復合函數(shù)求導 (2)講稿

1、復合函數(shù)求導 (2)第一張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月一、復合函數(shù)求導法則而函數(shù) 在 處可導，則復合函數(shù) 定理4.4.1 (復合函數(shù)求導法則 ) 設函數(shù) 在 可導，在可導，且有:即 證明：由 在 可導也即可微第二張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 又由 在 可導，因此 而 于是 令 則第三張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月復合函數(shù)的求導法則可以寫成:即因變量對自變量求導，等于因變量對中間變量求導乘以中間變量對自變量求導，我們稱它為鏈式法則. 復合函數(shù)的微分公式為: 第四張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月解:例4.4.1推廣第五張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于20

2、22年6月解:例4.4.2例4.4.3解:第六張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月二、初等函數(shù)的求導問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式第七張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2.函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設u= u(x),v=v(x)可導，則第八張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3.復合函數(shù)的求導法則利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解決.注意:初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù).例4.4.4解:第九張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月設函數(shù) 有導數(shù)（1）若x 是自變量時，三、一階微分的形式不變性（2）若x是中間變量時，即是另一變量 t 的可微函數(shù)則 .第十張，P

3、PT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月結論：不論 x 是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分形式總是 .例4.4.5設 ,求 .解:例4.4.6設 ，求 .第十一張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月四、隱函數(shù)的導數(shù)解:定義4.4.1由方程 所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)。隱函數(shù)的顯化問題: 隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?第十二張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月隱函數(shù)求導法則: 用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導,或利用一階微分的形式不變性對方程兩邊求微分.例4.4.7的導數(shù).解: 法一、方程兩邊對 x 求導 (注: y 看成 x 的函數(shù))求由方程 確定的隱函數(shù) 第十三張，PPT共二十二頁，

4、創(chuàng)作于2022年6月法二、方程兩邊同時求微分例4.4.8設曲線 C 的方程為 ，第十四張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月求過 C 上點 的切線方程，并證明曲線 C 在該點顯然通過原點.解:所求切線方程為的法線通過原點.第十五張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月五、對數(shù)求導法 先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù).適用范圍:例4.4.9解:等式兩邊取對數(shù)得第十六張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例4.4.10解:等式兩邊取對數(shù)得第十七張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月六、參數(shù)形式的函數(shù)的求導公式定義4.4.2若參數(shù)方程 確定 x 與 y 間的函數(shù)關系，稱此為參數(shù)形式的函數(shù).例如消去參數(shù)第十八張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月問題: 消參困難或無法消參的如何求導？在方程 中，設 和 在 即 在 上嚴格單調且 ，上可導,上存在反函數(shù) 由反函數(shù)求導法則， 在 由復合函數(shù)求導法則: 從而且成立第十九張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月也可以直接求微分兩邊相除，得 例4.4.11 求擺線 在 處的切線方程.解:第二十張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年