函數(shù)的圖像專題

1、 函數(shù)的圖象專題利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象步驟： (1) 確定函數(shù)的定義域； (2) 化簡(jiǎn)函數(shù)解析式； (3) 討論函數(shù)的性質(zhì) ( 奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱 性等 )；(4) 列表 ( 尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等) ，描點(diǎn)，連線 .利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1) 平移變換(2) 對(duì)稱變換yf (x) 的圖象關(guān)于 x軸對(duì)稱y f (x) 的圖象；yf ( x)的圖象 關(guān)于y軸對(duì)稱 y f ( x)的圖象；yf (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y f( x) 的圖象；y ax( a0，且 a1)的圖象 關(guān)于直線yx對(duì)稱 y log ax( a0，且 a1)的圖象 .(3)

2、 伸縮變換縱坐標(biāo)不變yf (x)1yf (ax). 各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?1( a0)倍a橫坐標(biāo)不變yf ( x) y Af ( x). 各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A( A0)倍(4) 翻折變換x軸下方部分翻折到上方y(tǒng)f ( x)的圖象 y | f (x)| 的圖象； x軸及上方部分不變y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè) yf(x)的圖象yf(| x|) 的圖象 .原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變微點(diǎn)提醒】記住幾個(gè)重要結(jié)論函數(shù) yf(x)與 yf(2ax)的圖象關(guān)于直線 xa對(duì)稱 .函數(shù) yf(x)與 y 2b f (2 a x)的圖象關(guān)于點(diǎn) ( a，b)中心對(duì)稱 .若函數(shù) yf ( x)對(duì)定義域內(nèi)任意自變量 x

3、 滿足： f(ax)f(ax)，則函數(shù) yf ( x)的圖象關(guān)于直線 x a 對(duì)稱 .【疑誤辨析】判斷下列結(jié)論正誤 (在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)函數(shù) yf(1x)的圖象，可由 yf ( x)的圖象向左平移 1 個(gè)單位得到 .( )函數(shù) yf ( x)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱即函數(shù) yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱 .( )當(dāng) x(0 ， )時(shí)，函數(shù) yf(| x|) 的圖象與 y| f(x)| 的圖象相同 .( )若函數(shù) y f ( x)滿足 f (1 x) f (1 x) ，則函數(shù) f ( x)的圖象關(guān)于直線 x1 對(duì)稱.( )的圖象的是 ( )( 必修 1P23T2改編 )小明騎車上學(xué)，

4、開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖象是 ( )真題體驗(yàn)】函數(shù) f ( x)的圖象向右平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與曲線 y ex關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則 f ( x)的解析式為 ( )x 1A.f (x)e 1C.f (x)e x 1x1B.f(x)e 1xD.f( x) ex( 一題多解)(2018 全國(guó)卷 )下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)yln x 的圖象關(guān)于直線 x 1 對(duì)稱的是 (A. y ln(1 x) B.yln(2 x)C.y ln(1 x) D.y ln(2 x)已知函數(shù) f( x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x) log 2

5、f ( x) 的定義域是考點(diǎn)一 作函數(shù)的圖象【例 1】 作出下列函數(shù)的圖象：| x|1(1) y 2 ； (2) y|log 2(x1)| ；2(3) yx22| x| 1.【規(guī)律方法】 作函數(shù)圖象的一般方法直接法 .當(dāng)函數(shù)解析式 ( 或變形后的解析式 )是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的 關(guān)鍵點(diǎn)直接作出 .(2) 圖象變換法 . 若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出， 并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響 .【訓(xùn)練 1】 分別作出下列函數(shù)的圖象：(1) y|lg x|；(2) ysin | x|.考點(diǎn)二 函數(shù)圖象的

