北師大版八年級上冊數(shù)學課件（第7章 平行線的證明）

1、第七章 平行線的證明7.1 為什么要證明1課堂講解證明的必要性 證明的常用方法 2課時流程逐點導講練課堂小結作業(yè)提升 以前，我們通過觀察、實驗、歸納得到了很多正確的結論. 觀察、實驗、 歸納得到的結論一定正確嗎？我們再感受幾個！(1)圖1中兩條線段a, b的長度相等嗎？圖2中的四邊形是正方 形嗎？請你先觀察，再設法檢驗你觀察到的結論.圖1圖2(2)如圖3,把地球看成球形，假如用一根比地球赤道長 l m的鐵絲將地球赤道圍起來，鐵絲與地球赤道之間 的間隙能有多大？能放進一個拳頭嗎？先憑感覺想、 象一下，再具體算一算，看看與你的感覺是否一 致，并與同伴進行交流. 別太信任你的眼睛和直覺喲！圖31知識

2、點證明的必要性1.許多猜想的結論，數(shù)學上的一些結論以及數(shù)學之外的其他事實， 應當追其緣由，推理證明是非常必要的 (1)要判斷一個數(shù)學結論是否正確，僅僅依靠實驗，觀察、歸納是 不夠的，必須進行有根有據的證明 (2)沒有經過嚴格的推理，僅由若干特例歸納得出的結論可能潛藏 著錯誤 (3)對一個結論要肯定其是正確的，必須通過一步一步推理，論證 才能下結論知1講知1講2.要點精析： (1)直覺有時會產生錯誤，不是永遠可信的； (2)圖形的性質并不都是通過測量得出的； (3)對少數(shù)具體例子的觀察、測量或計算得出的結論， 并不能保證一般情況下都成立； (4)只有通過推理的方法研究問題，才能揭示問題的本 質例

3、1 一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，若把它的 十位數(shù)字與個位數(shù)字對調，將得到一個新的兩位數(shù)，這兩 個數(shù)的和能被11整除嗎？我們可驗證一下：比如23，把它 的十位數(shù)字與個位數(shù)字對調后得到新的兩位數(shù)32，而23 3255，因此我們斷定，這兩個數(shù)的和能被11整除問： 上述說法正確嗎？導引：沒有經過嚴格的推理，僅由特例得出的結論可能潛藏著錯 誤，因此要判斷這兩個數(shù)的和是否能被11整除，我們必須要 證明，原兩位數(shù)為10ab，得到的新兩位數(shù)為10ba，先求 10ab與10ba的和，再看這兩個數(shù)的和是不是11的倍數(shù)， 若是，則能被11整除，否則不能被11整除知1講解：上述驗證過程只是一個特例，為

4、了驗證結論的正確 性，可作如下推理：原兩位數(shù)為10ab，得到的新 兩位數(shù)為10ba，(10ab)(10ba)11(a b)， 因為11(ab)是11的整數(shù)倍，所以這兩個數(shù)的 和能被11整除 知1講 例2 觀察圖，(1)中間的圓圈大還是(2)中間的圓圈大？導引：僅憑觀察得到的結論不一定正確眼睛看到的并 不一定可靠，眼睛有時會產生一些錯覺本例中 感覺(1)中間的圓圈好像比(2)中間的圓圈要小一 些，實際上這兩個圓圈是一樣大的解：一樣大知1講 總 結知1講 實驗、觀察、操作所得出的結論不一定都正確，必須推理論證后才能得出正確的結論知1練 1 下列推理正確的是() A弟弟今年13歲，哥哥比弟弟大6歲，

5、到了明年， 哥哥比弟弟只大5歲了，因為弟弟明年比今年長 大了1歲 B如果ab，bc，那么ac CA與B相等，原因是它們看起來大小差不多 D因為對頂角必然相等，所以相等的角也必是對 頂角B知1練 (中考臺州)某班有20位同學參加圍棋、象棋比賽， 甲說：“只參加一項的人數(shù)大于14人”乙說：“兩項都參加的人數(shù)小于5.”對于甲、乙兩人的說法，有下列四個命題，其中是真命題的是() A若甲對，則乙對 B若乙對，則甲對 C若乙錯，則甲錯 D若甲錯，則乙對 B2知識點證明的常用方法知2導做一做 (1) 代數(shù)式n2n+11的值是質數(shù)嗎？取n=0，1，2，3，4， 5試一試，你能否由此得到結論：對于所有自然數(shù)n，

6、 n2n+11 的值都是質數(shù)？與同伴進行交流.知2導 (2) 如圖，在ABC中，點D，E分別是AB， AC的中點， 連接DE，DE與BC有怎樣的位置關系和數(shù)量關系？ 請你先猜一猜，再設法檢驗你的猜想.你能肯定你的 結論對所有的ABC都成立嗎？與同伴進行交流.議一議 實驗、觀察、歸納是人們認識事物的重要手段.通過實驗、觀察、歸納得到的結論都正確嗎？在上面的問題中，你是怎樣判斷一個結論是否正確的？說說你的經驗與困惑.知2導知2講1.檢驗數(shù)學結論常用的方法：主要有：實驗驗證、舉出反例、推理證明實驗驗證是 最基本的方法，它直接反映由具體到抽象、由特殊到一 般的邏輯思維方法；舉出反例常用于說明該數(shù)學結論

