時間序列分析課件講義

1、時間序列分析課件講義時間序列分析課件講義概 述時間序列的含義 時間單位 年 季 月 周 日 時 低頻數(shù)據(jù) 高頻數(shù)據(jù) 時序數(shù)據(jù)特點2概 述時間序列的含義4 數(shù)據(jù)量 足夠數(shù)量的數(shù)據(jù)反映變化規(guī)律 支持模型的建立 數(shù)據(jù)量并不是越大越好 注意延伸到未來的規(guī)律 數(shù)據(jù)管理 數(shù)據(jù)庫 數(shù)據(jù)的更新 3 數(shù)據(jù)量5020004000600080001000080828486889092949698Y402000400060008000100008082848640005000600070008000900095:195:396:196:397:197:398:198:399:1Y5400050006000700080

2、00900095:195數(shù)據(jù)表現(xiàn) 觀察數(shù)據(jù)的變化 是否有異常數(shù)據(jù)出現(xiàn) 原因分析 規(guī)律分析 是否有沖擊或干擾 瞬間 持續(xù)6數(shù)據(jù)表現(xiàn)86000080000100000120000140000989900010203Y76000080000100000120000140000985.0E+081.0E+091.5E+092.0E+092.5E+093.0E+093.5E+0999:0199:0700:0100:0701:0101:0702:0102:07Y85.0E+081.0E+091.5E+092.0E+092. 趨勢模型 確定型趨勢模型 平滑模型 季節(jié)模型 水平模型 加法模型 乘法模型單變量時

3、間序列分析9 趨勢模型單變量時間序列分析11 ARMA模型 ARIMA模型 （G）ARCH類模型10 ARMA模型12 多變量時間序列回歸模型 誤差修正（ECM）模型 向量自回歸（VAR）模型 向量誤差修正（VEC）模型 Panel Data 模型多變量時間序列分析11 多變量時間序列回歸模型多變量時間序列分析13一、單變量時間序列分析（一）模型的選擇 1. 數(shù)據(jù)量和時間單位 數(shù)據(jù)量足夠多 ARMA、ARIMA、GARCH 數(shù)據(jù)量不夠多 確定型趨勢模型 平滑模型 12一、單變量時間序列分析（一）模型的選擇14 月、季數(shù)據(jù)量足夠多 季節(jié)模型 ARMA、ARIMA、GARCH 年數(shù)據(jù)量不夠多 確定

4、型趨勢模型 平滑模型 月、季、年數(shù)據(jù)量不夠多 平滑模型 13 月、季數(shù)據(jù)量足夠多15 2. 定性與定量結(jié)合 根據(jù)時間序列數(shù)據(jù)特點 實際現(xiàn)象的變化 例：我國社會商品零售總額 我國商品價格指數(shù) 觀察時序圖 分析變化特點14 2. 定性與定量結(jié)合16 3. 趨勢類型判斷 自相關(guān)函數(shù) 單位根檢驗 例：我國商品零售量指數(shù) 15 3. 趨勢類型判斷17 （三）模型分析與評價 1. 檢驗 各種不同模型有不同的檢驗 關(guān)鍵模型已提取所有信息 2. 對歷史數(shù)據(jù)擬合的分析 直觀判斷法 圖、表 誤差分析法 MAPE 3. 對未來趨勢反映的分析 近期趨勢的反映 直觀判斷 誤差分析 試預(yù)測 預(yù)測結(jié)果的可能性分析 16 （

5、三）模型分析與評價18二、ARMA模型 （一）模型的引進 多元線性回歸 自回歸 移動平均模型 簡單平均：序列平穩(wěn) 圍繞均值波動 = = = = 17二、ARMA模型 （一）模型的引進= =移動平均：近期數(shù)據(jù)對預(yù)測的影響更重要 加進新數(shù)據(jù)，則刪除遠離現(xiàn)在的數(shù)據(jù) = = = = T的作用：平滑數(shù)據(jù)T的取值：自然數(shù) 數(shù)值大小對結(jié)果的影響 18移動平均：近期數(shù)據(jù)對預(yù)測的影響更重要 = = + （ ） = + 以均值替代 有 特點：利用誤差修正，調(diào)整前期預(yù)測值 跟蹤數(shù)據(jù)變化時間序列可以用過去的誤差項表出 = + + + 19 = + （二）方法性工具 1. 自相關(guān) 含義：時間序列諸項之間的簡單相關(guān) 自相