6、辨識(shí)sinx 2 x的部分圖象大致為【規(guī)律方法】 1. 抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：(1) 從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置； (2) 從函數(shù)的單調(diào)性， 判斷圖象的變化趨勢(shì)； (3) 從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)； (4) 從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性 .抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算： 從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問題 .【訓(xùn)練 2】 (2018浙江卷 )函數(shù) y2|x|sin 2 x 的圖象可能是 ( )考點(diǎn)三 函數(shù)圖象的應(yīng)用角度 1 研究函數(shù)的性質(zhì)【例 31】 已知函數(shù) f(x)x|x| 2x，則下列結(jié)論正確的是 ( )f ( x)是偶

7、函數(shù)，遞增區(qū)間是 (0 ，) B.f ( x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是 (， 1)C.f ( x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是 (1，1) D.f ( x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是 (， 0)角度 2 求不等式的解集例 32】 已知函數(shù) y f ( x)的圖象是如圖所示的折線ACB，且函數(shù) g( x) log 2( x1) ”，則不等式f (x)g( x)的解集是 ( )A. x| 1x0B.x| 1x1C.x| 1x1D.x| 10. 若存在實(shí)數(shù) b ，使得關(guān) x 2mx4m， xm，于 x 的方程 f ( x) b 有三個(gè)不同的根，則 m的取值范圍是 【規(guī)律方法】 1. 利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于已

8、知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)( 單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值 ( 值域 ) 、零點(diǎn) ) 常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng) 關(guān)系 .2. 利用函數(shù)的圖象可解決某些方程和不等式的求解問題，方程f ( x) g( x)的根就是函數(shù) f (x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；不等式 f ( x) g( x)的解集是函數(shù) f( x) 的圖象位于 g( x)圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合，體現(xiàn)了 數(shù)形結(jié)合思想 .【訓(xùn)練 3】 (1)(2019 杭州檢測(cè) )已知 f ( x) 2x 1， g( x) 1 x2，規(guī)定：當(dāng) |f(x)| g(x)時(shí)，h(x) | f(x)| ；當(dāng)| f(

9、x)| g( x)時(shí)， h( x) g( x) ，則 h(x)( )A. 有最小值 1 ，最大值 1 B. 有最大值 1，無最小值C. 有最小值 1，無最大值D.有最大值 1，無最小值已知函數(shù) f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f ( x) g( x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍是 .例 1】 已知函數(shù) f ( x)的圖象如圖所示，則 f ( x)的解析式可以是 ( )B.xef (x) C.x1f(x)x1211D.f (x)xx1類型 2 利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì) 對(duì)于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì) (單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值 (值域) 、零點(diǎn) )

10、常借助圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng)關(guān)系 .【例 2】 (2019 安徽江淮十校聯(lián)考 )已知 maxa， b表示 a， b兩數(shù)中的最大值 .若 f (x) maxe ，e ， 則 f( x)的最小值為 .2【例 3】 (2016全國(guó)卷 )已知函數(shù) f(x)( xR)滿足 f(x)f(2x)，若函數(shù) y| x2 2x3|與 yf(x)m圖象的交點(diǎn)為 ( x1，y1)，(x2，y2)， ( xm， ym) ，則 xi( )i 1A.0 B.mC.2mD.4m【規(guī)律方法】 1.由函數(shù)圖象對(duì)稱性，函數(shù) yf(x)與 y | x22x 3| 圖象分別關(guān)于直線 x1對(duì)稱，則兩圖 象的交點(diǎn)關(guān)于

11、x1對(duì)稱 .2. 解此類求圖象交點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之和的問題，常利用圖象的對(duì)稱性求解，即找出兩圖象的公共對(duì)稱軸或?qū)?稱中心，從而得出各交點(diǎn)的公共對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心，由此得出定值求解 .類型 3 利用函數(shù)的圖象求解方程或不等式若研究的方程 (不等式)不能用代數(shù)法求解，但其與基本初等函數(shù)有關(guān)，常將方程(不等式 )問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)或圖象的上下位置關(guān)系，然后由圖象的幾何直觀數(shù)形結(jié)合求解例 4】 (1) 函數(shù) f( x) 2sin xsinx 2 x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(2)(2017 天津卷 )已知函數(shù) f (x)| x| 2，x1，0b1C.0a1D.0a1， 0b0，b0，c0C.a0，c0，d0a0