7、不 一定成立；推理證明是最可靠、最科學的方法，是我們 要掌握的重點實際上每一個正確的結論都需要我們進 行嚴格的推理證明才能得出檢驗數(shù)學結論的具體過程： 觀察、度量、實驗猜想歸納結論推理正確結論知2講2.應用：檢驗數(shù)學結論常用的三種方法的應用： 實驗驗證法常用于檢驗一些比較直觀、簡單的結論；舉 出反例法多用于驗證某結論是不是正確的；推理證明主 要用來進行嚴格的推理論證，既可以驗證某結論是正確 的，也可以驗證某結論是不正確的知2講例3 我們知道：224，224. 試問：對于任意數(shù)a與b，是否一定有結論abab?導引：通過舉反例，找出使abab不成立的a，b的 值，就可以得出答案 解：326，而32

8、5， 因為65，所以不是對于任意數(shù)a與b，都有結論ab ab. 知2講例4 如圖，一根細長的繩子，對折5次，用剪刀沿5次對折后的中間 將繩子全部剪斷，此時細繩被剪成_段導引：根據題意列表如下：例圖對折次數(shù)123n段數(shù)3592n133總 結知2講 實驗、觀察、歸納得出的結論可能正確，也可能不正確.因此，要判斷一個數(shù)學結論是否正確，僅僅依靠實驗、觀察、歸納是不夠的，必須進行有根有據推的證明知2練 1 下列推理正確的是() A若ab，bc，則ac B若ab，bc，則ac C因為AOBBOC，所以兩角是對頂角 D因為兩角的和是180，所以兩角互為鄰補角A知2練 2 (中考重慶)如圖所示，下列圖形都是由

9、面積為1的正方形按一 定的規(guī)律組成，其中，第個圖形中面積為1的正方形有2個，第個圖形中面積為1的正方形有5個，第個圖形中面積為1的正方形有9個，按此規(guī)律，則第個圖形中面積為1的正方形的個數(shù)為() A20 B27 C35 D40B第七章 平行線的證明7.2 定義與命題第1課時 定義與命題1課堂講解定義 命題真命題與假命題2課時流程逐點導講練課堂小結作業(yè)提升請閱讀以下幾句話：（1）具有中華人民共和國國籍的人，叫做中華人民共和 國公民.（2）兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離.（3）無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù).（4）今天要下雨.（5）我們要充滿夢想，執(zhí)著地飛翔.1知識點定 義1.對名稱和術語的含

10、義加以描述，作出明確的規(guī)定， 也就是給出它們的定義2.定義是證明的重要依據，它既可以作為性質應用， 又可以作為判定方法應用知1講 例1 下列語句屬于定義的是() A兩點確定一條直線 B兩直線平行，同位角相等 C等角的補角相等 D三條邊都相等的三角形叫做等邊三邊形導引：定義是對名稱和術語的含義加以描述，作出 明確的規(guī)定，只有D中語句符合要求，故選D.知1講D 知1練 1 下列語句屬于定義的有() 含有未知數(shù)的等式稱為方程； 等式(ab)2a22abb2稱為兩數(shù)和的完全平方 公式； 如果a，b為實數(shù)，那么(ab)2a22abb2； 三角形內角和等于180. A1個 B2個 C3個 D4個B2知識點

11、命 題知2導議一議 下面的語句中，哪些語句對事情作出了判斷，哪些沒有？與同伴進行交流.（1）任何一個三角形一定有一個角是直角；（2）對頂角相等；（3）無論n為怎樣的自然數(shù)，式子n2n+11的值都是質數(shù)；（4）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也 互相平行；（5）你喜歡數(shù)學嗎？（6）作線段AB=CD.知2講1.定義：判斷一件事情的句子，叫做命題2.命題的結論：命題由條件和結論兩部分組成 條件是已知事項，結論是由已知事項推斷出的事項 呈現(xiàn)方法：命題通?？梢詫懗伞叭绻敲础钡?形式；其中“如果”引出的部分是條件，“那么”引出 的部分是結論 注：有些命題的題設和結論不明顯，可將它經過適當變

12、 形，改寫成“如果那么”的形式 知2講例2 下列語句：(1)時間都去哪兒了？(2)畫一條直線的 平行線；(3)長方形的四個角都是直角；(4)4不是偶 數(shù)其中命題共有()個 A1B2C3D4導引：緊扣命題的定義進行判斷：(1)是一個疑問句，沒有 作出判斷，所以不是命題；(2)沒有包含判斷的意思， 所以不是命題；(3)對一件事情作出了肯定的判斷， 所以是命題；(4)對事情作出了否定的判斷，所以是 命題. B總 結知2講 命題是表示判斷的語句，它包含有因果關系，一 般都是以陳述句的形式展現(xiàn)；其他如疑問句、感嘆句、祈使句以及表示畫圖的語句都不是命題.知2講例3 把下列命題改寫成“如果那么”的形式： (

