2019屆廣州市高三調(diào)研測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)(解析版)

1、 秘密 啟用前試卷類型： A2019 屆廣州市高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題：本題共12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的M x | 0 x 2, N x | x 2x 3 0M N （1設(shè)集合，則集合）2Ax | 0 x 2Bx | 0 x 3Cx | 1 x 2Dx | 0 x 11答案：AN x | x 2x 3 0 x | (x 1)(x 3) 0 x | 1 x 3，所 以M N x | 0 x 2解析：2a iz i2若復(fù)數(shù)( 是虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的值為（）1 i21ABC1D22答案：Ca ba i1iz bi,

2、 bRa i b bi，解得a 1解析：設(shè)，則，則1 b Sa 6,S 12d，則公差 等于（3已知 a 為等差數(shù)列，其前n 項(xiàng)和為 ，若）nn335A1BC2D333答案：CS a a a (6 2d) (6 d) 6 183d 12，解得d 2解析：3123P(1,1)為圓 x y 6x 0的弦MNMN的中點(diǎn)，則弦 所在直線方程為（）4若點(diǎn)222x y 3 0 x 2y 1 0 x 2y 3 02x y 1 0DABC4答案：D0 112(x 3) y 9C(3,0) k k 2MNMN，則弦 所解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，則22CP 31在直線方程為y 1 2(x 1)，化簡(jiǎn)得：2x

3、y 1 0 5已知實(shí)數(shù)a 2，b 2 2ln 2 c ln 2，2，則a,b,c的大小關(guān)系是（）ln 2Ac b aBc a bCb a ca c bD5答案：B ln 2(0,1),a 2 (1,2), b 2 2ln 2(2, 4), c ln 2 (0,1)，所以 ，解析：因?yàn)? 2 e2ln2數(shù)學(xué)(理科)試題 A第 1 頁 共 16 頁 c a b故6下列命題中，真命題的是（）x R,e 0ABx00 xx R,2 x2abCa b 0 1的充要條件是x, y Rx y 2x, y，則 中至少有一個(gè)大于 1D若，且6答案：DxR , e 0 x 22 x時(shí)， ，故 B 錯(cuò)誤；x解析：選

4、項(xiàng) A，故 A 錯(cuò)誤；選項(xiàng) B，當(dāng)x2ab選項(xiàng) C：當(dāng)a b 0成立時(shí)，不妨設(shè)a b 0，此時(shí)不滿足 1，故 C 錯(cuò)誤；x, yx y 2選項(xiàng) D，若都不大于 1，則，所以 D 正確y f (x)7由的圖象向左平移 個(gè)單位，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2 倍得到316y sin 3x f (x) 的圖象，則（）31131313sin x sin 6x sin x sin 6x A B C D 26627答案：B1 1橫坐標(biāo)縮短到原來的向右單位3平移個(gè)y sin 3x y sin 6x 解析：266 1 1 ，即y sin 6 x sin 6x 2 sin 6x f (x) sin

5、6x 36666 8. 已知甲袋中有 1 個(gè)黃球和 1 個(gè)紅球，乙袋中有 2 個(gè)黃球和 2 個(gè)紅球現(xiàn)隨機(jī)地從甲袋中取出 1 個(gè)球放入乙袋中, 再從乙袋中隨機(jī)取出 1 個(gè)球, 則從乙袋中取出的球是紅球的概率為（ ）1312592ABCD98答案：B1解析：分兩種情況，第一種情況：從甲袋中取出一個(gè)黃球放入乙袋，概率為 ，現(xiàn)在乙袋中有 3 個(gè)黃球和222 個(gè)紅球，再從乙袋中取出紅球，概率為 51第二種情況：從甲袋中取出一個(gè)紅球放入乙袋，概率為 ，現(xiàn)在乙袋中有2 個(gè)黃球和 3 個(gè)紅球，再從乙袋23中取出紅球，概率為 故所求概率1 2 1 3 1P 2 5 2 5 25解法 2：因?yàn)榧状泻鸵掖悬S球紅