6、關(guān)系數(shù)： 計算公式 取值 作用 自相關(guān)函數(shù) 抽樣分布20（二）方法性工具22 2. 偏自相關(guān) 含義：時間序列 ，在給定了 ， ， 的條件下， 與 之間的條件相關(guān)。 偏自相關(guān)系數(shù)： 計算公式 取值 作用 偏自相關(guān)函數(shù)21 2. 偏自相關(guān)23（三）時序特性分析 1. 平穩(wěn)性分析（1） 平穩(wěn)時序 描述性定義：序列的統(tǒng)計特征不隨時間而變化 均值恒為常數(shù)；自相關(guān)系數(shù)只與時間間隔有關(guān)，與時間起始點無關(guān)。 自相關(guān)的特點： 自相關(guān)系數(shù) 在K等于2或3后迅速趨于零。22（三）時序特性分析24（2） 趨勢消除 差分（逐期、短差） 2. 季節(jié)性分析 （1） 自相關(guān)的特點 注意時滯 （2） 季節(jié)差分 3. 隨機性23

7、（2） 趨勢消除25 （四）ARMA模型及其改進 1. 自回歸模型 AR（p） 模型的一般形式 AR (p) 序列的自相關(guān)和偏自相關(guān) ：拖尾性 ：截尾性=24 （四）ARMA模型及其改進=26 2. 移動平均模型 MA( q ) 模型的一般形式 MA (q) 序列的自相關(guān)和偏自相關(guān) ：拖尾性截尾性：=25 2. 移動平均模型 MA( q )：拖尾性：=27AR與MA間的對偶性 相互表出AR（P） 可以用既往的 有限加權(quán)和表出 可以用既往的 無限加權(quán)和表出 = = MA (q) = = 可以用既往的 有限加權(quán)和表出可以用既往的 無限加權(quán)和表出26AR與MA間的對偶性 = 相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)與可逆 若一

8、個序列可以用無限階的自回歸模型逼近，即逆函數(shù)存在，稱為具有可逆性，也就是可逆的。27相關(guān)函數(shù)29 3. 自回歸移動平均混合模型 ARMA( p, q ) 模型的一般形式 ARMA (p , q) 序列 的自相關(guān)和偏自相關(guān) 4. 改進的ARMA模型 ARIMA( p , d , q ) ARIMA (P,D,Q ARIMA(p,d,q) (P,D,Q 28 3. 自回歸移動平均混合模型30 （五） 模型的建立 1. 模型識別 選擇各個階數(shù) d ，D p, q P，Q 2. 參數(shù)估計 3.模型檢驗 殘差序列的自相關(guān)檢驗 直觀判斷 殘差序列的自相關(guān)系數(shù)是否落入隨機區(qū)間 29 （五） 模型的建立 31

9、統(tǒng)計檢驗檢驗法 m個獨立N（0，1）隨機變量的平方和，服從自由度為m的 分布。如果將殘差序列的自相關(guān)函數(shù)作為一個整體考慮，當(dāng)模型選擇合適時，可以證明： Q = n (e) 為近似的 （ m p q ）分布。其中，m 是最大時滯數(shù)，n 為計算 （e）的數(shù)據(jù)個數(shù)。 30統(tǒng)計檢驗檢驗法 m個獨立N（0，1）隨機變量的平方和，服從 （六）預(yù)測 1. 最小方差預(yù)測：使時間序列未來值的預(yù)測誤差盡可能小預(yù)測誤差 （L）= - （L） 的方差 E（ （L） = E（ - （L） 應(yīng)達到最小 。31 （六）預(yù)測 33也就是要使選擇的時間序列L步預(yù)測值（L）與時間序列實際值之間距離比其它任何一點都短。 2. 預(yù)測

