中科大非物理類力學(xué)課件6剛體力學(xué)

1、第六章 剛體力學(xué). 剛體運動概述. 剛體的定軸轉(zhuǎn)動. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定理和角動量定理. 剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理和機械能守恒. 剛體的平面平行運動. 陀螺的運動目 錄1一、剛體模型1.剛體:在任何外力作用下, 形狀大小均不發(fā)生改變的物體 （特殊的質(zhì)點系）. 剛體運動概述 對于機械運動的研究，只局限于質(zhì)點的情況是很不夠的。物體是有形狀大小的，它可以作平動、轉(zhuǎn)動，甚至更復(fù)雜的運動。一般固體在外力的作用下，形變并不顯著，故設(shè)想另一個抽象模型 剛體。以剛體為研究對象，除了研究它的平動外，還研究它的轉(zhuǎn)動以及平動與轉(zhuǎn)動的復(fù)合運動等。說明: (1) 在外力的作用下, 任意兩點均不發(fā)生相對位移; (2) 內(nèi)力無窮大

2、的特殊質(zhì)點系 內(nèi)力做功為零； (3) 剛體是彈性系數(shù)很大的一類物體的抽象.22.自由度：用以確定一個力學(xué)體系的幾何 位形所需的獨立坐 標(biāo)的個數(shù)。自由剛體的自由度數(shù) n=6非自由剛體的自由度數(shù)小于6 物體系運動自由度m，決定了其獨立的微分方程組的數(shù)目有m個,其中每個方程均為二階微分方程.若運動被限制或被約束,其自由度將減少.多一個約束條件,就減少一個自由度.3.質(zhì)心：剛體是由連續(xù)分布的質(zhì)點所組成的質(zhì)點組， 故其 質(zhì)心為ABC3二、剛體運動的幾種形式1. 剛體平動（n=3）連接剛體中任意兩點的線段在運動中始終保持平行。剛體上所有點的運動軌跡都相同,可當(dāng)作質(zhì)點來處理.剛體上各點都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑

3、的園周運動, 且在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度.2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動（n=1）特點： 角位移，角速度和角加速度均相同 質(zhì)點在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運動，且作圓周運動.45. 剛體的一般運動（n=6） 剛體的一般運動可視為隨剛體上某一基點A的平動和繞該點的定點轉(zhuǎn)動的合成.OOO 將剛體的運動看作質(zhì)心的平動與相對于通過質(zhì)心并垂直運動平面的軸的轉(zhuǎn)動的疊加。3.平面平行運動（n=3） 剛體運動時, 各點始終和某一平面保持一定的距離, 或者說剛體中各點都平行于某一平面而運動.4.剛體定點轉(zhuǎn)動（n=3）剛體運動時，始終繞一固定點轉(zhuǎn)動.5 一般來說，剛體的任何運動都可分解為基點的平動和繞該點的定點轉(zhuǎn)動的合成.。選擇不同

4、的基點，平動速度就不同；而轉(zhuǎn)動角速度就與基點的選擇無關(guān)。即剛體上的角速度矢量的大小和方向都相同。這即是剛體角速度的絕對性。證明：如圖,選c為基點，則p點 的速度三、剛體角速度(矢量)的絕對性若選 為基點，則p點繞 點有一角速度 ，則6注意到代入前一式,則有由此得到故剛體上的角速度矢量的大小和方向都相同，與基點無關(guān)。7（二）剛體的定軸轉(zhuǎn)動一、定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量和轉(zhuǎn)動慣量 如圖所示，考慮以角速度 繞z軸轉(zhuǎn)動的一個剛體，其上任一質(zhì)元 相對于原點0的角動量為 的方向垂直于由矢量 和 決定的平面，因此與轉(zhuǎn)動軸 z 之間的夾角為 ， 的大小為8剛體轉(zhuǎn)動慣量定義： 因此，定軸轉(zhuǎn)動剛體的總角動量 對轉(zhuǎn)動軸