6、球的個(gè)數(shù)均相等，故按題目操作，從乙袋中取出紅球黃球的概率也是數(shù)學(xué)(理科)試題 A第 2 頁 共 16 頁 1相等的，故所求概率為 2x2y2y 2px (p 0)9已知拋物線 2 1(a 0,b 0) F有相同的焦點(diǎn) ，點(diǎn)A 是兩曲線的一與雙曲線a b22AF x個(gè)交點(diǎn)，且軸，則雙曲線的離心率為（）2 13 15 12 2DABC9答案：Ap b 2b2A , pA c, 2c b 2ac c a 2ac 1 e 2e解析：依題意可知：或 ，所以，22222aae 2e 1 0 (e 1) 2 e 2 1，22a n的前 項(xiàng)和為 ，若SS 7 S 63na n的前 項(xiàng)和為（10. 已知等比數(shù)列

7、，則數(shù)列）nn36n3 (n 1) 2n3 (n 1) 2nC1 (n 1)2nD1 (n 1) 2nAB10答案：DS S q 8,q 2, S a a a a 2a 4a 7a 7,a 1解析：，633S3123111113a 2nb na n2b n的前 項(xiàng)和為 ，則 ，TT b 1,T b b 1 4 5故n1 ，設(shè)n1 ，數(shù)列nnnn11212經(jīng)驗(yàn)證，只有選項(xiàng) D 符合11如圖為一個(gè)多面體的三視圖，則該多面體的體積為（）22233A6B7CD311答案：B解析： 該幾何體的直觀圖如圖所示，則該多面體的體積1 11 1V 222 11 2 12 2 73 23 2A(a,0)C : y

8、 xex 的切線有且僅有兩條，實(shí)數(shù)a 的取值范圍是（12已知過點(diǎn)作曲線）數(shù)學(xué)(理科)試題 A第 3 頁 共 16 頁 A(,4) (0,)B(0,)C(,1)(1,)D(,1)12答案：A(t, te )y (x 1)ex ，則切線斜率k (t 1)e，則切線方程為解析：設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)閠ty te (t 1)e (x t) ，將(a,0)te (t 1)e (a t) ，當(dāng)t 1時(shí)，k 0，此時(shí)只有一條代入，得：ttttt(t 1)111切線，故t 1，所以a t t t 1 (t 1) 2，t 1t 1t 1t 11y (t 1) 2的圖象如圖所示，由圖可知，42作出函數(shù)t 11a 0 a

9、4或y a y (t 1)與函數(shù)當(dāng)時(shí)，直線t 1有兩個(gè)交點(diǎn)552468二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 a, b 的夾角為45a 1, b 2a b ，則 _13已知向量13答案：1，且 2222a b a b a 2a b b a 2 a b cos 45 b 1 2 2 1a b 12解析：2，所以 42x 2 a a x a x a x a x(a a a ) (a a ) 14已知234 ，則22012340241314答案：16解析：當(dāng)x 1時(shí)，得a a a a a (2 2)4 ；01234當(dāng)x 1時(shí)，得a a a a a (2 2) (2 2)44 ；0

10、12344(a a a ) (a a ) (a a a a a )(a a a a a ) (2 2)(2 2)22024130123401234 24 16數(shù)學(xué)(理科)試題 A第 4 頁 共 16 頁 2x y 0,x 3y 5 0, 1 x 1 yyz 15已知實(shí)數(shù) x ,滿足則的最小值為_ x 0,42 y 0,115答案：16 1 1 1 2x yxyz ，設(shè)t 2x yt，則當(dāng) 取得最大值時(shí)， z 取得最小值，作可行域?yàn)槿鐖D解析： 422 5 所示的OABA(2,1), B 0, ，不包括線段OBt 2x y y 2x t得y 2x，作直線，其中，由3并平移，使其經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)

11、直線過點(diǎn)A(2,1)時(shí)，直線在 軸上的截距最大，此時(shí) 取得最大值 4，ytt1 1 z 所以的最小值為 2 16yBAxO16已知在四面體A BCD中，AD DB AC CB 1，則該四面體的體積的最大值為_2 316答案：27DABOCO, DO中點(diǎn) ，連接 ，要使得四面體的體積最大，解析：取ABD ABC ，設(shè)OB t，O則必有平面平面BAAB 2t, OD OC 1t2則則，1 11CV 2t 1t 1t (t t)，2233 231332 327V (3t 1)，令V 0，得t ，當(dāng)t V時(shí)， 取得最大值則2333數(shù)學(xué)(理科)試題 A第 5 頁 共 16 頁 三、解答題：共 70 分解