13、1)對頂角相等； (2)垂直于同一條直線的兩條直線平行； (3)同角或等角的余角相等導引：設法把命題的條件和結論部分省略的文字找出來，要從文字的 內在順序、內在意義進行全面考慮，分清命題的條件部分和結 論部分；再將它寫成“如果那么”的形式解：(1)如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等 (2)如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行 (3)如果兩個角是同一個角的余角或兩個相等的角的余角，那么這 兩個角相等. 總 結知2講 1命題改寫的原則：不改變命題的原意；為了改寫后 的語句通暢且保持原意，應適當?shù)卦黾踊騽h減詞語 或調換詞序；2命題改寫的方法：先搞清命題的條件部分和結論部 分；再將其改

14、寫為“如果那么”的形式： “如果”后面跟的是已知事項，“那么”后面跟的 是由已知事項推出的事項(即結論) 知2練 1 下列語句是命題的是() A過一點能作無數(shù)條直線嗎 B直角大于銳角 C作A的平分線 D在線段AB上截取ACB知2練 2 (中考佛山)下列說法正確的是() A互補的兩個角是鄰補角是定義 B同旁內角互補不是命題 C兩直線平行，內錯角相等的條件是內錯角相等 D相等的兩個角是對頂角的條件是相等的兩個角D3知識點真命題與假命題知3導做一做 指出下列各命題的條件和結論，其中哪些命題是錯誤的？你是如何判斷的？與同伴進行交流.（1）如果兩個角相等，那么它們是對頂角；（2）如果ab，bc,那么ac

15、；（3）全等三角形的面積相等；（4）如果室外氣溫低于 ,那么地面上的水一定會結 冰.知3講1.正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.2.要說明一個命題是假命題，常?？梢耘e出一個例子， 使它具備命題的條件，而不具有命題的結論，這種 例子稱為反例.知3講例4 指出下列命題的條件和結論，并判斷是真命題還是 假命題 (1)互為補角的兩個角相等； (2)若ab，則acbc； (3)如果兩個長方形的周長相等，那么這兩個長方形 的面積相等導引：(1)要指出命題的條件和結論，其實質是指出“如果 (若)”和“那么(則)”后面跟的事項；如果命題不是 “如果那么”的形式，那么需先將命題改寫 為“如果那么”的

16、形式；再指出它的條件和 結論；(2)要判斷命題的真假：真命題需說明理由， 假命題只需舉一反例即可 知3講解：(1)條件：兩個角互為補角；結論：這兩個角相等. 假命題 (2)條件：ab；結論：acbc.真命題 (3)條件：兩個長方形的周長相等；結論：這兩個 長方形的面積相等假命題 總 結知3講 判斷命題的真假時，真命題需說明理由；假命 題只需舉一反例即可；舉反例是說明一個命題是假命題的常用方法，而所列舉的反例一般應滿足命題的條件，不滿足命題的結論知3練 (中考慶陽)已知三條不同的直線a，b，c在同一平面內，下列四個命題： 如果ab，ac，那么bc； 如果ba，ca，那么bc； 如果ba，ca，那

17、么bc； 如果ba，ca，那么bc. 其中真命題是_(填寫所有真命題的序號)知3練 2 (中考漳州)下列命題中，是假命題的是() A對頂角相等 B同旁內角互補 C兩點確定一條直線 D角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等B(1) 命題必須是一個完整的句子，且具有“判斷” 作用(2) 命題只需具有“判斷”功能，而不論這個判斷 正確與否判斷命題及改寫命題的要求： 看一句話是不是命題，關鍵是看它是不是作出了明確的判斷，是不是一個完整的句子在改寫命題時，不是機械地在原命題中添上“如果”和“那么”，而要使改寫后命題的實質不變，條件和結論明朗化，主要要求：(1)改寫后的命題與改寫前的命題的內容要一致；(2

18、)改寫后的命題的句子要完整、語句要通順，必要時，要對原命題加一些修飾，并且補上原來省略的部分 第七章 平行線的證明7.2 定義與命題第2課時 定理與證明1課堂講解定理與公理 證明的意義命題的證明2課時流程逐點導講練課堂小結作業(yè)提升想一想 舉一個反例就可以說明一個命題是假命題，那么如何證實一個命題是真命題呢？ 1知識點定理與公理知1導 用我們以前學過的觀察、實驗、驗證特例等方法. 這些方法往往不可靠. 能不能根據已經知道的真命題證實呢？知1導 那已經知道的真命題又是如何證實的？哦那可怎么辦？1.其實，在數(shù)學發(fā)展史上，數(shù)學家們也遇到過類似的問題.公元 前3世紀，人們已經積累了大量的數(shù)學知識，在此基