12、，c0D. a0， b0，d0C.y| f(x)|D.y f (| x|)已知函數(shù) f （2 x1）是奇函數(shù)，則函數(shù) yf （2x） 的圖象成中心對(duì)稱的點(diǎn)為 （ ） A.（1 ，0）B.（ 1， 0）11C. 2， 0D. 2， 0 x e ， xe，f （x）則函數(shù) yf（ex） 的大致圖象是 （ln x， xe，d（2019 煙臺(tái)二模 ） 已知函數(shù) f（ x） 2 （ a，b，c，dR）的圖象如圖所示，則 （ ） ax bx c（ 2 m） x若函數(shù) f （ x） （2x2mm）x的圖象如圖所示，則 m的取值范圍為 （ ）A.（ ， 1） B.（1， 2）C.（0 ，2） D.（1，2）二

13、、填空題（2019 石家莊模擬 ）若函數(shù) yf （ x）的圖象過點(diǎn) （1 ， 1） ，則函數(shù) yf （4 x）的圖象一定經(jīng)過點(diǎn) 如圖，定義在 1， ）上的函數(shù) f （ x）的圖象由一條線段及拋物線的一部分組成，則f （ x）的解析式為使 log2（x）x1成立的 x 的取值范圍是 若關(guān)于 x 的方程 | x| ax 只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 【能力提升題組】 （建議用時(shí)： 15 分鐘）ln| x| 1函數(shù) y x2 x2在2，0（0，2 上的大致圖象為 （ ） xx14.（2019 濟(jì)南模擬）若直角坐標(biāo)系內(nèi)A， B兩點(diǎn)滿足：（1）點(diǎn) A，B都在 f （ x）圖象上； （2） 點(diǎn) A

14、，B 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì) （A，B）是函數(shù) f （ x）的一個(gè)“和諧點(diǎn)2 x22x( x0)，對(duì)”， ( A， B)與( B， A)可看作一個(gè)“和諧點(diǎn)對(duì)” .已知函數(shù)f (x) 2則 f ( x)的“和諧點(diǎn)x ( x0)，e對(duì)”有 ( )A.1 個(gè) B.2 個(gè) C.3 個(gè) D.4 個(gè)已知定義在 R 上的函數(shù) f(x) ，g(x)滿足 f(x) f( x)，且在 (0 ， )上單調(diào)遞減， g(1x)g(11x) ，且在 (1 ， )上單調(diào)遞減，設(shè)函數(shù)F(x) 2f(x)g(x)|f(x)g(x)| ，則對(duì)任意 x R，均有( )2 2 2 2 A. F(1 x) F(1 x) B. F(1x

15、)F(1x) C.F(1 x2) F(1 x2) D. F(1x2)F(1x2)x1函數(shù) f( x) x 的圖象與直線 ykx 1交于不同的兩點(diǎn) ( x1，y1)，(x2，y2) ，則 y1 y2 .x【新高考創(chuàng)新預(yù)測(cè)】( 多選題 )對(duì)于函數(shù) f ( x) lg(| x2| 1) ，下列說法正確的是 ( )A.f ( x2)是偶函數(shù)B.f ( x 2)是奇函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 ( ， 2) 上是減函數(shù)，在區(qū)間 (2 ， )上是增函數(shù)f ( x)沒有最小值答案判斷下列結(jié)論正誤 (在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)函數(shù) yf(1x)的圖象，可由 yf ( x)的圖象向左平移 1 個(gè)單位得到 .( )函數(shù)

