2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章平面向量4.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案理

1、2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章平面向量4.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案理PAGE PAGE 324.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 知識(shí)梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|eq r(xoal(2,1)yoal(2,1)，|ab|eq

2、r(x2x12y2y12).3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10.診斷自測(cè)1概念思辨(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示()(3)設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)1，1，2，2滿足1a1b2a2b，則12，1(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成eq f(x1,x2)eq f(y1,y2).()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A4P119T11)已知|eq o(OA,sup16()|1，|eq o(

3、OB,sup16()|eq r(3)，eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()，點(diǎn)C在線段AB上，AOC30.設(shè)eq o(OC,sup16()meq o(OA,sup16()neq o(OB,sup16()(m，nR)，則eq f(m,n)等于()A.eq f(1,3) B3 C.eq f(r(3),3) D.eq r(3)答案B解析依題意，以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B(0，eq r(3)，設(shè)C(x，y)，由eq o(OC,sup16()meq o(OA,sup16()neq o(OB,sup16()得xm，yeq r(3)n，

4、又AOC30，知eq f(y,x)eq f(r(3),3)，故eq f(m,n)3，選B.(2)(必修A4P101A組T5)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則eq f(m,n)_.答案eq f(1,2)解析解法一：由已知條件可得manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)manb與a2b共線，eq f(2mn,4)eq f(3m2n,1)，即n2m12m8n，eq f(m,n)eq f(1,2).解法二：注意到向量a(2,3)，b(1,2)不共線，因此可以將其視為基底，因而manb與a2b共線的本質(zhì)是對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)(系數(shù))

5、成比例，于是有eq f(m,1)eq f(n,2)eq f(m,n)eq f(1,2).3小題熱身(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實(shí)數(shù)，(ab)c，則()A.eq f(1,4) B.eq f(1,2) C1 D2答案B解析ab(1，2)，由(ab)c，得(1)4320，eq f(1,2).故選B.(2)(2014福建高考)在下列向量組中，可以把向量a(3,2)表示出來(lái)的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)答案B解析設(shè)ak1e1k2e2，A選項(xiàng)，(3,2)(k2,2k2)

6、，eq blcrc (avs4alco1(k23，,2k22，)無(wú)解B選項(xiàng)，(3,2)(k15k2,2k12k2)，eq blcrc (avs4alco1(k15k23，,2k12k22，)解之得eq blcrc (avs4alco1(k12，,k21.)故B中的e1，e2可把a(bǔ)表示出來(lái)同理，C，D選項(xiàng)同A選項(xiàng)，無(wú)解故選B.題型1平面向量基本定理及應(yīng)用eq o(sup7(),sdo5(典例)(2015北京高考)在ABC中，點(diǎn)M，N滿足eq o(AM,sup16()2eq o(MC,sup16()，eq o(BN,sup16()eq o(NC,sup16().若eq o(MN,sup16()xe

7、q o(AB,sup16()yeq o(AC,sup16()，則x_，y_.用向量三角形法則表示出eq o(MN,sup16().答案eq f(1,2)eq f(1,6)解析由eq o(AM,sup16()2eq o(MC,sup16()知M為AC上靠近C的三等分點(diǎn)，由eq o(BN,sup16()eq o(NC,sup16()，知N為BC的中點(diǎn)，作出草圖如下：則有eq o(AN,sup16()eq f(1,2)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，所以eq o(MN,sup16()eq f(1,2)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()eq

8、f(2,3)eq o(AC,sup16()eq f(1,2)eq o(AB,sup16()eq f(1,6)eq o(AC,sup16()，又因?yàn)閑q o(MN,sup16()xeq o(AB,sup16()yeq o(AC,sup16()，所以xeq f(1,2)，yeq f(1,6).方法技巧應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點(diǎn)1平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量2選定基底后，通過(guò)向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來(lái)3強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC

9、上的點(diǎn)，ADeq f(1,2)AB，BEeq f(2,3)BC.若eq o(DE,sup16()1eq o(AB,sup16()2eq o(AC,sup16()(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_(kāi)答案eq f(1,2)解析eq o(DE,sup16()eq o(DB,sup16()eq o(BE,sup16()eq f(1,2)eq o(AB,sup16()eq f(2,3)eq o(BC,sup16()eq f(1,2)eq o(AB,sup16()eq f(2,3)(eq o(AC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(1,6)eq o(AB,sup16()eq f(2,3)e

