借助數(shù)學實驗 促進思維發(fā)展

1、PAGE PAGE - 8 -借助數(shù)學實驗促進思維發(fā)展摘要文章以波利亞“實驗教學”理論為背景，以幾何繪圖軟件GeoGebra為教學工具，以繪制圓錐曲線為載體，開展實驗教學，實現(xiàn)“玩中思”“思中做”“做中學”，培養(yǎng)“四能”能力，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)，促進可持續(xù)發(fā)展.關鍵詞實驗教學;GeoGebra;圓錐曲線普通高中數(shù)學課程標準（2022年版2022年修訂）（以下簡稱數(shù)學課程標準）提出要將數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿教學活動的全過程.在教學實踐中，要不斷探索和創(chuàng)新教學方式，鼓勵并引導學生體驗學習、合作學習，不僅重視如何教，更要重視如何學，引導學生學會數(shù)學學習，養(yǎng)成良好的學習習慣;要努力激發(fā)學生學習數(shù)學的

2、興趣，促使更多的學生熱愛數(shù)學.在“互聯(lián)網+”時代，信息技術的廣泛應用正在對數(shù)學教學產生深刻影響.因此，在教學中，應重視信息技術與數(shù)學教學的深度融合，改進課堂教學，轉變教學與學習方式，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學方式難以達到的效果.問題提出實驗作為一門基礎學科科學研究的基本方法之一，數(shù)學也需要實驗.著名數(shù)學家和數(shù)學教育家波利亞曾指出：數(shù)學有兩個側面，一方面，它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面來看，數(shù)學像是一門系統(tǒng)的演繹科學;另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學，看起來卻像一門實驗性的歸納科學.數(shù)學實驗教學能夠激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高學生的思考能力，并在實驗的過程中促進學生“自主探索和合作交流”的能力，提升學生的數(shù)學

3、素質.從教學過程的角度來看，數(shù)學實驗不只為了讓學生去“做”，還為了讓學生去“思考”.學生處在一種“數(shù)學研究”的位置上，通過觀察、探究、操作，把感知、理解、體驗融合為一體.在已有經驗的基礎上，完成更復雜的思維加工過程，從而對數(shù)學學習內容進行深度加工，促進學生對數(shù)學概念、數(shù)學規(guī)律的深度理解.在數(shù)學教學中開展數(shù)學實驗活動，信息技術是學生學習和教師教學的重要輔助手段，幾何繪圖軟件GeoGebra可以完成大量的初高中數(shù)學的繪圖工作.因此，在教學中，可以將軟件GeoGebra與數(shù)學課程深度融合，開展數(shù)學實驗活動，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學手段難以達到的效果.圓錐曲線是高中解析幾何課程的重要內容，也是高考考查的重點內容.

4、但是學生在這部分內容的得分并不高，很多學生見到這類問題就硬套韋達定理，重復大量的計算，不能將圖形中的幾何特征用代數(shù)方程表達出來.而我們在講授圓錐曲線時，都投入了大量的時間和精力，結果卻是學生聽得懂想不到、看著會做不對.究其原因，主要是學生學習圓錐曲線時更多的是被動觀察和機械操作，缺少思維的參與過程.2022年11月，筆者參加了北京市第六屆示范性高中同課異構活動，利用軟件GeoGebra進行了實驗教學，講授的是“用交軌法繪制橢圓、雙曲線、拋物線”一節(jié)課.通過備課、上課、評課及研討，基于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，對本節(jié)教學內容進行了一些修改，較好地實現(xiàn)了學生經歷知識的形成和發(fā)展過程.前測試題授課對象是北京市

5、通州區(qū)一所普通中學的學生，這些學生的數(shù)學基礎一般，數(shù)學運算能力比較薄弱，對圓錐曲線的定義以及圓錐曲線中代數(shù)與圖形關系的轉化的理解不到位.學生初中時學習過一些簡單的軌跡問題，具備一定的作圖能力，高中在講授橢圓、雙曲線、拋物線時利用繩、拉鏈、三角板等工具通過機械作圖方式繪制過它們的圖形;另外，教材中有關于橢圓和雙曲線作圖的探究活動，已經提前布置給學生進行探究.學生對使用軟件GeoGebra進行學習有很高的興趣和積極性，而且已經初步了解了軟件GeoGebra，能根據(jù)需要進行簡單操作.為了進一步了解學生對基本尺規(guī)作圖和橢圓、雙曲線、拋物線定義的掌握情況，筆者設計了以下兩個問題：（1）圓錐曲線的定義：橢

6、圓的定義;雙曲線的定義;拋物線的定義.（2）基本尺規(guī)作圖：平面內，到一個定點的距離等于定長的點的軌跡是什么？并作出圖形.平面內，到一條定直線的距離等于定長的點的軌跡是什么？并作出圖形.平面內，到兩個定點的距離相等的點的軌跡是什么？如何作出線段AB的垂直平分線？并作出圖形.平面內，到一個角的兩邊的距離相等的點的軌跡是什么？如何作出AOB的平分線？并作出圖形.尺規(guī)作圖是手與腦的融合，是深層次的“做中學”，是學習幾何的有效途徑.通過作圖，學生實現(xiàn)把零散的概念和幾何事實融會貫通，從而更加深刻地領會幾何圖形的特征及性質.教學片段1.繪制拋物線活動1：利用軟件Geogebra通過尺規(guī)作圖方法繪制拋物線，并