16、yf ( x)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱即函數(shù) yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱 .( )當(dāng) x(0 ， )時(shí)，函數(shù) yf(| x|) 的圖象與 y| f(x)| 的圖象相同 .( )若函數(shù) y f ( x)滿足 f (1 x) f (1 x) ，則函數(shù) f ( x)的圖象關(guān)于直線 x1 對(duì)稱.()【答案】 (1) (2) (3) (4) 解析】 (1) y f ( x)的圖象向左平移 1個(gè)單位得到 y f ( 1x) ，故(1) 錯(cuò).兩種說法有本質(zhì)不同，前者為函數(shù)的圖象自身關(guān)于 y軸對(duì)稱，后者是兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱，故(2) 錯(cuò) .令 f(x)x，當(dāng) x(0，)時(shí)， y| f(x

17、)| x，yf (| x|) x，兩函數(shù)圖象不同，故 (3) 錯(cuò).教材衍化】2x2，x0，的圖象的是 (答案】 C【解析】 其圖象是由 y x2圖象中 x0 時(shí)，函數(shù) g(x) log 2f( x) 有意義，由函數(shù)f ( x) 的圖象知滿足 f( x)0 時(shí)，x(2 ，8.考點(diǎn)聚焦】 考點(diǎn)一 作函數(shù)的圖象【例 1】 作出下列函數(shù)的圖象：| x|1(1) y 2 ； (2) y|log 2(x1)| ；2yx22| x| 1.【答案】見解析xy 21 圖象中 x0的部分，再作出xy 21 的圖象中 x0 部分關(guān)|x|于 y 軸的對(duì)稱部分，即得 y 21 的圖象，如圖實(shí)線部分(2) 將函數(shù) y l

18、og 2x 的圖象向左平移一個(gè)單位，再將 x 軸下方的部分沿 x 軸翻折上去，即可得到函數(shù) y |log 2( x1)| 的圖象，如圖 .2x 2x1， x0，(3) y 2 且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出 0 ， )上的圖象，再根據(jù)對(duì)稱性作出 x 當(dāng) x0時(shí)， ysin| x|與 ysin x 的圖象完全相同，又 y sin| x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，其圖 象如圖 .考點(diǎn)二 函數(shù)圖象的辨識(shí) sin x【例 2】 (1)( 一題多解)(2017 全國(guó)卷 )函數(shù) y1x x2 的部分圖象大致為 ( ) 2x1， x0，排除 A；當(dāng)x 時(shí)， y 1，排除 B，選項(xiàng) D滿足 .法二 當(dāng)

19、x1 時(shí)， f (1) 11 sin 12 sin 12 ，排除 A，C；又當(dāng) x時(shí)， y，排除 B，而D 滿足 .(2) f (x)2x2e|x|，x2，2 是偶函數(shù)， 又 f(2) 8e2(0，1) ，排除選項(xiàng) A，B； 當(dāng) x0時(shí)， f( x) 2x2ex，f (x) 4x ex， 所以 f(0) 10， 所以函數(shù) f (x) 在(0，2)上有解，故函數(shù) f (x)在0 ，2上不單調(diào)，排除 C，故選 D.【規(guī)律方法】 1. 抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：(1) 從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置； (2) 從函數(shù)的單調(diào)性， 判斷圖象的變化趨勢(shì)； (3) 從周

20、期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)； (4) 從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性 .抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問題 .【訓(xùn)練 2】 (2018浙江卷 )函數(shù) y2|x|sin 2 x 的圖象可能是 ( )【答案】 D【解析】 設(shè) f(x)2|x|sin 2 x，其定義域?yàn)?R且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又f ( x) 2| x| sin( 2x)f (x)，所以 yf ( x)是奇函數(shù)，故排除選項(xiàng) A，B；令 f (x)0，所以 sin 2 x0，所以 2xk(kZ)，即 xk2(kZ)，故排除選項(xiàng) C. 故選 D.考點(diǎn)三 函數(shù)圖象的應(yīng)用 角度 1 研究函數(shù)的性質(zhì)