10、的遞推形式 32也就是要使選擇的時間序列L步預(yù)測值（L）與時間序列實際值之間 (七）單位根過程問題的提出用于預(yù)測的線性平穩(wěn)模型：AR（p）模型 （B） =方程 （B）= 0稱為過程的特征方程，過程平穩(wěn)的條件是，特征方程所有根的絕對值都必須大于1，即在單位圓外。 33 (七）單位根過程（B） =方程 （B）= 02. 單位根的定義 隨機過程 ，t = 1，2，.，若 = t = 1，2，. 其中， = 1， 為一穩(wěn)定過程，且E（ ） = 0，cov ( ， ) = , 這里s = 0，1，2，.，則該過程稱為單位根過程（unit root process）。+ + 342. 單位根的定義+ +

11、36特別地，若 = + t = 1，2，. 其中， 為獨立同分布，且E（ ） = 0，D（ ） = ，則 為一隨機游動過程（random waik process)?？梢钥闯觯S機游動過程是單位根過程的一個特例。35特別地，若37若隨機過程 的一階差分過程（ = ）為一穩(wěn)定過程，則 服從單位根過程。分別以I（1）和I（0）表示單位根過程和穩(wěn)定過程，則可將 和 記為 I（1） I（0） 36若隨機過程 的一階差分過程（ = 3.趨勢類型 確定性趨勢模型 趨勢平穩(wěn)時間序列中的趨勢有不同的表現(xiàn)形式，如，帶趨勢的穩(wěn)定過程 = c + t + 其中， f ( t ) = c + t，表示時間序列 的確定

12、性趨勢（deterministic trend）。 的期望是時間t的線性函數(shù),其值在c + t周圍波動。 為一穩(wěn)定過程。373.趨勢類型 確定性趨勢模型 趨勢平隨機性趨勢模型 差分平穩(wěn) 帶常數(shù)項的單位根過程 = c + + 其中，c是常數(shù)項。對 不斷地向后迭代，得到 = c + （ c + + ）+ = . = ct + 確定的時間趨勢ct ，是由單位根過程中的常數(shù)項積累而成 38隨機性趨勢模型 差分平穩(wěn) 帶常數(shù)項的單位根 時間序列的趨勢大體有以下三種基本類型：（1） （1）序列不含常數(shù)項、時間趨勢項 = + 若 =1 ，序列為一單位根過程；若 1, 序列為一穩(wěn)定過程。 （2）序列含常數(shù)項、不

13、含時間趨勢項 = c + + 若 =1 ，序列為一帶常數(shù)項的單位根過程；若 1,序列為一帶常數(shù)項的穩(wěn)定過程。 39 時間序列的趨勢大體有以下三種基本類型：（2）序列含常（3）序列帶常數(shù)項和時間趨勢項 = c + + t + 若 =1 ，序列為一帶常數(shù)項和時間趨勢項的 單位根過程；若 1，序列為一帶常數(shù)項和時間趨勢項的穩(wěn)定過程。 40（3）序列帶常數(shù)項和時間趨勢項 4. 單位根檢驗 （1）迪基福勒（DF）檢驗 一階自回歸模型 ： = 1 為真時 最小二乘估計的t統(tǒng)計量為 t = 式中， 為 的最小二乘估計，SE（ ）為 的標準差。 = +414. 單位根檢驗 （1）迪基福勒（DF）檢驗 一階自回

14、歸模檢驗標準： t統(tǒng)計量有非標準和非對稱的極限分布，記作 ，對于給定的樣本量n和顯著性水平 ,若統(tǒng)計量的實際計算值 小于臨界值，則拒絕原假設(shè) 。42檢驗標準： t統(tǒng)計量有非標準和非對稱的極限分布，44（2）ADF檢驗 DF檢驗只對存在一階自相關(guān)的序列適用。 ADF檢驗適用于存在高階滯后相關(guān)的序列。 = + + + . + + 上式中，檢驗假設(shè)為或加帶常數(shù)項，或加帶趨勢項，或加帶常數(shù)項和趨勢項， 檢驗標準同DF檢驗。 = + = + 表述為存在高階滯后相關(guān)的序列，經(jīng)過處理可以表述為： = 0 43（2）ADF檢驗 示 例我國工業(yè)總產(chǎn)值預(yù)測 計算機實現(xiàn)1.建立工作文件 File/New/Workf

