2021-2022學(xué)年廣東省汕頭市金中南區(qū)學(xué)校高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）A向右平移個單位B向右平移個單位C向左平移個單位D向左平移個單位2已知函數(shù)，不等式對恒成立，則的取值范圍為（ ）ABCD3已知數(shù)列對

2、任意的有成立，若，則等于（ ）ABCD4設(shè)函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則（ ）ABCD5下列命題為真命題的個數(shù)是（ ）（其中，為無理數(shù)）；.A0B1C2D36已知等差數(shù)列的公差不為零，且，構(gòu)成新的等差數(shù)列，為的前項和，若存在使得，則（ ）A10B11C12D137已知實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）ABCD8直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2b2=1ab0的左焦點F，交橢圓于A,B兩點，交y軸于C點，若FC=2CA，則該橢圓的離心率是（）A3-1B3-12C22-2D2-19橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則的大小為（ ）ABCD10一個由

3、兩個圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體，小圓柱底面半徑為，大圓柱底面半徑為，如圖1放置容器時，液面以上空余部分的高為，如圖2放置容器時，液面以上空余部分的高為，則（ ）ABCD11設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則a的值為（ ）AB3C1D12如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）AACBEBEF平面ABCDC三棱錐A-BEF的體積為定值D異面直線AE,BF所成的角為定值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)，則除以的余數(shù)是_.14已知復(fù)數(shù),其中是虛數(shù)單位若的實部與虛部相等,則實數(shù)的值為_15在

4、直角三角形中，為直角，點在線段上，且，若，則的正切值為_.16設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則的取值范圍是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且，是棱的中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.18（12分）電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，其中女性有55名，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合

5、計男女1055合計 (2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)附：.P(K2k)0.050.01k3.8416.63519（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若對任意成立，求實數(shù)的取值范圍.20（12分）ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知ABC的面積為(1)求;(2)若求ABC的周長.21（12分）已知矩陣，.求矩陣；求矩陣的特征值.22（10分）在三棱柱中，四邊形是菱形，點M、N分別是、的中點，且.（1

6、）求證：平面平面；（2）求四棱錐的體積.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可；【詳解】解：函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位故選：D【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題2C【解析】確定函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，不等式轉(zhuǎn)化為，利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù)，易知均為減函數(shù)，故且在上單調(diào)遞減，不等式，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，即，設(shè)，故單調(diào)遞減，故，當(dāng)，即時取最大值，所以.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單

7、調(diào)性和奇偶性解不等式，參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.3B【解析】觀察已知條件，對進行化簡，運用累加法和裂項法求出結(jié)果.【詳解】已知，則，所以有， ，兩邊同時相加得，又因為，所以.故選：【點睛】本題考查了求數(shù)列某一項的值，運用了累加法和裂項法，遇到形如時就可以采用裂項法進行求和，需要掌握數(shù)列中的方法，并能熟練運用對應(yīng)方法求解.4D【解析】根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得，由函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性即可確定的值，進而確定函數(shù)的解析式，即可求得的值.【詳解】函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，則，所以.又的圖象關(guān)于直線對稱可得，即，由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知，即，綜上，則，.故選：D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，

8、由對稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù)，屬于中檔題.5C【解析】對于中，根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可判定值正確的；對于中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，進而得到，即可判定是錯誤的；對于中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值為，進而得到，即可判定是正確的.【詳解】由題意，對于中，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得成立，所以是正確的；對于中，設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，則又由，所以，即，所以不正確；對于中，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，

9、以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，合理構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.6D【解析】利用等差數(shù)列的通項公式可得，再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由，構(gòu)成等差數(shù)列可得即又解得：又所以時，.故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.7B【解析】畫出可行域，根據(jù)可行域上的點到原點距離，求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由，三點所圍成的三角形及其內(nèi)部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內(nèi)的點到原點距離的平方，顯然原點到所在的直線的距離是可行域

10、內(nèi)的點到原點距離的最小值，此時，點到原點的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最大值，此時.所以的取值范圍是.故選：B【點睛】本小題考查線性規(guī)劃，兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識.8A【解析】由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點F，得到左焦點為F(-3,0)，且a2-b2=3，再由FC=2CA，求得A32,32，代入橢圓的方程，求得a2=33+62，進而利用橢圓的離心率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓的左焦點F，令y=0，解得x=3，所以c=3，即橢圓的左焦點為F(-3,0)，且a2-b2=3 直線交y軸于C(0,1)，所以，OF=