5、z 軸的分量的大小為一般而言，剛體的總角動量并不一定平行于轉(zhuǎn)動軸，即不一定與同方向，它們之間的關(guān)系不能簡單地用一個標(biāo)量的轉(zhuǎn)動慣量聯(lián)系起來。9附：定軸轉(zhuǎn)動時剛體總角動量為注意到質(zhì)量元的位矢和角速度分量表示為按矢積運算規(guī)則展開于是總角動量的三個分量為10二、轉(zhuǎn)動慣量的計算1. 離散分布的物體2. 連續(xù)分布的物體說明：1) 剛體的轉(zhuǎn)動慣量是由總質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸的位置三個因素決定;2) 同一剛體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不同, 凡是提到轉(zhuǎn)動慣量, 必須指明它是對哪個軸的才有意義.113 .平行軸定理說明： 為剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量；d 為兩平行軸間距離。d0c現(xiàn)以薄板為特例,證明平行軸定理 如圖，質(zhì)量元

6、對0點位矢為 ，對質(zhì)心c的位矢為 ，注意到矢量三角形有dC012代入轉(zhuǎn)動慣量公式對于三維剛體或質(zhì)點組，該關(guān)系式也是正確的，其證明思路類似上述. 其中笫一項為對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量 ；笫二項則為 ；笫三項則為零.故得證.即134. 正交軸定理說明：x, y為平面內(nèi)正交的軸z 為垂直平面的軸 (上述結(jié)論學(xué)生自已證明)幾種典型形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量計算1) 均勻細棒a) 轉(zhuǎn)軸過中心與桿垂直dxxodmzzxy14b) 轉(zhuǎn)軸過棒一端與棒垂直xodxdmz2)均勻細園環(huán)轉(zhuǎn)軸過圓心與環(huán)面垂直Rozdmm另解：應(yīng)用平行軸定理，同樣可得153) 均勻圓盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量為m, 半徑為R, 厚為l, 轉(zhuǎn)軸過圓心與

7、環(huán)面垂直Rrolmz薄圓環(huán)問題：如何計算園環(huán)轉(zhuǎn)軸通過園環(huán)直徑的轉(zhuǎn)動慣量？164) 繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量 圓盤空心圓柱175) 均勻薄球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量 圓環(huán)質(zhì)元質(zhì)元面積均勻薄球殼z18例題6.1 如圖,圓環(huán)質(zhì)量 ,半徑R，短棒質(zhì)量 ，長 度d，求對x軸的轉(zhuǎn)動慣量根據(jù)平行軸定理，圓環(huán)對轉(zhuǎn)軸x的轉(zhuǎn)動慣量為dxR 圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過直徑的轉(zhuǎn)動慣量，根據(jù)正交軸定理有解：因此，整個元件對x軸的轉(zhuǎn)動慣量為19 剛體定軸轉(zhuǎn)動定理和角動量定理一. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 將質(zhì)點系角動量定理應(yīng)用于剛體定軸轉(zhuǎn)動，得到軸向分量 的角動量的變化率為考慮到 ，得 該式即為定軸轉(zhuǎn)動定理.充分顯露出轉(zhuǎn)動慣量的本性 剛體在定軸轉(zhuǎn)動時表現(xiàn)

8、出來的慣性的一種量度.20力矩和轉(zhuǎn)動慣量必須對同一轉(zhuǎn)軸而言,具有瞬時性。選定轉(zhuǎn)軸的正方向, 以便確定力矩或角加速度,角速度的正負當(dāng)系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動物體, 又有平動物體時, 用隔離法解題. 對轉(zhuǎn)動物體用轉(zhuǎn)動定律建立方程, 對平動物體則用牛頓定律建立方程.轉(zhuǎn)軸約束力的存在表現(xiàn)出實際的力學(xué)效果。轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用：隔離法分析研究對象建立坐標(biāo)系列出分量運動方程討論：21例題6.2 一輕繩跨過一定滑輪, 滑輪視為圓盤, 繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體, m1m2 . 設(shè)滑輪的質(zhì)量為m, 半徑為r, 所受的摩擦阻力矩為Mr. 繩與滑輪之間無相對滑動. 求: 物體的加速度和繩的張力.m1m2aT2T1T1