15、ile月度數(shù)據(jù)，點選M，輸入起始時間和終止時間1990：01 1997：122.讀入數(shù)據(jù) File/Import/Excel找到文件存儲路徑（如A盤或D盤），然后在對話框中，輸入變量的個數(shù)1，點擊OK。44示 例我國工業(yè)總產(chǎn)值預(yù)測 計算機實3.繪制時序圖 Quick/Graph/Line Graph/y觀察序列的特點4.選擇模型 季節(jié)乘法模型 ARIMA模型保留一年數(shù)據(jù)，作為試預(yù)測用。在窗口輸入 SMPL 1990：01 1996：12453.繪制時序圖47（1）季節(jié)性交乘趨向模型 輸入時間變量t（可調(diào)入，也可直接輸入）建立趨勢方程： LS Y C t在回歸結(jié)果窗口，點選Forcast,命名預(yù)

16、測值序列，例如為YF，則YF為各期趨勢值。求各期季節(jié)比： GENR V=Y/YF 46（1）季節(jié)性交乘趨向模型48求理論季節(jié)指數(shù)： Quick/Series Statistics/Seasonal Adjustment在對話框中點選乘法，并為因子命名，如S，點擊OK，屏幕出現(xiàn)結(jié)果，S同時保存在內(nèi)存中。求估計值： GENR YT=YF*S若記住參數(shù)（截距、斜率）的數(shù)值，也可以直接定義 GENR YT=（1374.9597+35.5915* t ）*S47求理論季節(jié)指數(shù)：49模型分析評價： 繪制時間序列實際值與預(yù)測值曲線圖 Quick/Graph/Line Graph/Y YT 計算MAPE GE

17、NR APE=ABS（Y-YT）/Y） Quick/ Series Statistics/Histogram and Stats 觀察均值Mean，乘以100則為MAPE。 48模型分析評價：50試預(yù)測： 擴展樣本期 SMPL 1990：01 1997：12 GENR YT=（1374.9597+35.5915* t ）*S注意：時間變量是否已經(jīng)輸入完整分析試預(yù)測的結(jié)果，與實際值比較。 繪制曲線圖 計算MAPE49試預(yù)測：51（2）ARIMA模型 1）時間序列特性分析：Quick/ Series Statistics/Correlogram觀察時序自相關(guān)，決定處理方式。 一階逐期差分： GEN

18、R IY=Y-Y（-1）觀察一階逐期差分序列自相關(guān)Quick/ Series Statistics/Correlogram/IY 50（2）ARIMA模型52一階季節(jié)差分： GENR SIY=IY-IY（-12）觀察一階季節(jié)差分后序列自相關(guān)Quick/ Series Statistics/Correlogram/SIY2）模型識別 d,D的確定：進行一階逐期差分一階季節(jié)差分 后序列平穩(wěn)，故d=1，D=1 51一階季節(jié)差分：53p, q 的選擇：觀察序列SIY的自相關(guān)和偏自相關(guān) p =2 或 p =3 q=1 （2，1）、（3，1）、（3，0）、（4，0）P,Q的選擇：觀察序列SIY的自相關(guān)和偏

19、自相關(guān) 僅考察時滯k=12，24時的自相關(guān)和偏自相關(guān) P=Q=152p, q 的選擇：觀察序列SIY的自相關(guān)和偏自相關(guān)54 3）參數(shù)估計 LS d（LOG（Y），1，12） AR（1） AR（2） SAR（12） MA（1） SMA（12）注意：參數(shù)估計值的絕對值應(yīng)小于1 4）模型檢驗 觀察上述估計結(jié)果的AIC值，比較不同模型的 AIC，數(shù)值越小越好 53 3）參數(shù)估計55觀察Q統(tǒng)計量：在上述估計結(jié)果窗口點擊 View/Residual Tests/ Correlogram-Q-Statistics 觀察Q的值和概率p。 試預(yù)測：在上述估計結(jié)果窗口點擊Forcast，將樣本期改為1997：01