10、q o(AC,sup16()，eq o(DE,sup16()1eq o(AB,sup16()2eq o(AC,sup16()，1eq f(1,6)，2eq f(2,3)，故12eq f(1,2).題型2平面向量共線的坐標(biāo)表示及應(yīng)用角度1求點(diǎn)的坐標(biāo)eq o(sup7(),sdo5(典例)已知A(2,3)，B(4，3)，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，且|AP|eq f(3,2)|BP|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)方程組法答案(8，15)解析設(shè)P(x，y)，由點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，且eq o(AP,sup16()eq f(3,2)eq o(BP,sup16()，得(x2，y3)eq f(3,2)(x4，y3)

11、，即eq blcrc (avs4alco1(x2f(3,2)x4，,y3f(3,2)y3.)解得eq blcrc (avs4alco1(x8，,y15.)所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8，15)角度2研究點(diǎn)共線問(wèn)題eq o(sup7(),sdo5(典例)(2018佛山調(diào)研)設(shè)eq o(OA,sup16()(1，2)，eq o(OB,sup16()(a，1)，eq o(OC,sup16()(b,0)，a0，b0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則eq f(1,a)eq f(2,b)的最小值是()A2 B4 C6 D8用到均值不等式、向量問(wèn)題實(shí)數(shù)化答案D解析由題意可得，eq o(OA,sup16()(1，

12、2)，eq o(OB,sup16()(a，1)，eq o(OC,sup16()(b,0)，所以eq o(AB,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OA,sup16()(a1,1)，eq o(AC,sup16()eq o(OC,sup16()eq o(OA,sup16()(b1，2)又A，B，C三點(diǎn)共線，eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，即(a1)21(b1)0，2ab又a0，b0，eq f(1,a)eq f(2,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(2,b)(2ab)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)f

13、(4a,b)448，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(b,a)eq f(4a,b)時(shí)，取“”故選D.方法技巧1利用兩向量共線求點(diǎn)的坐標(biāo)利用向量共線的坐標(biāo)表示構(gòu)造所求點(diǎn)的坐標(biāo)的方程組，解方程組即可注意方程思想的應(yīng)用如角度1典例2研究點(diǎn)(向量)共線問(wèn)題兩平面向量共線的充要條件有兩種形式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10.如角度2典例(2)若ab(b0)，則ab.沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1(2017許昌二模)已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0，1)，B(1,0)，C(0，2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|eq o(CM,sup16()|1，則|eq o(OA,sup16()eq o(

14、OB,sup16()eq o(OM,sup16()|的最大值是()A.eq r(2)1 B.eq r(7)1 C.eq r(2)1 D.eq r(7)1答案A解析設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，C(0，2)，且|eq o(CM,sup16()|1，eq r(x2y22)1，則x2(y2)21，即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以C為圓心、1為半徑的圓A(0,1)，B(1,0)，eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OM,sup16()(x1，y1)，則|eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OM,sup16()|eq r(x12y12)，幾何意義表示：點(diǎn)

15、M(x，y)與點(diǎn)N(1，1)之間的距離，即圓C上的點(diǎn)與點(diǎn)N(1，1)的距離點(diǎn)N(1，1)在圓C外部，|eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OM,sup16()|的最大值是|NC|1eq r(012212)1eq r(2)1，故選A.2(2018湖北武昌調(diào)考)已知點(diǎn)P(1,2)，線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，1)若向量eq o(PQ,sup16()與向量a(，1)共線，則_.答案eq f(2,3)解析點(diǎn)P(1,2)，線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，1)，向量eq o(PQ,sup16()2eq o(PM,sup16()2(11，12)(4，6)又eq o(PQ,s