19、礎上，古 希臘數(shù)學家歐幾里得 （Euclid，公元前300年前后）編寫了一 本書，書名叫做原本（Elements）. 為了說明每一結論的 正確性，他在編寫這本書時進行了大膽創(chuàng)造：挑選了一部分數(shù) 學名詞和一部分公認的真命題作為證實其他命題的出發(fā)點和依 據，其中的數(shù)學名詞稱為原名，公認的真命題稱為公理 (axiom).除了公理外，其他命題的真假都需要通過演繹推理 的方法進行判斷. 知1講2.本套教科書選用九條基本事實作為證明的出發(fā)點和依據，我們 已經認識了其中的八條，它們是： （1）兩點確定一條直線. （2）兩點之間線段最短. （3）同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直. （4）兩條直

20、線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩 條直線平行 (簡述為：同位角相等，兩直線平行). （5）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行. （6）兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等. 知1講（7）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.（8）三邊分別相等的兩個三角形全等. 另外一條基本事實我們將在后面的學習中認識它. 此外，數(shù)與式的運算律和運算法則、等式的有關性質， 以及反映大小關系的有關性質都可以作為證明的依據. 例如，如果a=b，b=c, 那么a=c,這一性質也可以作為 證明的依據，稱為“等量代換”.又如，如果ab，bc， 那么ac,這一性質同樣可以作為證明的依據.知1講例1 下列

21、命題不是公理的是() A兩點確定一條直線 B兩點之間線段最短 C兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等 D三邊分別相等的兩個三角形全等導引：公認的真命題稱為公理，其正確性不需要推理 證實知1講 C總 結知1講 兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等是定理，不是公理1 “兩點之間，線段最短”這一語句是() A定理 B公理 C定義 D假命題2 下列敘述錯誤的是() A所有的命題都有條件和結論 B所有的命題都是定理 C所有的定理都是命題 D所有的公理都是真命題知1練 BB2知識點證明的意義知2講 演繹推理的過程稱為證明，經過證明的真命題稱為 定理. 每個定理都只能用公理、定義和已經證明 為真的命題來

22、證明. 知2講 定義、命題、基本事實(公理)、定理之間的區(qū)別 與聯(lián)系： (1)聯(lián)系：這四者都是命題 (2)區(qū)別：定義、基本事實、定理都是真命題， 都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據， 只不過基本事實是最原始的依據；而命題不 一定是真命題，因而不 能作為進一步判斷其 他命題真假的依據. 知2講例2 已知：如圖,直線AB與直線CD相交于點O, AOC與BOD是對頂角. 求證：AOC=BOD.證明：直線AB與直線CD相交于點O, AOB和COD都是平角(平角的定義). AOC和BOD都是AOD的補角(補角的定義). AOC=BOD(同角的補角相等). 由上面的例題，我們可以得到定理： 定理 對頂

23、角相等. 知2講例3 如圖，在直線AC上取一點O，作射線 OB，OE和OF，使OE和OF分別平分 AOB和BOC，求證：OEOF.證明：因為OE和OF分別平分AOB和BOC， 所以EOB 又因為AOBBOC180， 所以EOBBOF 18090. 即EOF90，所以OEOF. 總 結知2講 要證明命題是正確的，可以從條件出發(fā)，根據定義、公理和已學過的定理，逐步進行推理 知2練 1 下列說法錯誤的是() A命題是判斷一件事情的句子 B基本事實的正確性必須得到證明 C證明假命題舉一個反例即可 D推理的過程叫做證明B知2練 2 在每一步推理后面的括號內填上理由 證明：(1)如圖，因為ABCD，EFC

24、D，所以 ABEF(_) (2)如圖，因為ABCD，過點F畫EFAB (_)， 所以 EFCD(_) 平行于同一條直線的兩直線平行平行于同一條直線的兩直線平行過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行3知識點命題的證明知3講證明的一般步驟： 審題，分清命題的條件和結論； 畫圖，結合圖形寫出已知和求證； 分析因果關系，找出證明途徑； 有條理地寫出證明過程 幾何的推理方法主要有兩種：一種是綜合法，即由“因”到“果”，由已知條件逐步推導出結論；一種是分析法，即執(zhí)“果”索“因”，根據要推出的結論，分析必須找到什么樣的條件，一步一步反推到條件 第七章 平行線的證明7.3 平行線的判定1課堂講解利用角的

25、關系判定兩直線平行的方法利用第三直線判定兩直線平行的方法2課時流程逐點導講練課堂小結作業(yè)提升1、什么是平行線？2、判定兩條直線平行的基本事實是什么？復習回顧1知識點利用角的關系判定兩直線平行的方法 1.平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位 角相等，那么這兩條直線平行 簡述：同位角相等，兩直線平行2.平行線的判定公理是證明直線平行的重要依據3.表達方式： 如圖：因為12(已知)， 所以ab(同位角相等，兩直線平行). 知1講例1 如圖，若12，能否確定l1l2？為什么？能 否確定l3l4？為什么？導引：利用平行線的判定公理來判定兩直線平行的關鍵是弄清同 位角是由哪兩條直線被第三條