21、【例 31】 已知函數(shù) f(x)x|x| 2x，則下列結(jié)論正確的是 ( )f ( x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是 (0 ，)f ( x) 是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是 ( ， 1)f ( x) 是 奇函數(shù)，遞減區(qū)間是 ( 1， 1)f ( x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是 (， 0)【答案】 C【解析】 將函數(shù) f(x)x|x| 2x去掉絕對(duì)值得2x22x， x0，f (x) 2x 2x， x0，畫出函數(shù) f ( x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)f ( x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f ( x)為奇函數(shù)，且在角度 2 求不等式的解集【例 32】 已知函數(shù) y f ( x)的圖象是如圖所示的折線ACB，且函數(shù) g

22、( x) log 2( x1) ”，則不等式f (x)g( x)的解集是 () x| 1x0 x| 1 x1 x| 1x1 x| 1x2【答案】 C解析】 令 g( x) y log 2(x1)，作出函數(shù) g(x) 圖象如圖，xy2，ylog 2 (x 1)，x1， y1.結(jié)合圖象知不等式f (x)log 2( x 1)的解集為 x| 10.若存在實(shí)數(shù) b，使得關(guān)x 2mx4m， xm，于 x 的方程 f ( x) b 有三個(gè)不同的根，則 m的取值范圍是 .答案】 (3 ，)解析】 在同一坐標(biāo)系中，作 yf(x)與 yb的圖象 .當(dāng) xm時(shí)，x22mx4m( xm) 2 4m m2，要使方程

23、f ( x) b 有三個(gè)不同的根，則有 4mm20.又 m0，解得 m3.【規(guī)律方法】 1. 利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)( 單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值 ( 值域 ) 、零點(diǎn) ) 常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng) 關(guān)系 .2. 利用函數(shù)的圖象可解決某些方程和不等式的求解問題，方程f ( x) g( x)的根就是函數(shù) f (x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；不等式 f ( x) g( x)的解集是函數(shù) f( x) 的圖象位于 g( x)圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合，體現(xiàn)了 數(shù)形結(jié)合思想 .【訓(xùn)練 3】 (1)(2019 杭州檢測(cè) )

24、已知 f (x)2x1，g(x) 1x2，規(guī)定：當(dāng) |f (x)| g(x)時(shí)， h(x) | f(x)| ；當(dāng)| f(x)| g( x)時(shí)， h( x) g( x) ，則 h(x)()A. 有最小值 1，最大值 1有最大值 1，無最小值有最小值 1，無最大值有最大值 1，無最小值(2) 已知函數(shù) f (x)|x2|1，g(x)kx. 若方程 f ( x) g( x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍是 .1【答案】 (1)C (2) 2， 1【解析】 (1) 畫出 y| f(x)| |2 x1| 與 yg(x)1x2的圖象，它們交于 A，B兩點(diǎn). 由“規(guī)定”，在 A， B兩側(cè)， |f

25、(x)| g(x)，故 h(x)|f (x)| ；在 A， B之間， |f (x)| g(x)，故 h(x)g(x).綜上可知， yh( x)的圖象是圖中的實(shí)線部分，因此h(x) 有最小值 1，無最大值 .(2) 先作出函數(shù) f (x)|x2| 1 的圖象，如圖所示，當(dāng)直線 g(x)kx 與直線 AB平行時(shí)斜率為 1，當(dāng)直線 11g(x)kx過 A點(diǎn)時(shí)斜率為 2，故 f ( x) g( x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)， k 的取值范圍為 2，1 .識(shí)圖 對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值 域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)

26、的關(guān)系 .用圖借助函數(shù)圖象，可以研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì) . 利用函數(shù)的圖象，還可 以判斷方程 f ( x) g(x) 的解的個(gè)數(shù)，求不等式的解集等 .【易錯(cuò)防范】11. 圖象變換是針對(duì)自變量 x 而言的，如從 f (2x)的圖象到 f ( 2x 1)的圖象是向右平移 2個(gè)單位，先作如1下變形 f (2x1) f 2 x2 ，可避免出錯(cuò) .2. 明確一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱與兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱的不同，前者是自身對(duì)稱，且為偶函 數(shù)，后者是兩個(gè)不同函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系 .當(dāng)圖形不能準(zhǔn)確地說明問題時(shí)，可借助“數(shù)”的精確，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用 . 【核心素養(yǎng)提