16、up16()與向量a(，1)共線，4160，即eq f(2,3).1(2016全國(guó)卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，則m()A8 B6 C6 D8答案D解析由題可得ab(4，m2)，又(ab)b，432(m2)0，m8.故選D.2(2018福州一中模擬)已知ABC和點(diǎn)M滿足eq o(MA,sup16()eq o(MB,sup16()eq o(MC,sup16()0.若存在實(shí)數(shù)m使得eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()meq o(AM,sup16()成立，則m()A2 B3 C4 D5答案B解析由eq o(MA,sup16()eq o(MB,sup16

17、()eq o(MC,sup16()0，知點(diǎn)M為ABC的重心，設(shè)點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，則eq o(AM,sup16()eq f(2,3)eq o(AD,sup16()eq f(2,3)eq f(1,2)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()eq f(1,3)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，所以eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()3eq o(AM,sup16()，故m3，故選B.3(2017福建四地六校聯(lián)考)已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且eq o(OD,sup16()eq f(1,2)(e

18、q o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(CB,sup16()，則|eq o(BD,sup16()|等于_答案2eq r(2)解析由eq o(OD,sup16()eq f(1,2)(eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(CB,sup16()eq f(1,2)(eq o(OA,sup16()eq o(OC,sup16()，知點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，故D(2,2)，所以eq o(BD,sup16()(2,2)，故|eq o(BD,sup16()|eq r(2222)2eq r(2).4(2017湘中名校聯(lián)考)已知在ABC中，ABAC6，BAC

19、120，D是BC邊上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，F(xiàn)是AC邊的中點(diǎn)，若點(diǎn)G是ABC的重心，則eq o(GD,sup16()eq o(AF,sup16()_.答案eq f(21,4)解析連接AD，AG，如圖依題意，有eq o(AD,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BD,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(1,4)eq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(1,4)(eq o(AC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(3,4)eq o(AB,sup16()eq f(1,4)eq o(AC,sup16()，eq o(AF,su

20、p16()eq f(1,2)eq o(AC,sup16()，eq o(GD,sup16()eq o(AD,sup16()eq o(AG,sup16()eq o(AD,sup16()eq f(2,3)eq f(1,2)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()eq f(3,4)eq o(AB,sup16()eq f(1,4)eq o(AC,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()eq f(1,3)eq o(AC,sup16()eq f(5,12)eq o(AB,sup16()eq f(1,12)eq o(AC,sup16()，故eq o(GD,sup16

21、()eq o(AF,sup16()eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)o(AB,sup16()f(1,12)o(AC,sup16()eq f(1,2)eq o(AC,sup16()eq f(5,24)eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()eq f(1,24)eq o(AC,sup16()2eq f(5,24)66eq f(1,2)eq f(1,24)62eq f(15,4)eq f(3,2)eq f(21,4).基礎(chǔ)送分 提速狂刷練一、選擇題1已知向量a，b不共線，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c與d同向 Bk1且c與d反向Ck1

22、且c與d同向 Dk1且c與d反向答案D解析cd，(kab)(ab)，存在使kab(ab)，eq blcrc (avs4alco1(k，,1)eq blcrc (avs4alco1(k1，,1.)cab，c與d反向故選D.2(2018襄樊一模)已知eq o(OA,sup16()(1，3)，eq o(OB,sup16()(2，1)，eq o(OC,sup16()(k1，k2)，若A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是()Ak2 Bkeq f(1,2) Ck1 Dk1答案C解析若點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，則向量eq o(AB,sup16()與eq o(AC,sup16()共線因?yàn)閑q

23、 o(AB,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OA,sup16()(2，1)(1，3)(1,2)，eq o(AC,sup16()eq o(OC,sup16()eq o(OA,sup16()(k1，k2)(1，3)(k，k1)所以1(k1)2k0，解得k1，故選C.3(2018懷化一模)設(shè)向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)答案D解析設(shè)d(x，y)，由題意知4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(a

24、c)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得x2，4(2017河南高三質(zhì)檢)在ABC中，BAC60，AB5，AC4，D是AB上一點(diǎn)，且eq o(AB,sup16()eq o(CD,sup16()5，則|eq o(BD,sup16()|等于()A6 B4 C2 D1答案C解析設(shè)eq o(AD,sup16()eq o(AB,sup16()，eq o(CD,sup16()eq o(AD,sup16()eq o(AC,sup16()，eq o(AB,sup16()eq o(CD,sup16()eq o(AB,sup16()(eq o(AD,sup16()eq o(AC,s