26、直線所截形成的解：能確定l1l2，理由：同位角相等，兩直線平行不能確定 l3l4，因為1和2不是直線l3，l4被第三條直線所截形 成的同位角 知1講 如圖，當13時，能判定_， 理由： (_)；當45時，能判定_，理由： (_)；當24180時，能判定_，理由：(_)知1練 1l1 l2l1 l2l1 l2內錯角相等，兩直線平行同位角相等，兩直線平行同旁內角互補，兩直線平行2 如圖，下面推理過程正確的是() 因為BD，所以ABCD； 因為12，所以ADBC； 因為BADB180，所以ADBC； 因為1B，所以ADBC. A和 B和 C和 D和知1練 D3 (中考福州)下列圖形中，由12能得到

27、ABCD的是()知1練 B4 (中考金華)以下四種沿AB折疊的方法中，不一定能判定紙 帶兩條邊線a，b互相平行的是() A如圖，展開后測得12 B如圖，展開后測得12且34 C如圖，測得12 D如圖，展開后再沿CD折疊，兩條折痕的交點為O，測 得OAOB，OCOD知1練 C2知識點利用第三直線判定兩直線平行的方法知2講1. 判定定理1 （1）已知：如圖,1和2是直線a，b被直線c截出的內錯角， 且1=2. 求證：a/ b. 證明：1=2（已知）， 1=3（對頂角相等）， 3=2（等量代換）. a/b（同位角相等，兩直線平行）.歸 納知2講 定理 兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等， 那么

28、這兩條直線平行.簡述為：內錯角相等，兩直線平行.知2講2. 判定定理2 （1）已知：如圖，1和 2是直線a, b被直線c截出的同旁內角， 且1與2互補. 求證： a/b.證明：1與2互補（已知）， 1+2=180（互補的定義）. 1=180-2（等式的性質）. 3+2=180（平角的定義）， 3=180-2（等式的性質）. 1=3（等量代換）. a / b（同位角相等，兩直線平行）. 歸 納知2講 定理 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互 補，那么這兩條直線平行.簡述為：同旁內角互補，兩直線平行.知2講例2 如圖，已知ADE60，DF平分ADE，130， 試說明：DFBE.導引：要想說明

29、DFBE，可通過說明1EDF 來實現(xiàn)，由于130，所以只需求出 EDF30，而這個結論可通過DF是 ADE的平分線來得到 解：因為DF平分ADE(已知)， 所以EDF 又因為ADE60， 所以EDF30. 又因為130(已知)， 所以EDF1， 所以DFEB(內錯角相等，兩直線平行) 總 結知2講 要判定兩直線平行可以通過說明同位角相等或內錯角相等來實現(xiàn)，至于到底選用同位角還是選用內錯角，要看具體的題目，要盡可能與已知條件聯(lián)系1 如圖，給出下面的推理，其中正確的是() 因為BBEF，所以ABEF； 因為BCDE，所以ABCD； 因為BBEC180，所以ABEF； 因為ABCD，CDEF，所以A

30、BEF. A B C D知2練 B2 (中考黔南州)如圖，下列說法錯誤的是() A若ab，bc，則ac B若12，則ac C若32，則bc D若35180，則ac知2練 C3 如圖，下列條件中，不能判定ABCD的是() AABEF，CDEF B1A CABCBCD180 D32知2練 D 平行線的判定是由角之間的數(shù)量關系到直線間位置關系的判定要判定兩直線平行，可圍繞截線找同位角、內錯角或同旁內角是否相等或互補，而選用其中一個方法說明兩直線平行時，一般都要通過結合對頂角、互補角等知識來說明. 第七章 平行線的證明7.4 平行線的性質1課堂講解平行線的性質平行線的性質與判定的關系2課時流程逐點導講

31、練課堂小結作業(yè)提升1、什么叫做平行線？2、平行線的判定方法有哪些？復習回顧1知識點平行線的性質1.定理：兩直線平行，同位角相等. （1）已知：如圖1，直線AB/CD，1和2是直線AB，CD被直線 EF截出的同位角. 求證：1 = 2.知1講 如果12，AB與CD的位置關系會怎樣呢？圖1知1講 證明：假設12，那么我們可以 過點M作直線GH，使EMH= 2，如圖2所示. 根據“同位角相等，兩直線平行”， 可知GH/CD. 又因為AB/ CD，這樣經過點M 存在兩條直線AB和GH都與直線 CD平行. 這與基本事實“過直線外一點有且 只有一條直線與這條直線平行” 相矛盾. 這說明12的假設不成立，所

32、以1=2. 圖2知1講 （2）性質1：兩條平行直線被第三條直線所截，同 位角相等 簡稱：兩直線平行，同位角相等 表達方式：如圖，因為ab，(已知) 所以12.(兩直線平行，同 位角相等) 例1 如圖，若ABCD，且12，試判斷AM與CN的位置關 系，并說明理由導引：AM與CN的位置關系很顯然是平行的，要說明AMCN，可考 慮說明EAMECN.因為12，所以只需說明EAB ACD即可，由于“兩直線平行，同位角相等”，所以根 據ABCD即可得出EABACD. 解：AMCN. 理由：ABCD(已知)， EABACD(兩直線平行，同位角相等) 又12(已知)， MAENCA(等式性質) AMCN(同位