27、升】【直觀想象】函數(shù)圖象的活用 直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的重要手段，在數(shù)學(xué)研究的探索中，通過直觀手段的運(yùn)用以 及借助直觀展開想象，從而發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的例子比比皆是，并貫穿于數(shù)學(xué)研究過程的始終，而數(shù)形 結(jié)合思想是典型的直觀想象范例 .類型 1 根據(jù)函數(shù)圖象特征，確定函數(shù)解析式 函數(shù)解析式與函數(shù)圖象是函數(shù)的兩種重要表示法，圖象形象直觀，解析式易于研究函數(shù)性質(zhì)，可根據(jù)需 要，相互轉(zhuǎn)化 .【例 1】 已知函數(shù) f ( x)的圖象如圖所示，則 f ( x)的解析式可以是 ( )x ef ( x) x1C.f ( x) x211D.f (x)xx【答案】 A1【解析】 由函數(shù)圖象可知，

28、函數(shù)f (x) 為奇函數(shù)，應(yīng)排除 B，C.若函數(shù)為 f( x) xx，則 x時(shí)，xf ( x) ，排除 D.只有選項(xiàng) A中 f ( x) ln|xx|滿足.有興趣的同學(xué)可以研究函數(shù)的性質(zhì)作出判斷(略).x類型 2 利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值 (值域) 、零點(diǎn) )常借助圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng)關(guān)系 .【例 2】 (2019 安徽江淮十校聯(lián)考 )已知 maxa， b表示 a， b兩數(shù)中的最大值 .若 f ( x) maxe| x| ，e| x2| ， 則 f( x)的最小值為 .【答案】 e【解析】

29、在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)ye|x|，ye|x2|的圖象 (圖略 )，可知 f(x)maxe|x|，e|x2|ex，x1， e2x ，x1.當(dāng) x1時(shí)， f( x) exe，且當(dāng) x 1 時(shí)，取得最小值 e；當(dāng) xe.故 f ( x)的最小值為 f(1) e.2【例 3】 (2016全國(guó)卷 )已知函數(shù) f(x)( xR)滿足 f(x)f(2x)，若函數(shù) y| x2 2x3|與 yf(x)m圖象的交點(diǎn)為 (x1，y1)，(x2，y2)， ( xm， ym) ，則 xi()i 1A.0B.mC.2mD.4m【答案】 B22【解析】 由 f(x)f(2x)知函數(shù) f ( x)的圖象關(guān)于直線 x1對(duì)

30、稱.又 y|x22x3| |( x 1) 2 4|的圖象也關(guān)于直線 x1 對(duì)稱，所以這兩函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于直線x1 對(duì)稱 (圖略 ).x1 xm不妨設(shè) x1x2xm，則 2 1，即 x1xm2，同理有 x2xm1 2， x3 xm2 2，m m m 又 xixmxm1 x1，所以 2xi( x1xm)(x2xm1) ( xmx1) 2m，所以 xim.i 1i 1i 1【規(guī)律方法】 1.由函數(shù)圖象對(duì)稱性，函數(shù) yf(x)與 y | xx2 x x的圖象相切時(shí)，由 2a xx，得 x2 2ax 40，由 0，并結(jié)合圖象可得 a2.x2x2x 3| 圖象分別關(guān)于直線 x1對(duì)稱，則兩圖 象的交點(diǎn)關(guān)于