20、至1997：12，預(yù)測方法選擇默認的動態(tài)法，命名預(yù)測值序列，點擊OK。計算MAPE。不同模型按照上述方法操作，并進行比較，選擇適宜的預(yù)測模型。54觀察Q統(tǒng)計量：在上述估計結(jié)果窗口點擊565）預(yù)測 經(jīng)過比較分析，確認合適的預(yù)測模型后，可以在所選模型的估計結(jié)果窗口點擊Forcast，在顯示的對話框中，將樣本期擴展為1998：01 1998：12，其它若不需要改變，則點擊OK。如果工作文件的時期僅到1997：12，則需先運用EXPAND命令擴展，在屏幕上方窗口輸入 EXPAND 1990：01 1998：12然后再使用Forcast命令。 5557時間序列分析中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院中國人民大學(xué)統(tǒng)計咨詢

21、研究中心易丹輝二 五年七月56時間序列分析中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院中國人民大學(xué)統(tǒng)計咨（一） 多變量時間序列回歸 1. 回歸應(yīng)用的目的 2. 回歸檢驗的要求 3. 三、多變量時間序列分析 57（一） 多變量時間序列回歸三、多變量時間序列分析 59（二） 誤差修正模型（ECM） 基于協(xié)整關(guān)系建立的誤差修正模型（Error Correction Model 簡稱ECM） 1. 條件 兩個變量同階單整，具有共同的隨機趨勢（存在一個線性組合為平穩(wěn)的），存在協(xié)整關(guān)系。 2. ECM I（1）， I（1） I（0） I（0） = + + +式中， 為誤差修正項。 58（二） 誤差修正模型（ECM） I（1） 3

22、.模型的意義自回歸分布滯后模型 自回歸分布滯后（autoregressive distributed lag ADL）模型亦簡稱為ADL模型 ADL（p,q）表述為 其中， 為白噪聲。 = + + + 59 3.模型的意義= + 、 之間的回歸關(guān)系可以表述為（分布滯后模型） = + + + + 若Y與X存在長期均衡關(guān)系，即有兩邊減去 ，得到 = + +（ + ） + + 整理上式，可得到 = + （1 ）（ ）+ = a 60 = + = + + 整理得=這就是Y與X之間的長期均衡關(guān)系 。= 就是均衡誤差。 61 = + Y、X同階的分布滯后模型都可以變換成誤差修正模型（ECM）。 預(yù)測模型的

23、綜合運用 示例短期波動 的影響因素： 自變量的短期波動 間的均衡關(guān)系系數(shù) ：其大小反映對偏離長期均衡的調(diào)整力度。、62Y、X同階的分布滯后模型都可以變換成誤差修正模型（ECM）。（三）向量自回歸過程（vector autoregressive process） 1. Granger因果檢驗 1） 問題的提出 是貨幣供應(yīng)量的變化引起GDP的變化，還是都由于內(nèi)部原因決定 2） 解決的思路 若X是引起Y變化的原因，則 X應(yīng)有助于預(yù)測Y； Y不應(yīng)當(dāng)有助于預(yù)測X。63（三）向量自回歸過程（vector autoregressi 3） 方法 第一個條件的檢驗：X不是引起Y變化的原因 無限制條件模型（UR）

24、 有限制條件模型（R） = + + + + += + + + +：= = 064 3） 方法= + 檢驗統(tǒng)計量：利用F檢驗 考慮兩個回歸模型的誤差平方和和 差異的顯著性。 若 成立， 不會超過 太多，建立檢驗統(tǒng)計量 F = 根據(jù)計算的F統(tǒng)計量與相應(yīng)顯著性水平下的臨界值比較可以得出結(jié)論，是否能夠拒絕 。65檢驗統(tǒng)計量：利用F檢驗若 成立， 不會超過 要得到：X是引起Y變化的原因，必須：1） 拒絕“X不是引起Y變化的原因”的假設(shè)；2）不能拒絕“Y不是引起X變化的原因”的假設(shè)。注意：K的取值 可取不同的值試驗，以保證結(jié)果不受K 選取的影響； 可能存在第三個變量Z，既影響Y，也與X相關(guān)。第二個條件的檢