33、角相等，兩直線平行) 知1講 總 結知1講 當題目已知條件中出現(xiàn)兩直線平行時，要考慮是否出現(xiàn)了相等的角 平行線和角的大小關系是緊密聯(lián)系在一起的，由平行線可以得到相等的角，反過來又可以由相等的角得到新的一組平行線，這種由角的大小關系與直線的位置關系的相互轉化在解題中會經常涉及 1 (中考瀘州)如圖，ABCD，BC平分ABD. 若C40， 則D的度數(shù)為() A90 B100 C110 D120知1練 B(中考棗莊)如圖，把一塊含有45角的直角三角 板的兩個頂點放在直尺的對邊上如果120， 那么2的度數(shù)是() A15 B20 C25 D30知1練 C知1講 2.定理：兩直線平行，內錯角相等. （1）

34、已知：如圖，直線l1/l2，1和2是 直線l1，l2被直線l截出的內錯角. 求證：1= 2. 證明：l1/l2（已知）， 1=3（兩直線平行，同位角相等）. 又2=3 （對頂角相等）， l=2 (等量代換）.知1講 （2）性質2：兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角 相等 簡稱：兩直線平行，內錯角相等 表達方式：如圖，因為ab (已知) ， 所以12 (兩直線平行，內錯角相等) . 要點精析：兩直線平行是前提，只有在這個前提下 才有內錯角相等 例2 如圖，已知BC，AEBC， 試說明AE平分CAD.導引：要說明AE平分CAD，即說明DAE CAE.由于AEBC，根據兩直線平行， 同位角相等和內

35、錯角相等可知DAEB， EACC，這就將說明DAECAE轉化為說明B C了 解：AEBC(已知)， DAEB(兩直線平行，同位角相等)， EACC(兩直線平行，內錯角相等)， BC(已知)，DAEEAC(等量代換) AE平分CAD(角平分線的定義)知1講 總 結知1講 本題同時運用了“兩直線平行，同位角相等”和“兩直線平行，內錯角相等”，提供了一種說明兩個角相等的新思路 (中考東莞)如圖，直線ab，175，2 35，則3的度數(shù)是() A75 B55 C40 D35知1練 C(中考宜昌)如圖，ABCD，F(xiàn)EDB，垂足為 E，150，則2的度數(shù)是() A60 B50 C40 D30知1練 C知1講

36、 3.定理：兩直線平行，同旁內角互補. 性質3：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角 互補 簡稱：兩直線平行，同旁內角互補 表達方式：如圖，因為ab (已知) ， 所以1+2=180(兩直線平行，同旁內角 互補) .例3 如圖，如果ABDF，DEBC，且165，那么你能說出 2，3，4的度數(shù)嗎？為什么？導引：由DEBC，可得14，12 180；由DFAB，可得32， 從而得出2，3，4的度數(shù) 解：DEBC(已知)， 4165(兩直線平行，內錯角相等)， 21180(兩直線平行，同旁內角互補) 即2180118065115. 又DFAB(已知)， 32(兩直線平行，同位角相等) 3115(等量

37、代換) 知1講 總 結知1講 1求角的度數(shù)的基本思路：根據平行線的判定由角的 數(shù)量關系得到直線的位置關系，根據平行線的性質 由直線的位置關系得到角的數(shù)量關系，通過上述相 互轉化，從而找到所求角與已知角之間的關系2兩直線平行時，應聯(lián)想到平行線的三個性質，由兩 條直線平行的位置關系得到兩個相關角的數(shù)量關 系，由角的關系求相應角的度數(shù)知1講 4.定理：平行于同一條直線的兩條直線平行. （1）已知：如圖，b/a，c/a，1，2，3是直線a，b， c被直線d截出的同位角. 求證：b/c. 證明：b/a (已知）， 2=1(兩直線平行，同位角 相等）. c/a（已知）, 3=1（兩直線平行，同位角相等）.

38、 2 = 3（等量代換）. b/c（同位角相等，兩直線平行）. 知1講 一般地，我們有如下的定理： 定理 平行于同一條直線的兩條直線平行.歸 納1 (中考恩施州)如圖，已知ABDE，ABC70， CDE140，則BCD為() A20 B30 C40 D702 (中考河北)如圖，ABEF，CDEF，BAC50， 則ACD() A120 B130 C140 D150知1練 BC2知識點平行線的性質與判定的關系知2講平行線的判定與平行線的性質的區(qū)別：平行線的判定是根據兩角的數(shù)量關系得到兩條直線 的位置關系，而平行線的性質是根據兩條直線的位 置關系得到兩角的數(shù)量關系；平行線的判定的條件是平行線的性質的

39、結論，而平 行線的判定的結論是平行線的性質的條件知2講例4 如圖，已知ABC與ECB互補，12，則P與 Q一定相等嗎？說說你的理由導引：如果P和Q相等，那么PBCQ，所以要判斷P與 Q是否相等，只需判斷PB和CQ是否平行要說明 PBCQ，可以通過說明PBCBCQ來實現(xiàn)，由于 12，只需說明ABCBCD即可 解：PQ. 理由：ABC與ECB互補(已知)， ABED(同旁內角互補，兩直線平行) 知2講 ABCBCD(兩直線平行，內錯角相等) 12(已知)， ABC1BCD2(等式的性質)， 即PBCBCQ. PBCQ(內錯角相等，兩直線平行) PQ(兩直線平行，內錯角相等) 總 結知2講 一個數(shù)學