9、T2G2G1aam1m2解: 隔離法列出運動方程 滑輪邊緣上的切向加速度和物體的加速度相等22從以上各式解得T2T1T1T2G2G1aam1m2 值得注意的是，繩與輪槽之間無相對滑動是靠靜摩擦力維持的，而靜摩擦力有一個最大值。23二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理由定軸轉(zhuǎn)動定律知，相對z 軸有 其中J在剛體轉(zhuǎn)動過程中是不變的.但是，即使物體不是剛體，它對定軸的轉(zhuǎn)動慣量可以隨時改變時，只要任一瞬時它可看作是繞該定軸以角速度 轉(zhuǎn)動，上式仍然成立，即剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理24三、剛體角動量守恒定律2.多物體組成的系統(tǒng)角動量具有可疊加性； 3.角動量守恒定律是一條普適定律。說明：1. 角動量保持不變是轉(zhuǎn)動

10、慣量與角速度的積不變. 角動量守恒的兩種情況:(1) 剛體定軸轉(zhuǎn)動時, 如果轉(zhuǎn)動慣量不變, 則角速度也不變;(2) 如轉(zhuǎn)動慣量改變, 則角速度也改變.25角動量守恒使地球自轉(zhuǎn)軸的方向在空間保持不變, 因而產(chǎn)生了季節(jié)變化.北南北南角動量守恒的現(xiàn)象:26一、力矩的功力矩功的表達式：由功的定義式: （四）剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理和機械能守恒力矩的功率zrdods27二、剛體的轉(zhuǎn)動動能設(shè)剛體分割為質(zhì)元對應(yīng)位置動能分別為剛體定軸轉(zhuǎn)動時, 各質(zhì)元的動能：剛體的動能為各質(zhì)元動能的總和：28三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理由轉(zhuǎn)動定律力矩作功和剛體動能變化關(guān)系得剛體轉(zhuǎn)動的動能定理：合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動的動

11、能增量.而29四、剛體的機械能守恒定律 可見剛體的重力勢能與質(zhì)量集中在質(zhì)心上的一個質(zhì)點的重力勢能相同，只由質(zhì)心的位置決定，而與剛體的具體方位無關(guān). 剛體的重力勢能:作為質(zhì)點系，剛體的重力勢能應(yīng)為各質(zhì)元 重力勢能之和 若剛體在轉(zhuǎn)動過程中, 只有重力矩做功, 則剛體系統(tǒng)機械能守恒. 剛體轉(zhuǎn)動的機械能守恒30質(zhì)點的運動規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律的對比(一)質(zhì)點的運動剛體的定軸轉(zhuǎn)動速度角速度加速度角加速度質(zhì)量m, 力F轉(zhuǎn)動慣量J , 力矩M力的功力矩的功動能轉(zhuǎn)動動能勢能質(zhì)心勢能31質(zhì)點的運動規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律的對比(二)質(zhì)點的運動剛體的定軸轉(zhuǎn)動運動定律運動定律動量定理角動量定理動量守恒角動量守恒動能定

12、理動能定理機械能守恒機械能守恒32例題6.4 一勻質(zhì)細棒長為l , 質(zhì)量為m, 可繞通過其端點O的水平軸轉(zhuǎn)動. 當(dāng)棒從水平位置自由釋放后, 它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞. 該物體的質(zhì)量也為m, 它與地面的摩擦系數(shù)為. 相撞后, 物體沿地面滑行一距離s 而停止. 求: 相撞后棒的質(zhì)心C離地面的最大高度h, 并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件.解:1) 棒自由擺落的過程 除重力外, 其余內(nèi)力與外力都不作功, 故機械能守恒(1)COmml33 碰撞時間極短, 沖力大, 系統(tǒng)的對O軸的角動量守恒(2)2) 碰撞過程由勻減速直線運動的公式得(4)3) 物體在碰撞后的滑行過程(3)物體作勻減速

13、直線運動, 加速度由牛頓第二定律確定由式(1)-(4)聯(lián)立求解, 得344) 棒碰撞后的過程COmml 除重力外, 其余內(nèi)力與外力都不作功, 故機械能守恒, 即棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件:向左擺向右擺即即35例題6.5 質(zhì)量很小, 長度為l 的均勻細桿, 可繞通過其中心點O并與紙平面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動, 當(dāng)細桿靜止在水平位置時, 有一只小蟲以速率v0垂直落在距點O為l/4處, 并背離點O向細桿的端點A爬行。設(shè)小蟲的質(zhì)量與細桿的質(zhì)量均為m. 問: 欲使細桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動, 小蟲應(yīng)以多大速率向細桿端點爬行.Ol/4mv0rqPAA36解: 小蟲落在細桿上, 可視為完全非彈性碰撞,

