高數(shù) 三重積分的計算

1、高數(shù) 三重積分的計算第1頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四化三重積分為單積分與二重積分的累次積分柱面坐標(biāo)與球面坐標(biāo)系下三重積分的計算法小結(jié)第六章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第三節(jié) 三重積分的計算 (4學(xué)時)1作業(yè): 1382,4(1)(4)(7)(10)(13),5,6(2)(3),7第2頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四在此首先復(fù)習(xí)：定積分是如何尋求計算方法的? 二重積分是如何解決計算問題的？ 三重積分又將通過什么思想尋求計算途徑？2第3頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四第一部分 化三重積分為單積分與 二重積分的累次積分3體

2、積微元三重積分:在直角坐標(biāo)系中，若用平行于坐標(biāo)平面的平面族劃分積分域則體積微元從而第4頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四4如圖，直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分令則即將三重積分化為先單積分后二重積分的累次積分第5頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四例1 解閉區(qū)域在xoy平面上的投影為從而5第6頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四6解例2 則得交線投影區(qū)域 第7頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四解如圖：例3 7（總結(jié)：在什么條件下將三重積分化成 “先單后重”也稱投影法）第8頁，共26頁，2022年，5月

3、20日，20點45分，星期四即將三重積分化為先二重積分后單積分的累次積分直角坐標(biāo)系中也可將三重積分化為“先二重后單”積分8（通過下面兩道例題體會在什么情況下將三重積分 化成“先重后單”的累次積分；也稱截面法）第9頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四例4 解因此9第10頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四解：課堂講例5 10（P126頁例）第11頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四第二部分 柱面坐標(biāo)與球面坐標(biāo)系下 三重積分的計算法11一、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分規(guī)定：柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為三組坐標(biāo)面為：第12頁，共26頁，20

4、22年，5月20日，20點45分，星期四柱面坐標(biāo)系下的體積微元12如圖，因此體積微元為用三組坐標(biāo)面把區(qū)域分成許多小閉區(qū)域，除了含邊界點的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，這些小閉區(qū)域都是柱體，現(xiàn)考慮由各取得微小增量所成的柱體的體積，這個體積等于高與底面積的乘積。現(xiàn)在高為，底面積在不計高階無窮小時為故第13頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四解13例6 得交線為由柱面坐標(biāo)變換即從而第14頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四解1所圍成的立體如圖所示 .14例7 旋轉(zhuǎn)面方程為所圍成立體的投影區(qū)域如圖. 第15頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四1

5、5考慮如下區(qū)域:則因此（教材P131頁例）解2第16頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四二、利用球面坐標(biāo)計算三重積分16則數(shù)組 稱為點P的球面坐標(biāo).設(shè)點如圖,球面坐標(biāo)的三組坐標(biāo)面為：第17頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四球面坐標(biāo)系下的體積微元如圖，17因此其體積微元為用三組坐標(biāo)面將積分區(qū)域分成許多小閉區(qū)域.所成的六面體的體積.不計高階無窮小，可把這個六面體看作長方體.第18頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四18例8 解1采取球面坐標(biāo)變換:則從而第19頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四19解2采取柱面

6、坐標(biāo)變換:幾何體在xoy平面上的投影區(qū)域為:第20頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四解一：20例9 采用球面坐標(biāo)變換:（教材P134例）解二：第21頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)面的奇偶性21第22頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是 的奇函數(shù),22解例10 所以第23頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四解23例11 第24頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四24由對稱性知 則采用柱面坐標(biāo)變換,則有區(qū)域在xoy平面上的投影區(qū)域為所以（用球面坐標(biāo)如何？）第25頁，共26頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四25第三部分 小結(jié)三重積分的定義和計算在直角坐標(biāo)系下的體積微