25、up16()eq o(AB,sup16()2eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()5，可得2515，eq f(3,5)，|eq o(BD,sup16()|eq f(2,5)|eq o(AB,sup16()|2，故選C.5在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量eq o(OA,sup16()a，eq o(OB,sup16()b，其中a(3,1)，b(1,3)若eq o(OC,sup16()ab，且01，則C點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是()答案A解析由題意知eq o(OC,sup16()(3，3)，取特殊值，0，0，知所求區(qū)域包含原點(diǎn)，排除B；取0，1，知所求區(qū)域包

26、含(1,3)，排除C，D，故選A.6(2018茂名檢測(cè))已知向量a(3，2)，b(x，y1)且ab，若x，y均為正數(shù)，則eq f(3,x)eq f(2,y)的最小值是()A24 B8 C.eq f(8,3) D.eq f(5,3)答案B解析ab，2x3(y1)0，即2x3y3，又x，y0，eq f(3,x)eq f(2,y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,x)f(2,y)eq f(1,3)(2x3y)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(6f(9y,x)f(4x,y)6)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(122r(f(9y,x)

27、f(4x,y)8，當(dāng)且僅當(dāng)2x3yeq f(3,2)時(shí)，等號(hào)成立eq f(3,x)eq f(2,y)的最小值是8.故選B.7(2017濟(jì)南二模)如圖所示，兩個(gè)非共線向量eq o(OA,sup16()、eq o(OB,sup16()的夾角為，N為OB中點(diǎn)，M為OA上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，且eq o(OC,sup16()xeq o(OA,sup16()yeq o(OB,sup16()(x，yR)，則x2y2的最小值為()A.eq f(4,25) B.eq f(2,5) C.eq f(4,9) D.eq f(2,3)答案A解析因?yàn)辄c(diǎn)C，M，N共線，則eq o(OC,sup16()eq

28、o(OM,sup16()eq o(ON,sup16()eq f(2,3)eq o(OA,sup16()eq f(1,2)eq o(OB,sup16()，1，由eq o(OC,sup16()xeq o(OA,sup16()yeq o(OB,sup16()，xeq f(2,3)，yeq f(1,2)eq f(1,2)(1)，x2y2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2eq f(1,4)(1)2eq f(25,36)2eq f(,2)eq f(1,4)，設(shè)g()eq f(25,36)2eq f(,2)eq f(1,4)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)eq f(9,25)時(shí)，g()取最小

29、值，最小值為geq blc(rc)(avs4alco1(f(9,25)eq f(4,25)，所以x2y2的最小值為eq f(4,25)，故選A.8(2017河南中原名校聯(lián)考)如圖所示，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若eq o(DE,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(AD,sup16()(，為實(shí)數(shù))，則22()A.eq f(5,8) B.eq f(1,4) C1 D.eq f(5,16)答案A解析eq o(DE,sup16()eq f(1,2)eq o(DA,sup16()eq f(1,2)eq o(DO,sup16()eq f(1,2)eq o(DA,su

30、p16()eq f(1,4)eq o(DB,sup16()eq f(1,2)eq o(DA,sup16()eq f(1,4)(eq o(DA,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(1,4)eq o(AB,sup16()eq f(3,4)eq o(AD,sup16()，所以eq f(1,4)，eq f(3,4)，故22eq f(5,8).故選A.9(2018安徽十校聯(lián)考)已知A，B，C三點(diǎn)不共線，且eq o(AD,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()2eq o(AC,sup16()，則eq f(SABD,SACD)()A.eq f(2,3) B.eq f

31、(3,2) C6 D.eq f(1,6)答案C解析如圖，取eq o(AM,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()，eq o(AN,sup16()2eq o(AC,sup16()，以AM，AN為鄰邊作平行四邊形AMDN，此時(shí)eq o(AD,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()2eq o(AC,sup16().由圖可知SABD3SAMD，SACDeq f(1,2)SAND，而SAMDSAND，eq f(SABD,SACD)6.故選C.10如圖所示，在四邊形ABCD中，ABBCCD1，且B90，BCD135，記向量eq o(AB,sup16()a，e