12、答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第 1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求做答（一）必考題：共 60 分17（本小題滿分 12 分）在ABCA B C中，角 ， ， 所對(duì)的邊分別為 ， ， ，且a b ccos B cos C sin A sin Asin B.222C（1）求角 的大?。籄 ，ABC4 3 M BCAM的中點(diǎn)，求 （2）若的面積為，為6cos B cos C sin A sin Asin B，17解：(1) 由222sin C sin B sin A sin Asin B得2222分c b a aba b c ab， 3 分由

13、正弦定理，得 222，即222a b c ab2ab1222所以cosC 5分2ab22因?yàn)? C C 6分 ，所以3A B (2) 因?yàn)?，所?分662所以ABC 為等腰三角形，且頂角C 313S absinC a 4 3， 8分因?yàn)樗?24ABCa 49分2在MAC中，AC 4,CM 2,C ，31AM AC CM 2AC CM cosC 16 4 224 28所以解得222 11 分2AM 2 712分18（本小題滿分 12 分）某企業(yè)對(duì)設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100 件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)數(shù)學(xué)(理科)試題 A第 6 頁 共 16 頁圖 1：設(shè)備改造前樣

14、本的頻率分布直方圖 一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在20, 40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品圖 1 是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖，表 1 是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表表 1：設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表15,20)20,25)25,30)30,35)35,40) 40,45)質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162（1）請(qǐng)估計(jì)該企業(yè)在設(shè)備改造前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值;（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在25,30)內(nèi)的定為一等品，20, 25) 30,35)或每件售價(jià) 240 元；質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià) 180 元；其它的合格品定為三等

15、品，每件售價(jià) 120 元根據(jù)表 1 的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)XX用為 （單位：元），求 的分布列和數(shù)學(xué)期望18解：（1）根據(jù)圖 1 可知，設(shè)備改造前樣本的頻數(shù)分布表如下15,20)20,25)25,30)30,35)35,40) 40,45)質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)416401218104 17.51622.5 40 27.512 32.5 1837.51042.5 100 2.5 415 16 20 40 2512 30 1835 10 40 30201分3020 30.2樣本的質(zhì)

16、量指標(biāo)平均值為 2分100根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計(jì)總體質(zhì)量指標(biāo)平均值為30.2 3 分1 1 1（2）根據(jù)樣本頻率分布估計(jì)總體分布，樣本中一、二、三等品的頻率分別為 ， ， ，2 3 6數(shù)學(xué)(理科)試題 A第 7 頁 共 16 頁 1 1 1故從所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽一件，是一、二、三等品的概率分別為 ， ， 4 分2 3 6X隨機(jī)變量 的取值為：240，300，360，420，4805 分1 1 1P(X 240) 6 6 361 1 1P(X 300) C ，12，3 6 91 1 1 1 51 1 1P(X 360) C P(X 420) C 1，122 6 3 3 182 3 321 1

17、1P(X 480) ，10分2 2 4X所以隨機(jī)變量 的分布列為：XP36011951314361811分11511E(X ) 240 300 360 420 480 400所以12 分369183419. （本小題滿分 12 分）ABCDEFABCDACD F 60為矩形，二面角 為 ，如圖，多面體中，四邊形DECF CD DE, AD 2 DE DC 3 CF 6，（1）求證：BF平面 ADE；1的余弦值為 （2）在線段CFG上求一點(diǎn) ，使銳二面角B EG D4ABEDCFABCD19解：（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，BCAD所以因?yàn)?AD ADE BC ，ADE平面 ，平面數(shù)學(xué)(理科)試題 A

18、第 8 頁 共 16 頁 所以BC平面 ADE 1分同理CF平面ADE2分BC CF C又因?yàn)?，所以平面BCF平面 ADE3 分BF BCF，所以 BF平面 ADE因?yàn)槠矫? 分（2）法一：因?yàn)镃D AD,CD DE，所以ADE是二面角A CD F 的平面角，即ADE 60 5 分AD DE D ，所以CD ADE因?yàn)槠矫?因?yàn)镃D 平面CDEF,所以平面CDEF 平面ADE.AO DEO于點(diǎn) ，則AO 平面CDEF作由.6 分AD 2,DE 3DO 1 EO 2， , 得y所在直線為 軸，O以 為原點(diǎn)，平行于DCx的直線為 軸，DEOA z所在直線為 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O xy

