論：（3）當點G在ABC內部時：因為DGB90o，因此該情況下只可能DGBG。但該情況下不能夠直接求解出，則畫底邊上的高（點G作GHAB）。（如圖1）5x4125則：HDGQAB，因此cosHDGcosQAB，即2，解得：x；6x5735（4）當點G在ABC外面時：分以下情況談論當DBDG時：則6x5x，解得：x25；511當DBDG時：（如圖2）設BC與DG交點為M，則可得：BMDG且點M為DG中點，3x4，解得：x20因此：cosHDGcosQAB，即：5；當DGBG，不行立。5x57綜合上可得：當BDG是等

14、腰三角形時AD125,25,20。73117AADEDEHBCQGFMCBFQG（圖1）（圖2）【備注】：本部分對前面例題中講到的解題方法進行歸類總結，以引導式總結出，建議時間分鐘左右。圖形背景低等腰三角形分類談論的解題方法和策略：1.先搜尋題目中的條件：相等的角、相等的邊、相似的三角形等；2.依照題目中的條件求解相關線段的長度；3.等腰三角形談論中，分三步走：分類、畫圖、計算；4.等腰談論中，當不能夠直接利用邊長相等求解時，一般情況下經過“畫底邊上的高”（該部分需要學生在15分鐘內獨立完成，此后再評分并講評）輔助線，結合三角比計算求解；5.注意點的地址棄取答案；6.依照題目條件，注意快速、正

15、確畫圖，用好數形結合思想；7.利用幾何定理和性質也許代數方法建立方程求解都是常用方法。1.已知在梯形ABCD中，AB/DC，AD2PD，PC2PB，ADPPCD，PDPC4，如圖1。（本題滿分14分）（）1）求證：PD/BC；（2）若點Q在線段PB上運動，與點P不重合，聯系CQ并延長交DP的延長線于點O，如圖2，設PQx，DOy，求y與x的函數關系式，并寫出它的定義域；3）若點M在線段PA上運動，與點P不重合，聯系CM交DP于點N，當PNM是等腰三角形時，求PM的值DCDCAPBAPQB圖1圖2O【解法點撥】：一搜尋題目中的已知量也許是比較特其他條件：邊的關系：AD2PD，PC2PB?？色@取邊

16、成比率：ADPCPDPBPDPC4,可用來求解某些線段的長度。2.角的關系：ADPPCD。相似三角形：ADPCPB。二AB/DC可由角度相等證明；三求解函數關系式，搜尋相似基本圖形。方法一：由PQ/DC,可得：PQPO,進而y4x；DCODy2POPQy4x。方法二：由OD/BC可得：，進而42xBCQB三當PNM是等腰三角形時，分三個情況談論：1.當2.當3.當PMDCDN，因此DCDN；PN時：得PM/DC，因此PNPMMPMN時，易證：MN/AD，即：四邊形AMCD是平行四邊形；NMNP時不存在?！緷M分解答】：（1）證明：AB/DCCPBPCD1分ADPPCDADPCPB1分AD2PD，PC2PBPDAD1分PBPCADPCPB1分APDBPD/BC1分（2）解：AB/DC，PD/BC四形PBCD是平行四形PDBCPDPC4BC41分PC2PBPB2OD/BCPOPQ1分BCQBPQx，DOyPOy4，QB2xy42x1分4xy81分x2定域是：0 x21分（3）解：當PMPN，