31、x1對(duì)稱 .2. 解此類求圖象交點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之和的問題，常利用圖象的對(duì)稱性求解，即找出兩圖象的公共對(duì)稱軸或?qū)?稱中心，從而得出各交點(diǎn)的公共對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心，由此得出定值求解 .類型 3 利用函數(shù)的圖象求解方程或不等式若研究的方程 (不等式)不能用代數(shù)法求解，但其與基本初等函數(shù)有關(guān)，常將方程 (不等式 )問題轉(zhuǎn)化為兩 函數(shù)圖象的交點(diǎn)或圖象的上下位置關(guān)系，然后由圖象的幾何直觀數(shù)形結(jié)合求解 .2【例 4】 (1) 函數(shù) f( x) 2sin xsin x 2 x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .| x| 2，x0，需滿足a 2，所以 2 a 2.分層訓(xùn)練】基礎(chǔ)鞏固題組】 (建議用時(shí)： 35 分鐘)、選擇題1x 若函

32、數(shù) f (x) axb 的圖象如圖所示，則 (答案】 D1.(2019 長(zhǎng)郡中學(xué)聯(lián)考 )函數(shù) f( x) ex 的圖象大致為 ( ) e1xeB. a1， 0b12解析】 f(x) x f(x)知 f ( x)的圖象不關(guān)于 y 軸對(duì)稱，排除選項(xiàng) B，C，又 f(2) 1e24 e320，排除 A，選 D. eeC.0 a10a1，0b1答案】 D【解析】 由圖象從左向右下降，知 0a1.又 yf( x) 與 y 軸的交點(diǎn) (0，1b) ， 01 b1，則 0be，A. a0，b0，c0B. a0，c0C.a0，c0，d0D. a0，b0，d0【答案】B【解析】由題圖可知， x1且 x5，exe

33、 ， e x e，【解析】 令 g(x)f (e x) ，則 g(x)ln (e x)， exe，eex， x0，即 g( x) ln ( e x)， xln(e 0) 1，排除 D，因而 B 項(xiàng)成立 .(2019 煙臺(tái)二模 ) 已知函數(shù) f( x) 2 d( a，b，c，dR)的圖象如圖所示，則 ( )ax bx c2 則 ax2bxc0 的兩根為 1，5，bc 由根與系數(shù)的關(guān)系，得6， 5，aaa，b 異號(hào)， a，c 同號(hào)，d又 f(0) c0. 又因?yàn)?x時(shí)， f（x）0 ，所以 2 m0? m0 時(shí)，（ 2 m）x 2 mx2 m m，x x所以 f（x） 在（0 ， m）上單調(diào)遞增，

34、 （ m， ）上單調(diào)遞減，所以m1? m1，綜上，實(shí)數(shù) m的取值范圍是 （1 ，2）.、填空題（2019 石家莊模擬 ）若函數(shù) yf （ x）的圖象過點(diǎn) （1 ， 1） ，則函數(shù) yf （4 x）的圖象一定經(jīng)過點(diǎn) .【答案】 （3 ，1）【解析】 由于函數(shù) yf（4x）的圖象可以看作 yf（x）的圖象先關(guān)于 y 軸對(duì)稱，再向右平移 4個(gè)單位長(zhǎng) 度得到 .點(diǎn)（1 ，1）關(guān)于 y軸對(duì)稱的點(diǎn)為 （1，1），再將此點(diǎn)向右平移 4個(gè)單位長(zhǎng)度 .所以函數(shù) yf （4 x）的圖象過定點(diǎn) （3 ， 1）.如圖，定義在 1， ）上的函數(shù) f （ x）的圖象由一條線段及拋物線的一部分組成，則f （ x）的解析式為x 1，1 x0，答案】f （x） 4 ln x1ln x 11 ln| x| 10，所以函數(shù)yx2在 （0 ， 2 上只有零點(diǎn)e，又函數(shù)yx2 x2在 （x2）21，x04解析】 當(dāng)1 x0時(shí)，設(shè)解析式為 ykxb（k0）. kb 0， k 1， 則 得 yx1.b 1，b1，當(dāng) x0 時(shí)，設(shè)解析式為 ya（ x2）21（a0）.21圖象過點(diǎn) （4 ， 0） ， 0 a（4 2） 1 e