40、問題的構成含有四個要素：題目的條件、解題的依據、解題的方法、題目的結論，如果題目所含的四個要素解題者已經知道或者結論雖未指明，但它是完全確定的，這樣的問題就是封閉性的數(shù)學問題1 (中考河南)如圖，直線a，b被直線c，d所截，若1 2，3125，則4的度數(shù)為() A55 B60 C70 D752 如圖，已知ABCD，130，290，則3等 于() A60 B50 C45 D30知2練 AA 從圖形中得出結論是圖形的性質；而從具備什么條件推理出圖形是圖形的判定；特別說明，圖形的定義既是圖形的判定，也是圖形的性質；即：條件定義、判定定義、性質圖形結論第七章 平行線的證明7.5 三角形內角和定理第1課

41、時 三角形內角1課堂講解三角形內角和性質和應用直角三角形兩銳角的關系2課時流程逐點導講練課堂小結作業(yè)提升 我們知道，三角形內角和等于180.你還記得這個結論的探索過程嗎？（1）如圖，如果我們只把A移到1的 位置，你能說明這個結論嗎？如果 不移動A，那么你還有什么方法 可以達到同樣的效果？（2）根據前面給出的基本事實和定理， 你能用自己的語言說說這一結論的 證明思路嗎？你能用比較簡潔的語 言寫出這一證明過程嗎？與同伴進 行交流. 1知識點三角形內角和性質知1導已知：如圖，ABC.求證：A+B+C=180.圖1分析：延長BC到D，過點C作射線CE/BA(圖2)，這樣 就相當于把A移到了1的位置，把

42、B移到了 2的位置.圖2 這里的CD，CE稱為輔助線，輔助線通常畫成虛線.知1導知1導證明：延長BC到D，過點C作射線CE/BA，則 1=A（兩直線平行，內錯角相等）， 2=B（兩直線平行，同位角相等）. l+2+ACB=180（平角的定義）， A+B+ACB=180（等量代換）. 1.三角形內角和定理：三角形的內角和等于180.2.定理證明的思路：因為180的角有：(1)平角；(2)鄰補角的和；(3)平行線間一對同旁內角的和，因此證三角形的內 角和為180 就是要把三角形的三個內角轉化為上述的三種角， 而創(chuàng)造平行線是轉化的橋梁知1講 例1 （山東濱州）在ABC中，ABC 123，試判斷ABC

43、的形狀，并說明理由導引：引用輔助量x，用x表示出ABC的三個內角 的度數(shù)，然后在ABC中，運用三角形內角和定 理構造方程，解方程后，求出ABC中各內角的 度數(shù)，再看是否有一個角是直角或有兩個角互余， 從而判斷ABC的形狀 知1講 解：ABC是直角三角形 理由：ABC123， 可設A，B，C的度數(shù)分別為x，2x，3x. 在ABC中，ABC180(三角形三個內 角的和等于180)， x2x3x180，解得x30. ABx2x3x90. C1809090. ABC是直角三角形知1講 總 結知2講 判斷一個三角形的形狀的方法：(1)可以看三角形中最大的角的大?。鹤畲蠼鞘卿J角，三角形就是銳角三角形；最大

44、角是直角，三角形就是直角三角形；最大角是鈍角，三角形就是鈍角三角形(2)也可以通過角的比例關系判斷：兩較小角的比例和小于最大角的比例，則此三角形為鈍角三角形；兩較小角的比例和等于最大角的比例(兩銳角互余)，則此三角形為直角三角形；兩較小角的比例和大于最大角的比例，則此三角形為銳角三角形1 (中考濱州)在ABC中，ABC345， 則C等于() A45 B60 C75 D902 (中考棗莊)如圖，ABCD，AE交CD于點C， A 34，DEC90，則D的度數(shù)為() A17 B34 C56 D124知1練 CC一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示， 若 350，則12() A90 B100 C1

45、30 D180知1練 B2知識點直角三角形兩銳角的關系知2導已知：直角三角形ABC中， A90求證： A 與C互余.證明： ABC180（三角形內角和 定理） A90（已知） BC90.(等量減等量差相等) B與C互余.（兩角互為余角的定義） 知1講歸 納 定理：直角三角形的兩銳角互余.知2講例2 如圖，在ABC中，AD是高，AE是BAC的平 分線，B20，C60.求DAE的度數(shù)導引：DAE在AED中，而DAEBADBAE， 要求 DAE的度數(shù)，需先求出BAD和BAE的 度數(shù) 知2講解：在ABC中，B20，C60， 所以BAC180BC100. 又因為AE是BAC的平分線， 所以BAE 在AB