7、說明作圖的理由.講授新課時，利用直尺、細繩等工具通過機械作圖繪制拋物線，學生很容易想到機械作圖時利用線段的中垂線繪制拋物線的方法.師：（如圖1所示）你能說出這樣作圖的理由嗎？生：作到定直線l的距離與到定點F的距離相等的點P，首先作出直線l的垂線，垂足為A，連接AF;要滿足PA=PF，即點P到兩定點A，F(xiàn)的距離相等，則點P在線段AF的垂直平分線上.師：點P的軌跡為什么是拋物線？生：因為不論點A在定直線l上的任何位置，線段AF的垂直平分線上的點P到線段AF兩端點的距離都相等，即始終滿足PA=PF.師：非常好，也就是把“到定點與到定直線的距離相等”轉化成了“到定直線的距離”和“到定點的距離”兩個步驟

8、來完成.師：到定點的距離還會讓你想到什么圖形？生：圓.師：很好，那么能否利用圓的性質作出拋物線呢？生：（如圖2所示）作出到定直線l的距離為定長AB的直線m，再以定點F為圓心，作出半徑為AB的圓，圓與直線m的交點P的軌跡即為拋物線.師：太好了！同學們，我們還知道角平分線上的點到角兩邊的距離相等，能否利用角平分線的性質作出拋物線呢？要先作出什么圖形呢？（如圖3所示）生：需要一個角.師：角的兩邊分別在哪兒？生：定直線l就是一條邊.師：那另一條邊沒有怎么辦？生：過定點F作一條直線m和直線l相交就得到了一個角.師：非常好，那么這個角的角平分線n就可以作出來了，如何再繼續(xù)作出到定直線l的距離與到定點F的距

9、離相等的點呢？學生經過嘗試得知：過定點F作直線m的垂線，與角平分線n的交點P即滿足PF=d（d為點P到定直線l的距離），從而得到拋物線.師：同學們太棒了！我們作出了到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡，你還有什么大膽的猜想和嘗試嗎？生：到定點的距離與到定直線的距離不相等的點的軌跡又是什么圖形呢？2.圓錐曲線定義的統(tǒng)一性活動2：利用軟件GeoGebra通過尺規(guī)作圖繪制“到定點F的距離和到定直線l的距離之比不等于1”的圖形，并說明作圖理由.師：由同學們作出的“到定點F的距離與到定直線l的距離之比為不同的值k”的圖形，你可以發(fā)現(xiàn)什么結論？生：當k1時，軌跡為雙曲線;當k=1時，軌跡為拋物線;0

10、k1時，軌跡為橢圓.師：這個結論是否正確呢？我們具體來操作一下.利用軟件GeoGebra動態(tài)演示“到定點F的距離與到定直線l的距離之比為k（k0）的點的軌跡”.（如圖6所示）學生經歷了從特殊到一般，再從一般到特殊的研究過程，使得圓錐曲線定義的統(tǒng)一性水到渠成.學生經歷了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，在這個過程中，思維得到了很好的鍛煉與發(fā)展.師：回憶剛才我們作圖的過程，你能總結一下作圖的方法嗎？生：在作圖過程中，先作出到定直線的距離等于定長的點的軌跡，再作出到定點的距離等于定長的點的軌跡，這兩個軌跡的交點的軌跡即為所要的圖形.實驗效應1.數(shù)學實驗使學生主動學習數(shù)學課程標準提出“要轉

11、變教與學的方式”.在數(shù)學實驗活動中，教師的角色得到了改變，教師為學生設置實驗題目，引導學生開展實驗.學生通過實驗操作，親自體驗數(shù)學、理解數(shù)學，使學生由接受性學習轉變?yōu)樘剿餍詫W習.實踐表明，實驗教學能夠創(chuàng)設良好的教學情境，使學生親自體會到知識的形成過程，大大提高了學生學習的積極性.2.數(shù)學實驗使學習更加直觀互聯(lián)網、多媒體技術具有“思維可視化”的特點，能夠給學生提供動態(tài)的演示，使得抽象的數(shù)學直觀化，讓學生將“看”和“學”更好地結合起來.本節(jié)課打破了傳統(tǒng)教學中由教師演示的模式，通過實驗教學，讓學生親自利用GeoGebra軟件繪制圖形，親自感受橢圓、雙曲線、拋物線的形成過程，很好地突破了圓錐曲線定義這一難點，也實現(xiàn)了數(shù)和形的完美結合.3.數(shù)學實驗使思維能力提高在高中數(shù)學教學中，數(shù)學實驗有利于學生從“被動”走向“主動”，從“結果”走向“過程”.本節(jié)課在作圖過程中對數(shù)學知識進行了深度加工，促進學生深度理解數(shù)學概念、數(shù)學規(guī)律，通過實驗將“做”與“思”聯(lián)系起來，讓學生“玩中思”“思