19、z，則A(0,0, 3),C(3,1,0), D(0,1,0), E(0, 2,0), F(3,5,0)， OB OA AB OA DC (3,0, 3)，7 分設(shè)G(3,t,0), 1t 5 ，則 BE (3,2, 3), BG (0,t, 3) ，BEG設(shè)平面的法向量為m (x, y, z)， x 2t,y 3,m BE 0,3x 2y 3z 0, m BG 0,則由得，取ty 3z 0,z 3t,BEGDEGm (2 t,3, 3t)得平面又平面的一個(gè)法向量為，8 分n (0,0,1)的一個(gè)法向量為 ，9 分， 10 分 所以 cos m,n mn m n4t 4t 132數(shù)學(xué)(理科)試

20、題 A第 9 頁 共 16 頁 3 t1所以= ，44t2 4t 13113解得t 或t （舍去），11分222132CG 1CG CF 此時(shí) ，得.4CF 43即所求線段CFG上的點(diǎn) 滿足CG 12 分2BO CFO于點(diǎn) ，作OH EGH的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，連結(jié) BH法二：作因?yàn)镃D BC,CD CF, BC CF C，所以CD BCF平面 ， 5分BCFA CD F 的平面角，BCF 60 6 分為二面角A所以CD BO因?yàn)镃D CF C，BBO CDF BO EH， 7 分所以平面ED因?yàn)镺H EH,OH BO O，EH BOH8 分所以所以平面OGMCFHEH BH BHO，B EG D的

21、平面角 9 分為二面角RtBCOBC 2,BCO 60，在中，所以 BO 3,CO 11BOOH5又因?yàn)閏osBHO ，所以tanBHO 15，OH 10 分45EM CF M于OGH EGM EM CD 3,CM DE 3， ，作，則5OH EM3設(shè)OG x，則，即5x，11 分OG EG 9 2 x 213x ，即所求線段CFG上的點(diǎn) 滿足CG 解得12 分2220（本題滿分 12 分）1x y322C : 1(a b 0)CP 3,已知橢圓的離心率為 ，點(diǎn) 在 上a b2222C（1）求橢圓 的方程；數(shù)學(xué)(理科)試題 A第 10 頁 共 16 頁 F , FCFlCA, B分別是橢圓 的

22、左, 右焦點(diǎn)，過 的直線 與橢圓 交于不同的兩點(diǎn) ，（2）設(shè)122F AB求的內(nèi)切圓的半徑的最大值1c 1 ,a 2,a 2a b c ,b 3,c 1.20解：（1）依題意有3 分222 解得33 1,a 4b22x y22C故橢圓 的方程為 1 4分4 3A(x , y ), B(x , y )F AB（2）設(shè)，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r ，11221F ABAF AF BF BF 4a 8，的周長(zhǎng)為112121SF1AB 4ar 4r所以5分2解法一：ll根據(jù)題意知，直線 的斜率不為零，可設(shè)直線 的方程為x my 1，6 分 xy22 1(3m 4)y 6my 9 0由 4 3，得7 分22x

23、my 1 mR (6m) 36 3m 4 0，2由韋達(dá)定理得126m9y y , y y ，8 分3m 43m 412212212 m 1 2S F F y y y y y y 4y y 2，10 分23m 4F AB12121212122112t4t m 1t 1 S令2，則，13t 1F AB21t 3t11f (t) t ，則當(dāng)t 1時(shí)，f (t) 1 0 f (t)， 單調(diào)遞增，令3t3t24 f (t) f (1)S3，11分3F AB13即當(dāng)t 1,m 0時(shí)，S的最大值為 3，此時(shí)r max4F AB13l故當(dāng)直線 的方程為x 1時(shí)，F(xiàn) AB內(nèi)切圓半徑的最大值為 12 分41數(shù)學(xué)(

24、理科)試題 A第 11 頁 共 16 頁 解法二：331 A 1, ,B 1, , S F F AB 3當(dāng)直線l x軸時(shí)， . .6 分222 F AB1 21l當(dāng)直線 不垂直于 x 軸時(shí)，設(shè)直線 的方程為y k(x 1)，lxy22 1(4k 3)x 8k x 4k 12 0由 4 3，得. 7 分2222y k(x 1) (8k ) 4 4k 3 4k 12 144 k 1 0，2 22228k4k 1222x x , x x 由韋達(dá)定理得，8 分4k 34k 31221221S F F y y y y k(x x )2F AB1 21212121169k (k 1) 22 k x x 4