25、驗：Y不是引起X變化的原因，檢驗方法同上。66要得到：X是引起Y變化的原因，必須：第二個條件的檢驗：Y不是 向量自回歸過程簡稱VAR過程，是分析多變量時間序列的有力工具。 傳統(tǒng)的向量自回歸模型 （1） 模型 VAR(p)模型表示為 其中， 是n維變量序列， （i = 1,2, . ,p）為n n維模型系數(shù)矩陣， 為n維獨立同分布隨機向量，E（ ）= 0 ，D（ ）= 。 = + + . + + 2. 向量自回歸模型67 向量自回歸過程簡稱VAR過程，是分析多變量時間序列的有 （2） 互相關(guān)函數(shù) 協(xié)方差矩陣 設(shè) = , , . , , (t = 0 , 1, 2 , . ) 為n維聯(lián)合平穩(wěn)實向量

26、過程. 對于每一個分量序列 ( i = 1, 2, . , n ) ,其均值E( ) = 是常數(shù), 對于每一個分量序列 和 ( i = 1, 2, . , n ; j = 1, 2, . , n)之間的互協(xié)方差僅與時間間隔 (k = t - s)有關(guān),是時間間隔k的函數(shù). 68 （2） 互相關(guān)函數(shù)70可以得到均值 E( ) = = 和協(xié)方差矩陣 (k) = Cov( , ) = E ( - ) ( - = Cov( , )69可以得到均值 E( ) = = 和協(xié)方差 = E ( - )( - ) = E ( - )( - ) 記k = 0 , 1 , 2 , . ; i = 1 , 2 , .

27、 , n ; j = 1 , 2 , . , n . 當(dāng)i = j時, 是i個分量的自相關(guān)函數(shù); 當(dāng)i j時, 是 和 之間的互協(xié)方差函數(shù). 70 = E ( - )( 和 之間的互相關(guān)函數(shù)可以表示為 （3） 參數(shù)估計 普通最小二乘法 =71 =73 （4） 模型識別與建立ARIMA 類似,可以利用向量的樣本相關(guān)矩陣函數(shù),幫助識別模型的階數(shù).若序列是非平穩(wěn)的,則經(jīng)過相同階數(shù)的差分可以平穩(wěn),亦可以建立VAR模型.一把來說,互為因果關(guān)系的多變量序列,采用VAR(p)模型. 模型階數(shù)p的確定還可以借助于AIC、SIC準則。 AIC = log + 2 , p = 1, 2, . , k SIC =

28、log + (log n) , p = 1, 2, . , k 72 （4） 模型識別AIC = log （5）模型檢驗與建立ARIMA模型一樣,向量自回歸模型是否合適,需要進行檢驗,即檢驗?zāi)Ｐ偷臍埐钚蛄惺欠駷榘自肼? 73 （5）模型檢驗75( 四 ) VEC模型（含單位根的向量自回歸過程） 嚴格地說，在VAR(p)模型中，所有的變量序列都應(yīng)該是平穩(wěn)的，否則需要進行處理。設(shè) , t = 1, 2, . 為一n維的向量單位根過程，其每一個分量序列 (i = 1, 2, . , n)為一單變量單位根過程， I（1）。若存在一非零的n維向量 ，使得 的線性組合 成為一個穩(wěn)定過程，即 I（0），則稱向量 是協(xié)整的， 為其的協(xié)整向量。 74( 四 ) VEC模型（含單位根的向量自回歸過程）設(shè) 1. VEC模型（Vector Error Correction） 任何一個含單位根的n維VAR（p）過程 可寫為 矩陣A中含有的k個線性獨立的協(xié)整向量。 為一k維的穩(wěn)定過程。矩陣 決定了協(xié)整關(guān)系的個數(shù)與形式，它的秩r是