14、且碰撞時間極短. 重力的沖量矩可略去不計, 細桿帶著小蟲一起以角速度 轉(zhuǎn)動. 碰撞前后, 小蟲與細桿的角動量守恒故由上式可得細桿角速度為作用在細桿和小蟲系統(tǒng)的外力矩僅為小蟲所受的重力矩, 即(1)由于要求小蟲角速度恒定, 故從轉(zhuǎn)動定律可得(2)37(1)(3)式聯(lián)立求解得:考慮到=t , 并且將值代入上式得:上式微分得:(3)而38解: 把演員視為質(zhì)點, M, N和蹺板作為一個系統(tǒng), 以通過點C垂直平面的軸為轉(zhuǎn)軸. 由于作用在系統(tǒng)上的合外力矩為零,故系統(tǒng)的角動量守恒例題6.6 一雜技演員M由距水平蹺板高為h處自由下落到蹺板的一端, 并把蹺板另一端的演員N彈了起來. 設(shè)蹺板是勻質(zhì)的, 長度為l,

15、 質(zhì)量為m,支撐板在板的中點C, 蹺板可繞點C在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動, 演員M, N的質(zhì)量都是m. 假定演員M落在蹺板上, 與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞. 問演員N可彈起多高.NhMCABl/2lm39J為其蹺板的轉(zhuǎn)動慣量, 把板看成是窄長條形狀這樣演員N將以速率u=l/2跳起, 達到的高度h為40 剛體的平面平行運動一、運動學(xué)特征1. 基面、基點與基軸. 選定一軌道平面為參考平面，簡稱為基面，其他軌道平面均平行于基面.于是，三維剛體的平面運動被簡化為基面上各點的二維運動。選定基面上的一點作為參考的基點.通過基點且垂直基面的直線被稱為基軸.則剛體的平面運動被分解為基軸的平動加上繞基軸的轉(zhuǎn)動（n=3）

16、. 一般選基軸通過質(zhì)心.2. 速度表示式.設(shè)基點為c，線速度為 ，則 剛體作平面平行運動時, 各點始終和某一平面保持一定的距離, 或者說剛體中各點都平行于某一平面而運動.41 3. 轉(zhuǎn)動中心（瞬心）: 基面上存在一個特殊點，其瞬時速度 為零 ,該點被稱作瞬心.過該點且垂直于運動平面的轉(zhuǎn)軸 稱為瞬時轉(zhuǎn)軸。瞬心的位矢 決定于方程說明:(1)如圖，若已知質(zhì)心C的速度 和角速度 ,則可知瞬心 在與 垂 直的方向上距離C點為 的地方。 (2)在任一瞬時，截面上任一點的速度方向均與該點相對于瞬心的位置垂直。故只要過截面上任意兩點引兩條與速度方向垂直的直線，兩直線的交點即為瞬心的位置。瞬心可以在剛體上，也可

17、以在剛體外與剛體保持剛性連結(jié)的空間點上.(如圖)42二、運動方程利用質(zhì)心運動定理，求質(zhì)心的運動 利用定軸轉(zhuǎn)動定理，在質(zhì)心坐標(biāo)系中，剛體通過質(zhì)心并垂直于空間固定平面的軸的轉(zhuǎn)動，有 平面平行運動有三個自由度，利用上述三個方程完全描述運動.(3)在平面平行運動問題中，有時可利用瞬時轉(zhuǎn)軸概念，將 問題簡化為單純的轉(zhuǎn)動問題。43附：證明定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律同樣適用剛體通過質(zhì)心并垂 直于平面的軸的轉(zhuǎn)動。證：要使定軸轉(zhuǎn)動定律適用于通過加速度為 的質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸 ，應(yīng)在作用于剛體的力矩中加上慣性力矩 ，即但顯然所以，最后得44三、功能原理 由質(zhì)點系動能的柯尼希定理知，剛體平面平行運動中動能可以表為質(zhì)心的平動動能與繞