11、3,OC=1,FC=2，因為FC=2CA，所以FA=3，所以A32,32，又由點A在橢圓上，得3a2+9b2=4 由，可得4a2-24a2+9=0，解得a2=33+62，所以e2=c2a2=633+6=4-23=3-12，所以橢圓的離心率為e=3-1.故選A.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：求出a,c ，代入公式e=ca；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，即可得e的值(范圍)9C【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，又，則，由余弦定理可得.故.

12、故選：C.【點睛】本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10B【解析】根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中，液面以上空余部分的體積為；在圖2中，液面以上空余部分的體積為.因為，所以.故選：B【點睛】本題考查圓柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.11D【解析】整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,因為純虛數(shù),所以,則,故選:D【點睛】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運算.12D【解析】A通過線面的垂直關(guān)系可證真假；B根據(jù)線面平行可證真假；C根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】

13、A因為，所以平面，又因為平面，所以，故正確；B因為，所以，且平面，平面，所以平面，故正確；C因為為定值，到平面的距離為，所以為定值，故正確；D當(dāng)，取為，如下圖所示：因為，所以異面直線所成角為，且，當(dāng)，取為，如下圖所示：因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：D.【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131【解析】利用二項式定理得到，將89寫成1+88，

14、然后再利用二項式定理展開即可.【詳解】，因展開式中后面10項均有88這個因式，所以除以的余數(shù)為1.故答案為：1【點睛】本題考查二項式定理的綜合應(yīng)用，涉及余數(shù)的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項式，并將它展開分析，本題是一道基礎(chǔ)題.14【解析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡,結(jié)合已知條件即可求出實數(shù)的值.【詳解】解：的實部與虛部相等,所以,計算得出.故答案為:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.153【解析】在直角三角形中設(shè)，利用兩角差的正切公式求解.【詳解】設(shè)，則，故.故答案為：3【點睛】此題考查在直角三角形中求角的正切值，關(guān)鍵在于合理構(gòu)造角的和差關(guān)系，其本質(zhì)是利用兩

15、角差的正切公式求解.16.【解析】配方求出頂點，作出圖像，求出對應(yīng)的自變量，結(jié)合函數(shù)圖像，即可求解.【詳解】，頂點為因為函數(shù)的值域是，令，可得或.又因為函數(shù)圖象的對稱軸為，且，所以的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)值域，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)平面，四邊形是矩形，由為中點，且，利用平面幾何知識，可得，又平面，所以，根據(jù)線面垂直的判定定理可有平面，從而得證.（2）分別以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，得到，分別求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.【詳解】（1）證明：

16、平面，四邊形是矩形，為中點，且，.，與相似，平面，平面，平面，平面，.（2）如圖，分別以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，解得：，同理，平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，則.即二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化以及二面角的求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和推理論證、運算求解的能力，屬于中檔題.18 (1)無關(guān)；(2) ，.【解析】(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而可得列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得.因為3.0303.841，所以我們沒

17、有充分理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率.由題意知XB(3，)，從而X的分布列為X0123PE(X)np.D(X)np(1p)19（1）（2）【解析】（1）把代入，利用零點分段討論法求解；（2）對任意成立轉(zhuǎn)化為求的最小值可得.【詳解】解：（1）當(dāng)時，不等式可化為.討論：當(dāng)時，所以，所以；當(dāng)時，所以，所以；當(dāng)時，所以，所以.綜上，當(dāng)時，不等式的解集為.（2）因為，所以.又因為，對任意成立，所以，所以或.故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題主要考查含有絕對值不等式的解法及恒成立問題，恒成立問題一般是轉(zhuǎn)化

18、為最值問題求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).20 (1)(2) .【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.點睛:在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.21；，.【解析】由題意，可得，利用矩陣的知識求解即可.矩陣的特征多項式為，令，求出矩陣的特征值.【詳解】設(shè)矩陣，則，所以，解得，所以