25、x x 2 . 10 分2121 24k 3221 1t 3 0 ,t 4k 32令，則，t 3 t 3 t 1 9 t 3 t 144St2t2F AB1 2 3 9 1 1 1 27 2212 2712 3. t t2 t 33 3內(nèi)切圓半徑的最大值為 l綜上，當(dāng)直線 的方程為x 1時(shí)， SF AB的最大值為 3，4F AB1112 分21（本小題滿分 12 分）x 1f (x) a(x 2ln x) ,aR.已知函數(shù)x2f (x)（1）討論的單調(diào)性；有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍f (x) 的定義域?yàn)?0,)f (x)a（2）若21解：(1)，數(shù)學(xué)(理科)試題 A第 12 頁 共 16

26、頁 2 2 x (x 2)(ax 1)2f (x) a 1 . 1 分xx3x3(i)當(dāng)a 0時(shí)，ax2 1 0恒成立，x(0, 2)f (x) 0 f (x) (0, 2)， 在 上單調(diào)遞增；時(shí)，x(2,)f (x) 0 f (x) (2,)， 在 上單調(diào)遞減； 2 分時(shí)，11a 0f (x) 0 x 2, x , x (ii) 當(dāng)時(shí)，由得，（舍去），aa1231x x ，即a 在 上單調(diào)遞增；3 分f (x) 0恒成立， f (x) (0,)當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，4112x x ，即a 412 1 x 0, 1 0,x(2,)f (x) 0f (x)(2,)， 單調(diào)遞增；或時(shí)，恒成立，在aa 1 ,

27、2 1 ,2上單調(diào)遞減；4 分x f (x) 0f (x)恒成立， 在時(shí)，aa1x x 0 a 當(dāng)即時(shí)，412 1 1 x 0,2x ,f (x) 0f (x) (0,2),在,或時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增；aa 1 x 2, 1 2,上單調(diào)遞減；5 分f (x) 0f (x)在時(shí)，恒成立，aa綜上，當(dāng)a 0時(shí)，f (x) 單調(diào)遞增區(qū)間為(0, 2) ，單調(diào)遞減區(qū)間為(2,)；1a a f (x)f (x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，1414 1 0, 1 ,2；(2,)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為aa 1 1 2,當(dāng)0 a 時(shí)，f (x) 單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),，單調(diào)

28、遞減區(qū)間為4aa6分(2)由(1)知，當(dāng)a 0時(shí)，f (x) 單調(diào)遞增區(qū)間為(0, 2) ，單調(diào)遞減區(qū)間為(2,)，又因?yàn)閒 (1) a 0，7 分?jǐn)?shù)學(xué)(理科)試題 A第 13 頁 共 16 頁 1 x max ,512f (x) x 2ln x, f (x) f (x) 1 0 (2,)取 ，令，則在成立，故axx0121f (x) x 2ln x1f (x )5 2ln 5 1 2(2 ln 5) 1，單調(diào)遞增，101 11 11f (x ) a(x 2ln x ) a 0，x xx xx00022200000 f x ”也給分）x （注：此處若寫“當(dāng)時(shí)，11f (x)f (2) a(2

29、2ln 2) 0a 所以有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，得，48 8ln 21所以0 a 8分8 8ln 2x 1a 0f (x) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；x21a f (x) (0,)在單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；9 分411 1 a 0 a 且f (x)f (2) a(2 2ln 2) 0 f 2 a alna a，當(dāng)記時(shí)，有兩個(gè)極值，44a g(x) 2 x xln x x，10 分11g(x) 2 (1 ln x) 1 ln x，2 xx111 2 x 1 h(x) ln xh(x) ，則令.xx332x2x22114,x h(x) 0 g (x)， 在當(dāng)當(dāng)故時(shí)，單調(diào)遞增；41140 x h(x) 0 g (x)，0,時(shí)，在單調(diào)遞減41 g(x) g 2 2ln 2 0 g(x) (0,)， 在 單調(diào)遞增 4 1 x 0g(x) 0f 2 a alna a 011 分時(shí)，故a1f (2) a(2 2ln 2) 0f (x)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意又，由(1)知，4數(shù)學(xué)(理科)試題 A第 14 頁 共 16 頁 1,0綜上，實(shí)數(shù)a 的取值范圍為.12 分8 8ln 2（二）選考題：共 10 分. 請(qǐng)考