重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件第06講 差分方程和數(shù)值微分

1、大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Experiments in Mathematics實(shí)驗(yàn)2 差分方程和數(shù)值微分?jǐn)?shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)-李煥榮差分方程 離散時(shí)段上描述變化過程的數(shù)學(xué)模型 一年期存款年利率為r，存入M， 記第k年本息為xkn年后本息為 污水處理廠每天將污水濃度降低比例q, 記第k天的污水濃度為ck ,離散動(dòng)態(tài)過程（系統(tǒng)），實(shí)際的變化可以是連續(xù)的 天后污水濃度降低一半 一階線性常系數(shù)差分方程 高階線性常系數(shù)差分方程 線性常系數(shù)差分方程組 非線性差分方程 數(shù)值微分簡(jiǎn)介 建立離散動(dòng)態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型; 用MATLAB計(jì)算數(shù)值解; 作理論分析(平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性).差分方程例1 瀕危物種(Florida 沙丘鶴)的自

2、然演變 和人工孵化 一階線性常系數(shù)差分方程 在較好自然環(huán)境下，年平均增長(zhǎng)率為1.94% 在中等自然環(huán)境下，年平均增長(zhǎng)率為-3.24% 在較差自然環(huán)境下，年平均增長(zhǎng)率為-3.82%如果在某自然保護(hù)區(qū)內(nèi)開始有100只鶴，建立描述其數(shù)量變化規(guī)律的模型，并作數(shù)值計(jì)算. 生態(tài)學(xué)家估計(jì) 如果每年人工孵化5只鶴放入該保護(hù)區(qū)，在中等自然環(huán)境下鶴的數(shù)量將如何變化?模型及其求解 例1 瀕危物種(Florida 沙丘鶴)的自然演變 和人工孵化 記第k年沙丘鶴的數(shù)量為xk，自然環(huán)境下年平均增長(zhǎng)率為r設(shè)每年人工孵化的數(shù)量為b， 結(jié)果分析 例1 瀕危物種(Florida 沙丘鶴)的自然演變 和人工孵化 時(shí)間充分長(zhǎng)后(k)

3、沙丘鶴數(shù)量的變化趨勢(shì) a1(r0)時(shí)xk, a1(r0)時(shí)xk0在中等及較差的自然環(huán)境下沙丘鶴將瀕于滅絕。 人工孵化條件下 a1(r0)時(shí)xkx=b/(1-a) x=5/0.0324=154.32 自然環(huán)境下 線性常系數(shù)差分方程組 例4 汽車租賃公司的運(yùn)營(yíng) 汽車租賃公司在3個(gè)相鄰的城市運(yùn)營(yíng)，在一個(gè)城市租賃的汽車可以在任意一個(gè)城市歸還. 在A市租賃在A, B, C市歸還的比例分別為0.6, 0.3, 0.1在B市租賃在A, B, C市歸還的比例分別為0.2, 0.7, 0.1在C市租賃在A, B, C市歸還的比例分別為0.1, 0.3, 0.6 公司開業(yè)時(shí)將600輛汽車平均分配到3個(gè)城市，建立運(yùn)

4、營(yíng)中汽車數(shù)量在3個(gè)城市間轉(zhuǎn)移的模型，討論時(shí)間充分長(zhǎng)以后的變化趨勢(shì). 例4 汽車租賃公司的運(yùn)營(yíng) 模型及其求解 0.10.20.10.10.30.30.70.60.6ABCx1(k), x2(k), x3(k)第k個(gè)租賃期末公司在A, B, C市的汽車數(shù)量x(k)=x1(k), x2(k), x3(k)T k012345678910 x1(k)200180176176178179179180180180180 x2(k)200260284294297299300300300300300 x3(k)200160140130125123121121120120120開始時(shí)600輛汽車平均分配到3個(gè)城市

5、 開始時(shí)600輛汽車全分配給A市 k012345678910 x1(k)600360258214195187183181181180180 x2(k)0180252281292297299300300300300 x3(k)06090105113116118119120120120例4 汽車租賃公司的運(yùn)營(yíng) 模型及其求解 時(shí)間充分長(zhǎng)后3個(gè)城市的汽車數(shù)量趨向穩(wěn)定，穩(wěn)定值與初始分配無關(guān) 數(shù)值微分 用離散方法近似計(jì)算函數(shù)y=f(x)在某點(diǎn)x=a的導(dǎo)數(shù)值 前差公式 后差公式 中點(diǎn)公式 誤差為O(h)誤差為O(h)誤差為O(h2)泰勒展開: 函數(shù)y=f(x)在等間距h的分點(diǎn)x0 x1xn上用離散數(shù)值表示為y0, y1, , yn 數(shù)值微分 三點(diǎn)公式，誤差為O(h2) 在中間點(diǎn)x1, , xn-1在兩端點(diǎn)x0, xn 實(shí)驗(yàn)