32、q o(AC,sup16()b，則eq o(AD,sup16()()A.eq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)bBeq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)bCeq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)bD.eq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)b答案B解析根據(jù)題意可得ABC為等腰直角三角形，由BCD135，得ACD1354590.以B為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，BC所在直線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，并作DEy軸于點(diǎn)E，則CDE也為等腰直

33、角三角形由CD1，得CEEDeq f(r(2),2)，則A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，1f(r(2),2)，eq o(AB,sup16()(1,0)，eq o(AC,sup16()(1,1)，eq o(AD,sup16()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)1，1f(r(2),2).令eq o(AD,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，則有eq blcrc (avs4alco1(f(r(2),2)1，,1f(r(2),2)，)得eq blcrc (avs4

34、alco1(r(2)，,1f(r(2),2)，)eq o(AD,sup16()eq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)b.故選B.二、填空題11在梯形ABCD中，ABCD，且DC2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)答案(2,4)解析在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，eq o(DC,sup16()2eq o(AB,sup16().設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則eq o(DC,sup16()(4x,2y)，eq o(AB,sup16()(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，eq blcrc

35、 (avs4alco1(4x2，,2y2，)解得eq blcrc (avs4alco1(x2，,y4，)故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)12在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，則角C的大小為_(kāi)答案60解析由pq，得(ac)(ca)b(ba)，整理，得b2a2c2ab.由余弦定理，得cosCeq f(a2b2c2,2ab)eq f(1,2).又0C180，C60.13(2017太原三模)在ABC中，AB3，AC2，BAC60，點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)，若eq o(AP,sup16()eq f(2,3)eq o(AB,sup16()eq o

36、(AC,sup16()，則|eq o(AP,sup16()|的最大值為_(kāi)答案eq f(2r(13),3)解析以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，AB3，AC2，BAC60，A(0,0)，B(3,0)，C(1，eq r(3)，設(shè)點(diǎn)P為(x，y)，0 x3，0yeq r(3)，eq o(AP,sup16()eq f(2,3)eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，(x，y)eq f(2,3)(3,0)(1，eq r(3)(2，eq r(3)，eq blcrc (avs4alco1(x2，,yr(3)yeq r(3)(x2)，直線BC的方程為yeq f(r

37、(3),2)(x3)，聯(lián)立，解得eq blcrc (avs4alco1(xf(7,3)，,yf(r(3),3)，)此時(shí)|eq o(AP,sup16()|最大，|AP|eq r(f(49,9)f(1,3)eq f(2r(13),3).14(2018江西南昌一模)已知三角形ABC中，ABAC，BC4，BAC120，eq o(BE,sup16()3eq o(EC,sup16()，若點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則eq o(AP,sup16()eq o(AE,sup16()的取值范圍是_答案eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，f(10,3)解析因?yàn)锳BAC，BC4，BAC120，所以ABC30

38、，ABeq f(4r(3),3).因?yàn)閑q o(BE,sup16()3eq o(EC,sup16()，所以eq o(BE,sup16()eq f(3,4)eq o(BC,sup16().設(shè)eq o(BP,sup16()teq o(BC,sup16()，則0t1，所以eq o(AP,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BP,sup16()eq o(AB,sup16()teq o(BC,sup16()，又eq o(AE,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BE,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(3,4)eq o(BC,sup16()，所以eq

39、 o(AP,sup16()eq o(AE,sup16()(eq o(AB,sup16()teq o(BC,sup16()eq blc(rc)(avs4alco1(o(AB,sup16()f(3,4)o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()2teq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(3,4)eq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(3,4)teq o(BC,sup16()2eq f(16,3)t4eq f(4r(3),3)cos150eq f(3,4)4eq f(4r(3),3)cos150eq f(3,4)t424teq f(2,3)，因?yàn)?t1，所以eq f(2,3)4teq f(2,3)eq f(10,3)，即eq o(AP,sup16()eq o(AE,sup16()的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，f(10,3).三、解答題15給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量eq o(OA,sup16()和eq o(OB,sup16()，它們的夾角為eq f(2,3).如圖所示，點(diǎn)C