18、質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能之和，即由質(zhì)心運動定理合外力由質(zhì)心角動量定理總外力矩45討論： 若不取質(zhì)心為基點，就不能如此分解. 如果作用在剛體上的力僅為保守力，必然導(dǎo)致機 械能守恒，即因此，剛體平面平行運動的功能原理為四、滾動 接觸面之間有相對滑動的滾動稱為有滑動滾動，接觸面之間無相對滑動的滾動稱為無滑動滾動，或稱純滾動. 461. 純滾動的運動學(xué)判據(jù)關(guān)于純滾動2. 純滾動中的瞬時轉(zhuǎn)軸 純滾時，接觸點的速度為零。這時接觸點就是瞬心p。如圖，柱體上任一的速度為3. 滾動中的摩擦力 若忽略滾動物體和承滾面的形變，在有滑動滾動中，摩擦力為滑動摩擦力；在純滾中，摩擦力為靜摩擦力。靜摩擦力的方向不易判斷，必須視具體情

19、況而定。47 確定靜摩擦力方向的方法是：假定 兩剛性表面不存在摩擦，判定其中一個剛體相對滑動將滑向何方，作用在此剛體的靜摩擦力方向必與其反向. 實例： 車輪在剛性水平地面上純滾動.靜摩擦力為零汽車主、被動輪所受靜摩擦力的方向主動輪必須有向前的靜摩擦力，作為推動汽車前進的動力（a）；而被動輪必受向后的摩擦力（b）.（a）（b）484. 靜摩擦力不作功 如圖，靜摩擦力做功可以用剛體平面平行運動的功能原理寫為根據(jù)運動學(xué)判據(jù)，有R車輪在斜面上的純滾動車輪向上，靜摩擦力必向上；車輪向下，靜摩擦力仍向上.49例題6.7 一質(zhì)量為m, 半徑為R的均質(zhì)圓柱, 在水平外力F作用下, 在粗糙的水平面上作純滾動,

20、力的作用線與圓柱中心軸線的垂直距離為l. 求: 質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力.圓柱對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動定律：純滾動條件圓柱對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為解: 設(shè)靜摩擦力f 的方向如圖所示, 則由質(zhì)心運動方程FmR50聯(lián)立以上四式, 得由此可見無摩擦力靜摩擦力向后靜摩擦力向前FmR51解: 取圓柱體, 彎形和圓形滑道以及地球為一個系統(tǒng), 在圓柱體下滑過程中機械能守恒所以例題6.8 有一半徑為r 的勻質(zhì)圓柱體, 從其質(zhì)心距地面高為h的滑道上由靜止?jié)L動而下, 進入半徑為R的圓環(huán)形滑道, 設(shè)圓柱體在兩段滑道上均做純滾動. 求: 此圓柱體能在圓環(huán)形滑道內(nèi)完成圓周運動, h至少有多大的值?vCP2rCh而52可得圓柱體在

21、圓環(huán)滑道上完成圓周運動的條件圓柱體在圓形滑道頂點時的質(zhì)心運動方程為圓柱體能完成完整的圓周運動的條件應(yīng)當(dāng)是53例題6.9 求棒的打擊中心.棒球運動員擊球的效果如何， 取決于擊球點的位置是否合適.理論分析表明，存在 這樣一個擊球點（如圖），使手握的約束力為零.這個最佳位置被稱為打擊中心.解：如圖，設(shè)手握處為參考點0，棒的質(zhì)心位置為 ，擊球點的位置為r.擊球瞬間反彈的球給棒一沖擊力f,手給棒一約束力 ，列出運動方程轉(zhuǎn)動定理質(zhì)心運動定理運動學(xué)關(guān)系54解出令 ， 得到打擊中心位置為討論：比例系數(shù)k被定義為實際慣量與質(zhì)心慣量之比，其數(shù)值 取決于棒的形狀.k約在1.11.3范圍.全面考察手握的約束力，還有維持質(zhì)心運動的向心力 和對重力的支持力，它們是持續(xù)力，在擊球前就已存 在.擊球瞬間使手突感震動的是約束力 的反作用