46、D中，BBADBDA180. 又因為AD是高， 所以BAD180209070. 所以DAEBADBAE705020. 總 結知2講 靈活運用三角形內角和定理，結合三角形的高及角平分線的定義是求有關角的度數(shù)的常用方法 知2練 如圖，將一塊含有30角的直角三角板的兩個頂點 放在長方形直尺的一組對邊上如果260， 那么1的度數(shù)為() A60 B50 C40 D30D知2練 2 (中考菏澤)將一副直角三角尺如圖放置，若AOD 20，則BOC的大小為() A140 B160 C170 D150B 利用三角形內角和定理求角的度數(shù)時，常結合三角形的角平分線，三角形的高，補角、余角、對頂角等角的關系，以及角的

47、和、差關系進行計算還可以利用題目中的等量關系列方程求解 第七章 平行線的證明7.5 三角形內角和定理第3課時 三角形的外角1課堂講解三角形外角的定義三角形外角的關系三角形的外角和2課時流程逐點導講練課堂小結作業(yè)提升三角形的內角和定理是什么？復習回顧1知識點三角形外角的定義知1導三角形外角的定義：如圖，ACD是由ABC的一條邊BC的延長線和另一條相鄰的邊CA組成的角，這樣的角叫做該三角形的外角知1講在ABC中，A等于和它相鄰的外角的四分之一，這個外角等于B的兩倍，那么A_，B_，C_.例1導引：A和與它相鄰的外角互為鄰補角，A又等于和它相鄰的外角的四分之一，所以A36，A的外角為144 ，所以B

48、72，根據三角形內角和為180，可以求得C72. 367272總 結知1講三角形的外角與他相鄰的內角互補.1知1練下邊的角是ABC的外角的是( )ACE B.ACF C. BCD D.ACBB2知識點三角形外角的關系知2導議一議 在圖中，1與其他角有什么關系？能證明你的結論嗎?知2講1.三角形內角和定理的推論(三角形外角定理)： 三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和2.三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的 內角： 作用：用來證明角的不等關系 知2講例2 已知：如圖，在ABC中，B=C，AD平 分外角EAC.求證：AD/BC.分析：要證明AD/BC，只需證明“同位角相等” 或 “內錯角相

49、等”或“同旁內角互補”. 知2講證明：EAC=B+C （三角形的一個外角等于和它 不相鄰的兩個內角的和）， B=C（已知）， C= AD平分EAC（已知）， DAC= DAC=C （等量代換）. AD/ BC （內錯角相等，兩直線平行）. 知2練 1 (中考甘孜州)如圖，在ABC中，B40，C 30，延長BA至點D，則CAD的大小為() A110 B80 C70 D602 (中考來賓)如圖，ABC中，A40，點D為AB延長線 上一點，且CBD120，則C等于() A40 B60 C80 D100CC知2練 如圖，P為ABC內任一點，延長CP交AB于D，則 下列結論錯誤的是() A13 B1A

50、C2A D3AC3知識點三角形的外角和 ABC內角的一條邊與另一條邊的反向延長線組成的角，稱為ABC的外角.如圖， 1是ABC的ABC的外角.你能在圖中畫出ABC的其他外角嗎？知3導 1.三角形外角的定義： 三角形內角的一條邊與另一條邊的反向延長線 組成的角如圖中的ACD的一條邊是ABC的邊 AC，另一條邊是ABC的邊BC的延長線知3講 2.三角形的外角和等于360. 已知：1、2、3為ABC的三個外角，如圖 求證：1+2+3=360 證明：1+BAC=180， 2+BCA=180， 3+ABC=180， 1+2+3+（BAC+BCA+ABC）=540（等 式性質）. BAC+BCA+ABC=

51、180（三角形內角和定理）， 1+2+3=360.知3講例3 如圖，CEF的外角為_導引：圖中CEF的三邊的延長線只有EF的延長線FA，CE 的延長線EB，延長線FA與邊CF構成的角為AFC； 延長線EB與邊EF構成的角為BEF.由三角形外角的 概念可以判斷AFC，BEF是CEF的外角知3講 AFC，BEF總 結知3講 判定一個角是三角形的外角的三個條件：一是頂點在三角形的一個頂點上；二是一邊是三角形的一條邊；三是一邊是三角形的另一條邊的延長線 知3練 1 如圖，射線AD，BE，CF構成1，2，3，則 123等于() A180 B360 C540 D無法確定2 若一個三角形的三個外角的度數(shù)之比為234，則 與之對應的三個內角的度數(shù)之比為() A432 B531 C324 D315BB1.三角形的外角實質上就是三角形一個內角的鄰補角 三角形外角的頂點是三角形的頂點，一條邊是三角形 內角的一邊，另一條邊是該內角另一條邊的反向延長 線2.三角形內角和定理的推論：兩個定理說明了三角形 的外角與內角之間的關系，其中一個是外角與內角之 間的相等關系，另一個是外角與內角之間的不等關 系在應用上述兩個定理時，一定要注意“不相鄰” 這個關鍵詞語 全章熱門考點整合應用第七章 平行線的證明1.已知命題“如果兩條射線是兩條平行線